一類動力學極值問題的幾何解法

張子云

(江蘇省蘇州第十中學校，江蘇 蘇州 215006)

高中數(shù)學知識的教學進度往往落后于高中物理教學的需求．物理教師在講解一個數(shù)學知識點的時候也只是重在應用，而很少介紹數(shù)學結論的由來.這對于我們習得此數(shù)學知識不利,甚至對應用到該數(shù)學知識的物理規(guī)律本身也會產生消極影響．

在解決一類動力學極值問題時,筆者發(fā)現(xiàn)當涉及到其中有一對接觸面之間同時存在正壓力和滑動摩擦力的多力(超過3力)求滿足一定條件的極值問題,除了可以采用代數(shù)法求解外,還可以采用幾何方法求解．

圖1

例1.如圖1所示,水平地面上靜止放有一質量為M的物體,物體與水平地面間的動摩擦因數(shù)為μ,用一恒力F作用在此物體上使其在水平地面上勻速運動的最小恒力F為多大,與水平方向夾角如何?

本題的常規(guī)解法如下.

圖2

物體受重力Mg、拉力F及水平地面的支持力FN、滑動摩擦力Ff，見圖2．

選擇水平向右方向為x軸正向、豎直向上為y軸正向,將拉力F分解到水平、豎直方向,由于物體做勻速運動,因此兩方向都受力平衡．

水平方向有

Fcosθ-Ff=0，

(1)

豎直方向有

Fsinθ+FN=Mg.

(2)

同時

Ff=μFN.

(3)

聯(lián)立(1)～(3)式得到

(4)

在一次物理課上老師介紹利用三角形法則來進行矢量運算,對于求動態(tài)過程中的極值很方便后,筆者在課余不僅想到能否利用三角形法則來解例1呢?在得到老師的肯定后,利用課余時間進行了嘗試,取得了成功．

圖3

圖4

顯然,幾何解法比前面的常規(guī)方法簡單,而且更直觀、更好理解.

而對于物體具有確定加速度的非平衡態(tài),類似的情況也能用幾何方法求解．

圖5

(1) 求物塊加速度的大小及到達B點時速度大小．

(2) 拉力F與斜面的夾角多大時,拉力F值最小?最小值是多少?

在參考答案中,該題給出的解法也是利用三角函數(shù)極值公式,這里不再贅述．

根據(jù)運動學公式可知，物塊加速度a=3m/s2．本文此處著重介紹第(2)小題的幾何解法．

圖6

設物塊所受斜面作用的支持力為FN、滑動摩擦力為Ff,同時物塊受重力mg,及與水平方向成α角的拉力F作用,如圖6所示．

此處兩力同樣滿足固定的數(shù)值關系,因此先將此兩力看做一個力F′,其大小不定但方向確定．物塊受到等效力F′、重力mg、拉力F3力作用的最終合力為沿斜面向上的F合=ma．

圖7

為便于畫圖,這里用一個點代表物塊,將所有的力作用在該點上，見圖7．

圖8

接下來,此處需要考慮的問題變成了在重力mg大小方向已知、另外一個力F′方向確定大小可變,再找一個最小的拉力F,使3力合力為F合．由于F大小方向都未知,所以先考慮將重力mg和F′先合成，它們的合力一定起點位于F′上,終點為mg的終點,記作F″．力F″與所求F(記作Fmin)的合力為F合,于是應該將F″、Fmin首尾相連．取mg的終點為Fmin的起點,過圖8中F合的終點作F′的平行線MN,過mg的終點作MN的垂線段,垂足為Q,此即為所求Fmin．將F合終點平移至落在Q點上,與F′交點記作P,PO即為實際的F′，如圖8所示．

從上述兩個例題可以看出,幾何法解題的優(yōu)點在于直觀．由此可見,在處理復雜的物理問題時,抽象性往往是思維過程中的最大障礙,而通過幾何圖像將抽象問題具體化、直觀化,可以提供有效幫助．因此,在學習物理過程中,養(yǎng)成盡量畫圖、幫助思考的好習慣是很有必要的．