全面地求函數極限的方法和技巧

◎王　琳　徐健騰

(曲阜師范大學管理學院，山東　日照　276826)

極限概念是高等數學中最重要的概念之一，高等數學中幾乎所有重要的概念，如，連續、導數、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分以及級數的收斂性等定義都建立在極限的基礎上.極限理論是整個微積分的基礎理論，極限思想貫穿整個微積分學科.初入高校的學生，熟練掌握一些求函數極限的技巧，是非常必要的，對日后進一步學習會有很大的幫助.

以下較為詳盡地給出了求函數極限的11種方法，其中不乏運用技巧求極限的例子.

一、運用函數極限的定義

定義是函數極限的基礎，利用定義證明函數的極限是整個極限題目中的基礎題型.

二、利用函數極限的四則運算法則

定理如果limf(x)=A，limg(x)=B，那么

(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B；

(2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B；

解這里分母的極限不為零，故

三、約去零因式

四、通分法

五、利用無窮小的性質

定理有界函數與無窮小的乘積是無窮小.

六、利用無窮小的替換

七、利用兩個重要極限

但我們經常用到的是它們的變形：

例7求下列函數極限：

八、利用函數的連續性

求函數極限除以上方法以外，還有如下方法：(1)利用函數極限存在準則；(2)利用微分中值定理；(3)利用定積分求和式極限；(4)利用收斂級數求極限.

數學知識廣博深邃，在實際學習中很多題目是多種方法的綜合運用來求解的，只有方法得當，才能快速、靈活、準確地解決問題.