幾種常用求導方法在高等數學中的應用

◎趙曉艷

(河南質量工程職業學院基礎教學部，河南　平頂山　467000)

一、導數的起源

導數的概念最先由牛頓(牛頓稱之為流數)和萊布尼茨創立，但其概念模糊.柯西(1821)對導數的概念做出了清晰的定義[1]，即導數為差商的極限.德國的魏爾斯特拉斯使極限的概念進一步嚴格化(即e-N說法)，這使導數的定義更清晰.導數亦名紀數、微商，由速度變化問題和曲線的切線問題而抽象出來的數學概念.又稱變化率.導數的發展大致經歷了三個階段：第一階段：大約在1629年，求曲線上一點切線法的方法被法國數學家費馬發現，后面他又研究出一個非常著名且重要的定理——費馬定理.以此為基礎，后來他又發現了求取極值的方法.1637年左右，他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》.在作切線時，他構造了差分f(A+E)-f(A)，發現的因子E就是我們現在所說的導數f′(A).第二階段：流數術的出現[2].17世紀，自然科學和生產力都取得了長足的進步，在原有科學技術發展和研究的基礎上，數學家牛頓、笛卡兒、萊布尼茨等開始對微積分產生了濃厚的興趣，開始深入研究微積分.“流數術”是牛頓研究出來的一種比較早的微積分基本理論，投用流量表示變量，他把流數稱為變量的變化率，流數就相當于我們現在學習的導數，牛頓的主要成果有《求曲邊形面積》《運用無窮多項方程的計算法》和《流數術和無窮級數》等.流數理論的實質概括為：他的重點在于一個變量的函數而不在于多變量的方程；在于自變量的變化與函數的變化的比的構成；最在于決定這個比當變化趨于零時的極限[3].第三階段：逐漸成熟階段.1750年，達朗貝爾在《百科全書》中提出了導數的概念，1823年，柯西定義了導數的定義.19世紀60年代以后，魏爾斯特拉斯創造了ε-δ語言，對微積分中出現的各種類型的極限重新進行標準定義，所有的這些理論基礎，后來就出現了我們現在學習的導數的定義.

二、重要求導方法介紹

我們學習了導數的定義，求導公式，導數四則運算，高階導數以及隱函數求導等內容，其中關于求導方法，我們學習過.

4.反函數求導法，反函數是我們熟悉的一類函數，但是我們僅僅是會求反函數，在高等數學中我們會遇到求反函數導數的問題，遇到這類問題時，我們先解出原函數的反函數，然后利用隱函數求導的方法，也就是兩邊同時求導(把帶y的函數看成復合函數，y為中間變量)，然后整理求出y′.例如，求y=ax的導函數，先求出y=ax的反函數x=logay，然后兩邊對x求導，可解得y′=axlna.通過例子，大家更明確了求反函數導數的方法.

5.參數方程求導法，兩個變量x和y都是關于某個參數的函數，然后x和y分別對參數求導，然后帶入公式，即可得出y′.

例如，x=3sint+t2，y=2cost-1，求解y′時，先求得

三、結　語

導數的學習是接下來學習積分學的基礎知識，同時這部分知識也是整個高等數學課的重點也是難點.學好導數對于我們了解導數的背景，定義、幾何意義等有很重要的現實意義，例如，我們可以利用導數求函數單調區間和極值、凹凸區間、拐點以及切線方程和法線方程，還有就是可以求函數微分、函數和實際問題的近似計算以及一些函數的極限問題、甚至求函數曲率都必須運用導數知識求解，以及最大值和最小值，包括函數在實際問題中的最值.通過本文，我們對導數的基本知識和求導方法有了更加深刻的認識，對于導數重難點也有了更深刻的認識.本文介紹了導數的起源，讓讀者對導數有了更深的認識，后來又簡單介紹了幾種常用和重要的求導方法，并簡單進行了分析說明，特別是對對數求導法著重進行了著重闡述，因為對數求導法的基礎知識為復合函數求導，因此，在分析對數求導法時，先簡單介紹了復合函數求導，.對于對數求導方法我們先給出常見類型并且后又給出典型例題，特別對于對數求導的做題步驟進行詳盡描述.對于幾種求導方法，相信讀者已經有了非常深刻的認識，對于讀者熟悉掌握導數這部分知識有非常重要的意義.