行列式計算方法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用綜述

◎劉燕玉

(銅仁學(xué)院大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州　銅仁　554300)

行列式是高等代數(shù)中的一個重要內(nèi)容，它在許多的領(lǐng)域中都有非常廣泛的應(yīng)用，如解行星運動的微分方程組、運籌學(xué)中線性規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)理論、多元統(tǒng)計分析、應(yīng)用回歸分析等[1-9].本文論述利用行列式的計算方法解決一些初等數(shù)學(xué)問題，從而說明用高等數(shù)學(xué)理論與方法解決初等數(shù)學(xué)中較難的問題，其方法更簡便，同時也更有技巧性[1].

一、利用行列式證明等式與不等式

根據(jù)行列式的性質(zhì)，我們可以構(gòu)造行列式來證明等式和不等式.下面分別列舉一個例子來說明.

例1已知a+b+c=0，求證a3+b3+c3=3abc.

證明令D=a3+b3+c3-3abc，則

命題得證.

例2已知a≥b≥c≥0，求證b3a+c3b+a3c≤a3b+b3c+c3a.

證明令D=a3b+b3c+c3a-(b3a+c3b+a3c)，則

=b(c-a)(b+c)(b-c)-a(c-b)(a+c)(a-c)

=(b-c)(a-c)(a+b+c)(a-c)，

而a≥b≥c≥0，則D≥0，命題得證.

二、利用行列式分解因式

我們可以利用行列式的性質(zhì)對多項式分解因式.下面列舉一個例子來說明.

例3分解因式：(cd-ab)2-4bc(a-c)(b-d).

=(ab+cd-2bc)2.

三、行列式在幾何中的應(yīng)用

(一)用行列式表示直線方程、平面方程與圓的方程

(1)

同理，若平面有三個不同的已知點Α(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，圓O過A，B，C，則圓O的方程為

(二)用行列式判別三線共點與三點共線

平面內(nèi)三條互不平行的直線

L1：a1x+b1y+c1=0，

L2：a2x+b2y+c2=0，

L3：a3x+b3y+c3=0

(三)用行列式表示三角形面積

(2)

的絕對值.

(四)利用行列式表示平面法向量