波 動 率 與 公 司 預 期 壽 命
——基于ZZ破產成本模型的研究

張志強

(中國人民大學 商學院，北京 100872)

關于公司預期壽命的研究結論對于許多決策都有重要意義，比如，未來商業合作的考慮(潛在合作伙伴的決策)、未來投資的考慮(潛在投資者的決策)、未來貸款的考慮(相關銀行的決策)以及公司管理者和員工的個人職業發展決策等。值得提醒的是，決策總是面向未來的。公司壽命的研究如果要有決策意義，就不能停留在事后的統計和描述上，必須進一步發展到對公司預期壽命的事先研究。也許，與事后的統計相比，事先的估計要難得多；但科學研究的目的和意義就在于攻克難題，不應該知難而退。

一、經典案例回顧

2011年，美國第二大書店Borders結束了其40年輝煌的歷史，申請破產。2016年，我國鋼鐵行業的標桿公司——武鋼股份因嚴重虧損不得不依靠寶鋼股份吸收合并來延續經營。也許從全球角度看，這兩家公司不是非常有名。但可以想象，在Borders破產前后不知有多少書店遭遇破產命運；在武鋼舍身前后不知有多少鋼鐵公司難以為繼。即便再著名的公司，也難逃破產消亡的結局。

1850年創立的雷曼兄弟公司(Lehman Brothers)，憑借一百多年的努力，成長為全球性多元化的投資銀行，被公認為全球最具實力的股票和債券承銷商之一，在最佳投資銀行以及最強調研實力等排名中常常位列前茅，公司總資產一度高達6 390億美元。然而，2008年9月15日，負債6 130億美元的雷曼兄弟公司成為次貸危機中的先烈。1881年成立的柯達公司(Eastman Kodak)，作為膠卷、膠片和大眾用相機以及數碼相機的發明者，在全球市場長期保持領先和最大，一度占據全球2/3的膠卷市場。然而，隨著攝影進入“數字時代”，柯達公司業務持續萎縮、利潤銳減，不得不在2012年1月申請破產保護，走上不歸之路。1865年成立的諾基亞公司，開始以造紙為主業，后于1960年開始手機生產。從1996年開始，連續15年穩據全球手機市場份額第一，巔峰時期擁有超過38.6%的市場份額。然而，隨著iPhone與安卓系統的崛起，諾基亞丟寨棄城，一路潰??；最后于2013年將手機業務賣給了微軟，要價54.4億歐元，不及諾基亞輝煌時1年的凈利潤[1]。1994年創立的雅虎，崛起于互聯網時代，是早期互聯網的絕對霸主。隨著門戶網站業務的衰退，谷歌、Facebook、亞馬遜等后來居上，以搜索引擎、社交及電商等精準定位崛起于互聯網江湖。雅虎累計耗資170億美元大肆收購，但卻錯失了收購谷歌和Facebook的機會，大量的低效并購反而成為其發展的拖累。2016年7月，包括搜索引擎在內的雅虎核心資產以48.3億美元的價格賣給了美國電信巨頭Verizon[1]。

當然，在人類歷史上，倒下的“龍頭”、“羊頭”公司又何止這三五家，也不止三五十家甚至三五百家。從某種意義上講，在眾多倒下的公司中，這些公司堪稱英豪，也堪稱幸運。因為許多公司并未經歷奮斗、成功、輝煌然后衰敗的完整過程，只經歷風雨并未見彩虹就破產倒閉了。據統計，人類發展至今，壽命最長的公司也不過1 000年出頭；而真正歷經1 000年還屹立不倒的公司寥寥無幾，在全球也不超過10家。

也許有人知道，上述大牛公司有的并非完全銷聲匿跡。比如諾基亞，失去手機業務后，將主業調整為運營商業務，并在2015年宣布與阿爾卡特-朗訊達成合并協議，要打造引領下一代互聯世界的創新公司?？逻_公司還在2016年6月宣布，要與阿里巴巴共同投資開發新型隱形墨水。柯達公司也宣布要集中精力發展微型3D打印機業務。然而，可以想象，無論公司在市場的風浪中如何轉型，都難逃覆滅的命運；無論被并購(解救)多少次，也難逃最終隨并購主體公司一起消亡的結局。

