一道極大似然估計題的多種解法

◎穆軍芬　王志京

(河北工業大學理學院，天津　300401)

極大似然估計(Maximum Likelihood Estimation)法是獲得參數估計量的一種廣泛使用的方法.極大似然估計量具有許多優良的性質，只要總體分布滿足一定的條件，則可證明極大似然估計量具有漸進正態性、漸進有效性、一致性等性質，在一定意義下沒有比極大似然估計量更好的估計，所以熟練掌握極大似然估計量的求法是非常重要的.

下面先介紹本文將要用到的知識點.

求極大似然估計的一般步驟[1]：

(1)由總體分布導出樣本的聯合概率函數(或聯合密度函數);

(2)把樣本的聯合概率函數(或聯合密度函數)中的自變量看成已知常數，而把參數θ看作自變量，得到似然函數L(θ);

(3)求似然函數L(θ)的最大值點(常常轉化成求lnL(θ)的最大值點)，即θ的極大似然估計量.

極大似然估計的基本思想：求參數的估計量使得實驗結果發生的概率最大.

對于初學者來說，若總體分布已知，則已基本掌握了求極大似然估計的一般步驟，但在總體分布未知時，就無法寫出似然函數，從而無法用一般步驟去求極大似然估計量.此時，可考慮用極大似然估計的基本思想，極大似然估計不變性等去求極大似然估計量.

本文的目的是通過靈活運用極大似然估計的一般步驟、基本思想及極大似然估計不變性給出一道極大似然估計題的三種解法，以激發學生對相關極大似然估計的解題方法進行探索.

例[3]為了估計池中魚的數量N，先從池中撈出r條魚，做記號后再放回池中，再撈出s條魚，發現其中帶記號的魚有x條，據此求N的極大似然估計量.

從教學過程來看，普遍反映這道題沒給出總體的分布，無法寫出似然函數，從而無法用一般步驟去求N的極大似然估計量.下面給出該題的三種解法.

解法一設總體

即總體為0-1分布，其概率函數為

P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1，0

則從池中隨機撈出s條魚，發現其中帶記號的魚有x條，可看作是從總體X中隨機抽取樣本容量為s的樣本X1,X2,…,Xs,其中這s個樣本中有x個取值為1，有s-x個取值為0.

所以似然函數為L(p)=px(1-p)s-x,

從而lnL(p)=xlnp+(s-x)ln(1-p)，

解法二設隨機變量

解法三從池中隨機撈出s條魚，發現其中帶記號的魚有x條，這一事件發生的概率為

下面按如下的方法去求L(N)的最大值點：

即L(N)為單增的；

即L(N)為單減的.

在方法一中，需自己尋找總體分布，從而找到似然函數，按求極大似然估計的一般步驟求得概率p的極大似然估計量，再由極大似然估計不變性可得N的極大似然估計.在方法二中，沒有找似然函數，而是將事件發生的概率用p表示，由極大似然估計的基本思想求p的極大似然估計量，再由極大似然估計不變性可得N的極大似然估計.在方法三中，直接將事件發生的概率用N表示，由極大似然估計的基本思想求得N的極大似然估計量.在這三個方法中，顯然前兩個方法相對來說要簡單點.

經過探索、嘗試后通過一種巧妙的方法完成題目的計算，能夠讓人體悟到數學的美實在是一種享受，希望借此給讀者一點啟示.