空間直角坐標系中平面法向量的快速求法

◎卜憲江

(中山市小欖中學，廣東　中山　528415)

一、傳統方法

利用法向量與平面垂直的判定定理，在平面內任取兩個不共線向量，由于法向量與它們垂直，構造一個三元一次方程組.這是一個基本方法，容易理解，但運算稍繁.

例1已知向量a，b是平面α內的兩個不共線的向量，a=(-2，-1，3)，b=(1，-3，2)，求平面α的一個法向量n的坐標.

解設n=(x，y，z)，則由n⊥a，n⊥b得

不妨設z=1，所以n=(1，1，1).

二、快速方法

由于在平面內的兩個向量是任取的，因此，可以取一個向量的坐標有一個0，也就是不共線的兩個向量的六個坐標中只要有一個0，就可以快速求得法向量，并且正確率很高，對于高中生更加方便實用.

例2已知向量a，b是平面α內的兩個不共線的向量，a=(1，2，0)，b=(3，5，1)，求平面α的一個法向量n的坐標.

設法向量n=(x，y，z)，因為n與a垂直，即n·a=0.故先取a的x，y的位置反過來為n的x，y.緊接著在x，y中任取一個為原來的相反數，即x=-2，y=1，z坐標待定，即n=(-2，1，z)，又因為n·b=0，即-2×3+1×5+z=0，所以z=1，即法向量n=(-2，1，1).

這種算法是從原來的三元一次方程組，變為只算一個未知數的方程，大大減少了計算量，在考試中節省了時間.

但是，當兩個不共線的向量在同一個坐標的位置都出現0時，則不能用這個方法來求法向量.

例3已知向量a，b是平面α內的兩個不共線的向量，a=(0，2，-2)，b=(0，3，1)，求平面α的一個法向量n的坐標.

若按剛才的方法，設法向量n=(x，y，z)，因為n與a垂直，即n·a=0.此時y=2，z=2，x坐標待定，即n=(x，2，2)，又因為n·b=0，即x×0+2×3+1×2=0，此時得不到答案.

但是，這兩個向量可以很容易看出，它們是在yOz平面上，那么法向量就是平行于x軸的向量，即n=(1，0，0).

從而只要是帶有0的兩個向量，求法向量都可以用快速的方法.