那么，公司壽命預期會有多長呢？拋開迷信、玄學等不論，現實中的預測大致包括統計和周易兩大方法體系。由于這兩大方法影響極其廣泛，其他學科在公司壽命預計中的作用幾乎被埋沒或忽略了。本文運用概率論(而非統計回歸)和金融專業方法探討公司壽命的預測，希望可以為商業銀行、擔保公司、保險公司以及各類工商業公司和金融機構的風險管理和相關決策帶來有益的啟示。

不難想象，公司的壽命與其所冒的風險相關。在金融領域，所謂風險通常指不確定性，主要指收益的不確定性，常用投資收益率的標準差(σ)來計量，也稱為波動率。從長期來看，公司資產收益的波動不能突破一個底線，這就是債務還本付息的需要。突破了這個底線，公司就資不抵債，就將破產倒閉，導致壽命的終結。

由此可知，公司壽命與其整體風險和負債率有關；當公司破產概率足夠高時，公司就將破產倒閉。因此，要推算公司壽命，就需要知道上述兩方面影響因素與公司破產概率之間的定量關系。基于有關理論和知識，目前有兩種方法可以計算這個破產概率，從而也就有兩種方法可以推算公司預期壽命：一種是基于經驗數據進行推算，另一種是依據理論模型進行推算。

二、基于穆迪公司的違約概率計算公司預期壽命

作為世界最大的風險評級公司，穆迪公司記錄并積累了大量公司從生到死的壽命周期過程。穆迪公司基于1970—2010年期間積累的數據計算的各風險級別公司累積違約概率[2]，雖然概念上略有差異，但可以大致將穆迪的違約概率看做破產概率。

注意穆迪公司給出的是累積破產概率，也就是在若干年中破產一次的概率。根據排隊論原理，如果有年均破產概率，其倒數便是公司預期壽命。因此，為求公司預期壽命，下面先著重探討如何計算合理或有效的年均破產概率。有了累積破產概率，也就不難得出年均破產概率，用P和p分別表示一家公司在n年中的累積破產概率和年均破產概率。則有[3]：

P = 1- (1-p)n

(1)

這意味著：

p = 1- (1-P)1/n

(2)

因此，根據累積違約概率[2]，可以計算得到各風險級別公司的年均破產概率，如表1所示。

表1年均破產概率：基于1970—2010年數據 單位：%

資料來源：根據穆迪公司數據計算，下同。

可以理解，根據1—20年期的累積破產概率的每一個都可以計算出一個年均破產概率，而這些年均破產概率又各不相等，這就是表1中的數據。究竟哪一個更能代表相應風險級別的年均破產概率呢？這個問題難以做出有依據的回答。因此，表1在最后一列計算了這些年均破產概率的平均值?？梢哉J為，這個平均值更有代表性。

然而就公司未來長期而言，這個平均值的代表性并不足夠。即便不追究更多細節問題，公司未來的一個變化不能忽略——在長期中，公司的風險級別會發生變化。也就是說，在足夠長的時間中，一家公司可能會從目前的風險級別變化到任何其他六個級別，從而年均破產概率就會不同。雖然年均破產概率也許差異不大，但微小的差異經年累月地積累，其效果就不可忽略了。因此，對于目前處于特定風險級別的任何一家公司而言，表1的年均破產概率平均值并不是長期適用的年均破產概率。

要得到長期適用的年均破產概率，還需要在表1年均破產概率平均值的基礎上，再考慮風險級別的變化。也就是考慮在未來長期中，一個級別的公司將以什么概率升或降到其他級別[3]。具體公司具體時間在各個風險級別之間變化的概率需要結合具體情況進行探討，這里不做進一步分析。為集中探討估計公司預期壽命的一般思路和方法，簡單(而不失合理地)假定長期平均來看，公司每年變動到臨近第1個、第2個、第3個、第4個、第5個、第6個級別的概率分別是6%、5%、4%、3%、2%、1%；從100%中扣除變動到各個級別的總概率，就得到保留在目前級別的概率。

