恢復系數在競賽中的靈活運用
——剛體系碰撞能量守恒和恢復系數e=1的等價性

李海龍

(重慶市第八中學校,重慶 400030)

1 兩質點一維碰撞問題中恢復系數的應用

質量分別為m1和m2的物塊分別以初速度v10和v20在光滑水平面上發生碰撞,碰撞之后,m1和m2的速度分別為v1和v2.

(1) 彈性碰撞:碰撞時無動能損失.

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2.

(1)

(2)

(2)式變形可得

m1(v10-v1)(v10+v1)=

m2(v2-v20)(v20+v2).

(3)

將(1)式代入(3)式，得

v10+v1=v20+v2，即

v2-v1=-(v20-v10).

(4)

(4)式物理含義為兩物塊相對遠離速度等于相對靠近速度.

由(1)、(2)式或(1)、(4)式可得

(5)

(2) 非彈性碰撞:碰撞時有動能損失.

為此引入恢復系數e,它由兩球材料決定,與其質量、初速度無關.其定義式為

(6)

則e=1為完全彈性碰撞情形;e=0時,碰后兩物體結合一起速度相同,稱為完全非彈性碰撞; 0

由(1)、(6)式可得

(7)

(8)

其機械能的損失為

(9)

其中(7)、(8)兩式可以理解為質心速度疊加相對質心速度.在質心系(零動量系)中(7)、(8)式更為簡單,每個物體以原速率的e倍反彈.(9)式能量的損失來源于相對質心能量的變化.

(7)、(8)式中e=1,回到(5)式,且知每個物體相對質心系原速率返回;e=0,碰后共速,碰后相對質心速率為0,能量損失最大.

2 自由剛體碰撞中彈性碰撞和恢復系數e=1的等價性

如圖1,一質點與一靜止剛體發生彈性碰撞,選與碰前剛體質心C相對靜止的慣性參考系,則碰撞前后滿足

MvC+mvm=mv0.

(10)

Iω+l1mvm=l1mv0.

(11)

圖1

(12)

引入參量α,γ,使得I=αl1m,M=γm,則(10)～(12)式化簡為

vm=v0-γvC.

(13)

(14)

αl1ω2+γvC2+vm2=v02.

(15)

(13)、(14)式代入(15)式得

即得

(16)

由(13)、(14)、(16)式解得

質點與剛體碰撞部位P在v0方向上的碰后分離速度大小為

即碰撞點法向方向恢復系數e=1,當然若質點入射速度不沿碰撞部位P的法線,則把v0分解為碰撞部位P的法線方向分量v0法和切線方向分量v0切,彈性碰撞前后v0切不變,把v0法替換前面的v0，即可證明碰撞點法向方向恢復系數e=1.

3 有約束剛體彈性碰撞和恢復系數e=1的等價性

圖2

如圖2,一截面為等腰直角三角形的棱柱ABC被約束在一光滑平面導軌上,AB邊只能沿DE光滑軌道運動.現有一質量與棱柱ABC質量m相同的光滑小球,在與ABC同一水平面內沿垂直于軌道DE的方向,以速度v0與靜止的ABC發生完全彈性碰撞.求碰后它們各自的速度.

設碰后小球速度為v,方向與軌道方向夾角為θ,棱柱的速度為V,方向沿軌道DE方向,小球和棱柱沿軌道DE方向動量守恒，則

mvcosθ=mV.

小球和棱柱動能守恒，有

圖3

小球沿AC方向動量不變，則

mvcos(45°-θ)=

mv0cos45°.

解得

則碰撞點法向方向有

同樣滿足恢復系數e=1.

以上3點討論可得出剛體(系)彈性碰撞和恢復系數e=1的等價性,但畢竟舉例有限,這一結論是否普遍成立呢?物理本質是什么呢?其實彈性碰撞的本質是由材料本身屬性決定的,碰撞經歷了壓縮形變和恢復形變的兩個微過程,完全彈性材料,形變可以全部恢復(恢復系數e=1),不儲存或釋放勢能,這是彈性碰撞能量守恒的思想．壓縮過程和恢復過程為對稱過程,與彈簧類似,則壓縮過程內力沖量和恢復過程內力沖量等大，即F壓t壓=F恢t恢,但因兩物體速度任意,壓縮和恢復過程總功不一定為0,如果結合e=1,即法向靠近速度等于遠離速度v相近=-v相離,則壓縮過程內力做功之和(為負,系統動能減少)與恢復過程內力做功之和(為正,系統動能增加)的數值相等F壓t壓v近=F恢t恢v離,碰撞全過程內力做功和為0,系統碰前碰后動能守恒.