剖析“豎直面內圓周運動”的兩類錯誤命題

趙和平

(浙江省象山中學,浙江 寧波 315700)

在高中物理教學中常將豎直面內的圓周運動問題歸納為“細繩模型”和“輕桿模型”．結合此類模型,能考查學生對機械能守恒定律、牛頓運動定律和拋體運動等相關知識的掌握情況,也能考查學生的建模能力、綜合分析能力和應用數學解決物理問題的能力.在高考要求范圍內只要求學生掌握對最高點和最低點受力情況的定量分析.這樣在長此以往的針對訓練中,師生難免形成思維定勢,而沒有系統的推導這類模型中力的變化規律,導致對此類問題把握不夠全面和深刻,很容易出現一些科學性錯誤.筆者整理歸納后,發現在命制此類問題時易出現以下兩種錯誤.

1 準確把握“輕桿模型”中桿對球作用力的變化規律,防范物體提早脫軌

圖1

理論分析:如圖1所示,長為L的輕桿連著質量為m的球,桿連球在豎直平面內繞軸O自由轉動.設在最高點處球的速度為v0,分析桿連球從最高處轉過θ(其中0≤θ≤2π)時桿對球的力為F.

對桿連球從A到B,由機械能守恒定律得

(1)

假定桿對球的作用力背向圓心為正,在B處對小球受力分析有

(2)

由以上(1)、(2)式可得

(3)

圖2

討論如下:

根據以上討論,對于在豎直面內做圓周運動的問題中,僅有內側軌道有約束的情景,在命制題目時,必須考慮“輕桿模型”中桿對球恰好沒有作用力的位置,預防物體不能沿預設軌道運動而導致科學性錯誤．

錯例1.(浙江省2017屆高三稽陽聯誼學校選考題第20題)某電視臺擬推出一個水上娛樂節目,體驗者乘坐滑水車運動過程可以簡化為如下模型．如圖3所示,滑水車從傾角為θ=53°的長直軌道AC上的B點由靜止開始下滑,到達C點后進入弧形的涉水軌道CDEF,其中CDE是半徑為R=5 m,圓心角為106°的圓弧,EF為半徑為R=5 m,圓心角為53°的圓弧,此時滑水車剛好能到達F點．已知滑水車與體驗者的總質量為60 kg,B點到C點的距離為L0=4 m,滑水車與軌道AC間存在摩擦,涉水軌道CDEF可視為光滑軌道,不計滑水車受到的其他阻力作用,則

圖3

(1) 求滑水車經過CDE軌道時對D點的壓力;

(2) 求滑水車與軌道AC間的動摩擦因數μ;

(3) 若要使得滑水車能在F點水平拋出,求滑水車在AC上的釋放點B′到C的距離L′的范圍．

錯誤分析:該題要求水車剛好能到達F點,意味著到達F點時的速度為0,又設置了圓心角為53°>48.19°.這樣水車根本不會聽從命題者的命令,沿其設置的軌道運動到F點,更不會從F點水平拋出．筆者在教學過程中引導學生對該題進行修改,學生把圓心角改為30°,這樣水車可能聽從命題者的暗示,可以剛好到達F點,但第(3)問的解答就必須考慮的是小球在E點的速度不能過大,恰好到達E點時水車和軌道無作用力．這樣修改雖然超出了浙江省的學考要求,但能很好地鍛煉學生的思維能力,提升學生思維的深刻性．

2 準確掌握“輕桿模型”中桿對球作用力的豎直分力變化規律,防范軌道對地面壓力最小未知的誤判

理論分析:根據上面討論中(3)式可得桿對球的作用力的豎直分力為

Fy=Fcosθ=

(4)

對(4)討論如下:

圖4

圖5

錯例2.(2012年豫南九校聯考)如圖5所示,豎直環A半徑為r,固定在木板B上,木板B放在水平地面上,B的左右兩側各有一擋板固定在地上,B不能左右運動,在環的最低點靜放有一小球C,A、B、C的質量均為m．現給小球一水平向右的瞬時速度v,小球會在環內側做圓周運動,為保證小球能通過環的最高點,且不會使環在豎直方向上跳起(不計小球與環的摩擦阻力),瞬時速度必須滿足

錯例3.在質量為M的電動機飛輪上,固定著一個質量為m的重物,重物到軸的距離為R,如圖6所示,為了使電動機不從地面上跳起,電動機飛輪轉動的最大角速度不能超過

圖6