例如，目前處于Aaa級別的公司，變動到Aa級別的概率為6%，變動到A級別的概率為5%，變動到Baa級別的概率為4%，變動到Ba級別的概率為3%，變動到B級別的概率為2%，變動到Caa級別的概率為1%；這些概率之和為21%。因此，保留在目前級別的概率為79%。目前處于Aa級別的公司，變動到Aaa和A級別的概率各為6%，變動到Baa級別的概率為5%，變動到Ba級別的概率為4%，變動到B級別的概率為3%，變動到Caa級別的概率為2%；這些概率之和為26%。因此，保留在目前級別的概率為74%。以此類推，可以得到如表2所示的長期適用的年均破產概率。取表2中長期適用年均破產概率的倒數，就得到公司的預期壽命，如表3所示。

根據表3，目前A級以上的公司有望達到百年以上的壽命，其中Aaa級的公司有望達到200年以上的壽命；B級到Baa級的公司有望達到10—100年之間的壽命；而Caa級以下的公司壽命平均為9年；可以想象，這個級別許多公司壽命都在10年左右。

短到10年左右，長到200年左右，現實中公司壽命的確基本如此，這也反映出上述分析在兩方面的正確性或可靠性。一方面是穆迪公司的數據量足夠大，基本可以反映現實公司的總體情況；另一方面是上述對穆迪數據的基本分析和計算方法是正確或合理的。也就是說，從違約概率到公司壽命的推算方法是正確或合理的。

不難明白，上述測算過程雖然是針對所有風險級別公司得出各級別公司的壽命分布，其實也適用于測算一家公司的壽命。就一家公司而言，先要搞清楚該公司的風險級別以及若干年中的累計違約概率。有了這樣的基礎數據，就可以運用文中的方法計算年均破產概率以及長期適用的年均破產概率，進而計算出公司的壽命。

表2年均破產概率：長期適用取值

表3各風險級別公司預期壽命(年)

三、基于破產成本模型計算公司預期壽命

為解決公司最優資本結構問題，張志強和趙全海與張志強和肖淑芳[4-5]糾正了針對破產成本的長期誤解，進而分析得出，公司與負債相聯系的破產成本實際是該公司價值的賣方期權。這個賣方期權的約定價格為所有債務的到期價值(本息和)；到期時間為所有債務的平均到期時間。在此基礎上推導建立了ZZ破產成本模型，即：

BC = XN(-d2) -SN(-d1)

(3)

其中，BC 為破產成本；S為公司目前價值；X為公司債務的本金，按照研究慣例，它也是債務的現值。注意X/S = L，代表了公司的債務比率或負債率。N(-d2)和N(-d1)分別為標準正態分布中變量值取-d2和-d1時的累積概率。其中，d1和d2可分別按式(4)、式(5)求得：

(4)

(5)

其中，T為公司債務(平均)年限或考察期限；σ為公司總體資產的波動率。根據期權定價原理，N(-d2)為該(賣方)期權到期執行的概率，此處也就代表公司在整個債務期間的破產概率，即累積破產概率。從而有：

(6)

式(6)是基于ZZ破產成本模型得到的破產概率模型，可稱為ZZ破產概率模型。根據ZZ破產概率模型，公司破產概率取決于公司整體風險(σ)、公司負債率(L)以及考察周期(T)三大變量。注意，ZZ破產概率模型不是簡單的線性或非線性回歸模型，也不是人為選擇的二次或三次或指數或對數模型；無論是模型的形式還是模型中的變量，都不是主觀選擇或確定的，而是破產概率與其影響變量之間客觀定量關系的表達。

前面經過分析認識到，要預測公司壽命，就要搞清楚公司破產概率與其整體風險和負債率之間的定量關系。比如，模型中有幾個自變量，這些自變量各是什么，這些自變量與因變量(破產概率)之間是什么關系等。這些問題的回答如果都是主觀猜想或假設的，模型的正確性和有效性恐怕就值得懷疑了。現在，在ZZ破產成本模型的基礎上，ZZ破產概率模型輕而易舉地揭示出這其中確切的定量關系，可見本文選擇了有效且高效的研究方法。

要應用ZZ破產概率模型，就需要先確定公司波動率(σ)、負債率(L)和考察周期(T)三大變量的值?？梢岳斫?，考察周期(T)取決于研究的目的，不難確定。在研究對象(一家或一組公司)確定的情況下，公司或公司總體平均的負債率(L)也不難確定。這樣，較為難以確定的變量就是波動率(σ)了。其實，這個波動率(σ)也不難確定。在公司為上市公司的情況下，通常可以利用股票交易數據計算這個波動率。用St和St-1分別表示公司在第t期(天)和第t-1期(天)的股票價格。令 Ut= ln(St/St-1)，以s估計u 的標準差，則有：

