一類不定積分的計算方法與技巧

◎史和娣

(江蘇農林職業技術學院基礎部，江蘇　鎮江　212400)

一、引 言

不定積分與微分(或導數)是逆運算的關系，我們學習者往往在從導數到不定積分的過渡時，會遇到一些理解上的困難.而不定積分也是整個微積分學的重要內容之一，也是計算定積分的基礎.熟練掌握不定積分的計算方法是學好積分的必備條件，同時不定積分的計算對思維的訓練以及后續知識的學習也起著重要的作用.本文主要通過一類常見的被積函數是多項式之比的不定積分展開討論，幫助學生熟練掌握不定積分的計算方法和技巧，促使學生更好地靈活運用不定積分的計算方法處理積分問題.

二、不定積分的計算

1.當n=1，n≥m時，即分母是一次多項式，不妨設為Pn(x)=ax+b(a≠0)，且分子最高次數比分母小.

=ln|x+1|+C(湊微分法)；

=x-ln|x+1|+C(恒等變形、湊微分法)；

2.當n=2，n≥m時，即分母是二次多項式，不妨設為Pn(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且分子次數比分母小.

=x-arctanx+C；

3.當1≤n≤m時，即分子最高次數比分母大.

除數x2+1被除數2x3+3x+1商2x2x3+2xx+1余數

通過以上例題的解答，可以發現被積函數稍微改變一點，積分方法可能完全不同，因此，在學習過程中，一定要注意比較，幾種積分方法靈活使用.