微積分思想在不等式證明中的應用

◎張立欣　叢　申

(塔里木大學信息工程學院，新疆　阿拉爾　843300)

一、中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理：如果函數f(x)滿足：

二、單調性證明不等式

函數單調性的判定法：設函數f(x)在開區間I內可導，若f′(x)>0(f′(x)<0)，則f(x)在開區間I內單調遞增(遞減).

若f′(x)>0，則任取x1，x2∈I(x1

若f′(x)<0，則任取x1，x2∈I(x1f(x2).

三、極值證明不等式

要證明f(x)≥g(x)，只要證明函數F(x)=f(x)-g(x)的極小值大于0即可.

例3設a>ln2-1為任一常數，試證：當x>0時，x2-2ax+1

證明令f(x)=ex-x2+2ax-1，很明顯f(0)=0，

且f′(x)=ex-2x+2a，f″(x)=ex-2，

令f″(x)=0，即x=ln2，則在(0，ln2)內f″(x)<0，在(ln2，+∞)內，f″(x)>0，minf′(x)=f′(ln2)=eln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a=2(1-ln2+a)>0，

故f(x)單調遞增，因此，f(x)>f(0)=0，

即ex-x2+2ax-1>0，即x2-2ax+1

四、利用函數的凹凸性證明不等式

函數凹凸性的判定法：設函數f(x)在區間I上有二階導數，若f″(x)>0(f″(x)<0)，則f(x)在區間I內圖形是凹的(凸的).

證設f(t)=tn，則f″(t)=n(n-1)tn-2>0(t>0)，

五、泰勒公式證明不等式

證f(x)具有二階導數，由泰勒公式可知：

f(x+h)=f(x)+f′(x)h+f″(x)h2+ο(h2)，

f(x-h)=f(x)-f′(x)h+f″(x)h2+ο(h2).

兩式相加可得f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+f″(x)h2+ο(h2)，

故f″(x)h2+ο(h2)=f(x+h)+f(x-h)-2f(x)≥0.

令h→0，可得f″(x)≥0.

六、定積分證明不等式

總之，在不等式的證明過程中，結合不等式的特點，恰當運用中值定理、函數的單調性、極值理論、函數的凹凸性、泰勒公式、定積分的性質等，可以將不等式的證明簡化，實踐證明，這些方法容易被學生理解和接受.