(7)

其中，n為期數；s為相應期收益率的標準差。如果每期的長度不等于年，則需要將估計出的s進行年化換算，之后就得到波動率σ。

即便沒有股票交易數據，這個波動率也不難確定，因為有大致的經驗值范圍可以借鑒。首先應該明確一下概念，這個波動率代表的是公司總體的風險，即是公司總資產收益率的標準差。由于公司總資產由股權和債務價值組成，為簡單起見，假定公司股權和債務之間不相關，則公司總資產(簡稱公司，下同)的波動率為公司股票(或股權，下同)和債務(或債券，下同)波動率的加權平均數。

根據美國股市的長期經驗數據，傳統行業股票的波動率主要分布在20%—40%的范圍。我國股市公司之間波動率差異或跨度會更大一些，比如多數股票在10%—50%之間?？梢韵胂?，特別好的公司，比如類似于Aaa級的公司，這個波動率可能接近10%；特別差的公司，比如類似于C級以下的公司，可能接近60%。近年來隨著高科技公司、互聯網公司以及各種創業公司的大量涌現，這個波動率范圍上限有所上升，粗略估計大約在70%左右。(數據主要來源于萬德數據庫)

公司整體的風險或波動率基本反映在股票的波動上。因此，根據股票的波動情況可以大致估算公司的波動率。下面基于上述多數股票波動率范圍對公司總體波動率做簡單估計；然后就可借助ZZ破產概率模型推算公司的破產概率進而壽命分布，這是本文的重點。希望由此可以得到借助ZZ破產概率模型推算公司壽命的有效方法。

根據上面的分析，多數股票波動率范圍為10%—70%；公司債務波動率顯著低于股票，粗略按股票波動率的1/5計算，則范圍在2.0%—14.0%之間。假定公司資產負債率為50%，且債務和股權之間不相關，則公司波動率為公司股票和債務波動率的加權平均數，其下限在6.0%(=2.0%/2+10%/2)附近；其上限在42.0%(=14.0%/2+70%/2)附近。*不同市場、不同時期的股票波動率會有差異。精確估計具體單只股票的波動率或市場總體的波動率范圍是一個值得探討的問題，但不是本文的主題和重點。因此，這里只做簡單粗略的估計，目的是為了后面探討公司預期壽命的測算方法提供一個大致合理的基礎數據。

分別以6.0%和42.0%作為公司波動率取值最低和最高組的組中值，將這個范圍分成7個等距離區間，即3.0%—9.0%、9.0%—15.0%、15.0%—21.0%、21.0%—27.0%、27.0%—33.0%、33.0%—39.0%、39.0%—45.0%；分別用A、B、C、D、E、F、G命名這些風險組，對應的組中值分別為6.0%、12.0%、18.0%、24.0%、30.0%、36.0%、42.0%。假設公司債務比率為50%，在債務期限為1—20年情況下，根據ZZ破產概率模型即式(6)分別計算各個風險組的累積破產概率，如表4所示。

表4各風險組的累積破產概率 單位：%

資料來源：基于ZZ破產成本模型計算。

在表4的基礎上，計算各風險組的年均破產概率，如表5所示。同樣，這個年均破產概率并不是長期適用的年破產概率?？紤]風險級別的變化，按照表2的思路和計算方式調整，制成表6。在表6長期適用年均破產概率的基礎上，計算各風險組公司的預期壽命，如表7所示。

表5各風險組的年均破產概率 單位：%

表6長期適用年均破產概率 單位：%

表7各風險級別公司預期壽命(年)

比較表3和表7的預期壽命結果可知，按照同樣的計算步驟，基于穆迪違約概率數據和基于ZZ破產概率模型計算的結果較為接近。注意本部分計算中雖然也按照風險將公司分為7個組別，但只是按照波動率σ取值等距離分組，與穆迪的分組其實很可能有所差異，比如各組在總體中的比重等。在分類有差異的情況下得到這樣相近而且大致符合實際的結果，可見本文兩種專業方法具備初步的合理性和可靠性。

