限制空間范圍條件下(類)平拋運動的末速度極值問題舉例

李愛華

(華中師大一附中,湖北 武漢 430223)

平拋運動是一種重要的勻變速曲線運動,如果在運動中加上平面、曲面等不同限制空間范圍的條件,其末速度、時間、位移等物理量呈現出非單調變化,使之成為考查學生物理基本技能、運用數學知識解決物理問題的高考的熱點．

1 豎直面對拋體運動的限制

圖1

例1.如圖1所示,某人從同一位置O以不同的水平速度投出3枚飛鏢A、B、C,最后都插在豎直墻壁上,它們與墻面的夾角分別為60°、45°、30°,圖中飛鏢的取向可認為是擊中墻面時的速度方向,不計空氣阻力,則下列說法正確的是

(A) 3只飛鏢做平拋運動的初速度一定滿足vA0>vB0>vC0.

(B) 插在墻上的3只飛鏢的反向延長線一定交于同一點.

(C) 3只飛鏢擊中墻面的速度滿足vA

(D) 3只飛鏢擊中墻面的速度一定滿足vA=vC>vB.

圖2

解析：答案為(A)、(B)、(D)．對于(D)選項,如圖2所示,考慮寫出飛鏢打在墻面某點E的末速度v關于θ的函數．

設OD為x,DE為y,由平拋運動規律

以上各式聯立得

啟示：(1) 從定點O到豎直約束面,水平位移x一定,考慮用x表示其他物理量．

(2) 直接區別A、B、C3點的是飛鏢與墻面的夾角,所以優先考慮寫出末速度v關于θ的函數．

(3) 本例用到求極值方法1——三角函數求極值．

2 水平面對拋體運動的限制

圖3

例2.如圖3所示,水平放置的平行板電容器極板A、B間加有恒定電壓,a點與下極板的距離為d,一帶電粒子從a點水平射入電場,初速度大小為v1,粒子偏轉后打在下極板的P點時速度大小為v1′,其水平射程為2d．若該粒子從與a點在同一豎直線上的b點(圖中未標出)水平射入電場,初速度大小為v2,帶電粒子仍能打到P點,打到P點時速度大小為v2′．下列判斷正確的是

(A) 若b點在a點上方,則v1>v2.

(B) 若b點在a點下方,則v1>v2.

圖4

(C) 若b點在a點上方,則v1′>v2′.

(D) 若b點在a點下方,則v1′>v2′.

解析：答案為(A)、(B)、(D)．對于(B)、(D)選項,如圖4所示,設初速度為v,加速度為a,打到P點電場方向位移為y,由類平拋運動規律及動能定理

以上各式聯立得

啟示：(1) 從豎直線到水平面定點P,水平位移x=2d保持一定．

(2) 豎直(電場)方向位移y變化,優先考慮寫出末速度v關于y的函數．

(3) 本例用到求極值方法2——雙勾函數求極值．

3 斜面對拋體運動的限制

圖5

例3.如圖5所示,一質量為m的質點從傾角θ=45°的底端正上方h=2.4m處水平拋出,不計空氣阻力

(B) 若初速度加倍,小球飛行時間減半.

(C) 若小球垂直撞在斜面上,則初速度為4m/s.

(D) 若落點由A到B逐漸升高,小球落到斜面時的動能逐漸增大.

解析：答案為(A)、(C)、(D)．對于(D)選項,設小球初速度為v0,落到斜面上時,下落的高度為y,水平位移為x,由平拋運動規律及動能定理

注意到斜面約束

聯立得

(2) 本例用到求極值方法2——雙勾函數求極值．

4 拋物面對拋體運動的限制

圖6

(1) 求此人落到坡面時的動能;

(2) 此人水平跳出的速度為多大時,他落在坡面時的動能最小?動能的最小值為多少?

解析：(1) 設探險隊員跳到坡面上時水平位移為x,豎直位移為H,由

此過程中由動能定理，得

注意到拋物面約束

和幾何關系

y=2h-H.

聯立得

啟示：(1) 可以考慮在題設坐標系下直接寫出探險隊員的拋物線方程,求出兩條拋物線交點,輔以能量關系寫出末動能關于初速度的函數．

(2) 本例用到求極值方法3——基本不等式性質,求極值方法4——配方法求極值．

5 圓弧面對拋體運動的限制

圖7

例5.如圖7所示,AB為豎直平面內1/4圓弧,可視為質點的小球從圓心O處水平拋出,不計空氣阻力,當小球落到圓弧上時

(A) 落點越靠近B點,平拋運動時間越長. (B) 速度的反向延長線可能過OA的中點.

(C) 小球落在圓弧中點處時動能最小.

(D) 動能最小的位置在圓弧中點的下方.

解析：答案為(A)、(D)．設小球初速度為v0,落到圓弧上時,下落的高度為y,水平位移為x, 圓弧半徑為R,由平拋運動規律

此過程中由動能定理，可得

注意到弧面約束

x2+y2=R2.

聯立得

啟示： (1) 從定點O到圓弧面,合位移大小恒為R,可考慮用x表示y,也可考慮優先用角度參量θ表示為x=Rcosθy=Rsinθ．

(2) 本例用到求極值方法2——雙勾函數求極值,也可用三角函數求極值．

解決此類問題,要充分注意限制條件對水平位移、豎直位移或合位移的限制,抓住不變的量,寫出相應函數關系式,靈活運用三角函數、雙勾函數、基本不等式性質、配方等相關數學知識求解．