嚴格講，ZZ破產概率模型計算出來的破產概率與穆迪違約概率數據可能略有不同。ZZ破產概率模型相當于假定公司保持目前的波動性，即保持風險管理力度和有關外部條件不變直到破產發生。而在現實中，公司在出現違約或破產危險時，會采取各種自救或求助措施，即加大風險管理力度，因而會改變波動性。對于曾經的Aaa等高級別公司而言，這種努力可能會格外有效，從而使公司避過險關。相反，對于風險級別較低的公司而言，可能會有外部的過激反應，稍有風吹草動就迅速惡化，加大風險管理力度也無濟于事。穆迪違約概率作為統計數據，自然將這種人為努力和外部反應的效果包含在內。因此，測算出的Aaa和Aa等高級別公司的壽命可能會更長；而Caa等低級別公司的壽命則會更短。

這進一步解釋了基于ZZ破產概率模型與基于穆迪違約概率數據的計算結果差異。也就是說，如果考慮不同風險級別公司出現破產危險時波動率的變化，兩種計算方法的結果會更為接近。無論如何，大致也可以說，基于ZZ破產概率模型的計算顯示，各風險級別公司總體的壽命短到10年左右，長到200年左右，與現實中公司實際情況基本相符，與穆迪公司的數據結果也基本相符。讀者至此也可以明白，本文選擇測算公司總體的壽命分布范圍而不是測算單一公司壽命的用意，即這樣可以直接檢驗所用方法的正確性和有效性。

當然同樣，上述測算過程雖然是針對所有公司得出各風險級別公司的壽命分布，其實也適用于測算任何一家公司的壽命。就一家公司而言，先要估算該公司的波動率(σ)、負債率(L)和考察周期(T)三大變量的值，然后就可以運用ZZ破產概率模型計算年均破產概率以及長期適用的年均破產概率，進而計算出公司預期壽命。

四、總結與啟示

上述研究表明，公司壽命與公司年破產概率相關，而年破產概率又取決于公司目前風險狀況或風險級別?？紤]到公司未來風險狀況或風險級別的變化，可以得出長久適用的年破產概率。這個長久適用的年破產概率可以基于穆迪長期積累的數據計算得出，也可以基于ZZ破產成本或ZZ破產概率模型計算得出，在此基礎上就很容易計算公司預期壽命。不僅如此，ZZ破產概率模型還清晰地揭示出公司壽命與相關因素之間的確切定量關系。

應用概率論方法和金融專業方法計算公司預期壽命，在目前還是創新性的嘗試。本文經過初步探討，得出較為切合實際的結論；特別理想的是，兩種方法計算結果較為吻合，計算出的各風險級別公司總體的壽命大致都在10年左右到200年左右。這意味著這兩種計算方法都有合理性和可信性，有進一步深入研究的價值和應用潛力。另外，作為本文理論基礎的ZZ破產成本模型，屬于財務和金融的基礎理論突破，除了張志強和肖淑芳[4]借此推出最優資本結構模型，其他的運用還不多見，本文從中推出ZZ破產概率模型，并應用到公司壽命的推算，算是另一個粗淺嘗試。

可以理解，關于公司預期壽命的研究在公司前景展望、收益預測、價值評估、風險評級以及風險管理等諸多方面都值得考慮和應用。以公司或其股票價值評估為例，在常規的評估中，收益折現方法是理論上最為合理的方法。所謂收益折現即指將未來所有收益折算為當前價值，然后加總這些折現值得到相應資產的價值。理論上講，應該折現和加總公司未來所有年份的收益，但逐年預測這些收益過于困難且無助于提高評估的準確性。一般做法是估計一個有代表性的初始收益并預測一個年均增長率，就可以表達出未來所有的收益。顯然，無論是未來年份總數還是這個年均增長率，都可以根據公司壽命推算[3]。

要正確地測算實際公司的預期壽命，一方面是選擇正確的理論和方法；另一方面是正確估計基礎數據。本文重點是探討公司預期壽命測算的方法，因而強調理論上的合理性與邏輯上的嚴謹性。測算過程中有關基礎數據的估算有一定合理性，但最好不要照搬。原因在于基礎數據雖然同樣重要，但不是本文主題，文中多數情況下都尋求簡便方法以求少用文字和篇幅，所以可能不是最佳方法，更未必能達到精確度的要求?；A數據究竟如何估算更為合理有效，需要留待另外的研究來解決。