淺談高中數(shù)學(xué)解題中的數(shù)學(xué)思維之美

◎沈東蕓

(佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，廣東　佛山　528000)

通常大部分人一提到數(shù)學(xué)美，都會(huì)涉及簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、和諧美、奇異美等，這些都屬于利用數(shù)學(xué)知識(shí)所創(chuàng)造出來的外在美.而數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思維是真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的充分條件.筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)美不僅僅只體現(xiàn)外在美，還體現(xiàn)內(nèi)在美——數(shù)學(xué)思維之美，這里將從數(shù)學(xué)解題中來探討解題思維，欣賞數(shù)學(xué)思維之美.

一、數(shù)學(xué)思維之美的體現(xiàn)

數(shù)學(xué)思維美[1]是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中火熱思考的過程，是波利亞所說的“解題過程中關(guān)鍵性步子”，是弗賴登塔爾所說的“再創(chuàng)造”，是涂榮豹教授所說的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”.因此，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)思維之美主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維的深刻之美、轉(zhuǎn)化之美、抽象之美.

二、數(shù)學(xué)思維的深刻之美

數(shù)學(xué)是深刻的，數(shù)學(xué)的深刻性使得數(shù)學(xué)分化出了不同的層次：整數(shù)比自然數(shù)更深刻，實(shí)數(shù)比整數(shù)更深刻，而復(fù)數(shù)比實(shí)數(shù)更深刻.越上層的數(shù)學(xué)能從更優(yōu)的角度看待問題，越能解決底層輕易不能解決的問題.除了這些深刻的數(shù)學(xué)理論，數(shù)學(xué)思維的深刻性也值得強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)思維的深刻之美是值得數(shù)學(xué)愛好者欣賞的一種美.顧沛教授曾經(jīng)也說，“數(shù)學(xué)的美，在于數(shù)學(xué)思想深刻之美”[2].欣賞數(shù)學(xué)思維的深刻之美要求我們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)必須有深刻地理解和認(rèn)識(shí)，也就是要求我們找到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，建立不同板塊知識(shí)之間的聯(lián)系或者同一知識(shí)的不同表現(xiàn)形式之間的關(guān)系.

例如，對(duì)直線與圓的位置關(guān)系，我們既可以利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判斷，又可以利用直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷，這就將平面幾何的知識(shí)與方程的知識(shí)建立聯(lián)系.又如，對(duì)圓的方程(x-a)2+(y-b)2=R2，可以從兩個(gè)方面來認(rèn)識(shí)理解：一是從勾股定理角度出發(fā)，可將|x-a|，|x-b|看作是直角三角形的兩直角邊，R看作是直角三角形的斜邊；二是從三角函數(shù)角度出發(fā)，因?yàn)閟in2θ+cos2θ=1，可令(x-a)2=R2cos2θ，(y-b)2=R2sin2θ，從而將x,y用三角函數(shù)表示出來[1].像這樣建立各個(gè)板塊知識(shí)的聯(lián)系會(huì)使很多問題得到簡(jiǎn)化，因此，在教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解不同知識(shí)板塊之間的關(guān)系，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性，這樣才能讓學(xué)生體會(huì)這種深層次的美.

另外，數(shù)學(xué)思維的深刻之美還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題過程中的另類思考方式和巧妙的處理方法.也就是說，對(duì)同一個(gè)問題，可能有多種解法，從不同的角度去看待，就會(huì)有不同的處理方法.如例1的第(2)小題：

例1設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1(n∈N*)，且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

對(duì)第(2)小題，有4種解法，可以歸結(jié)為三類：第一類是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；第二類是通過列項(xiàng)求和；第三類是利用構(gòu)造函數(shù)證明不等式[3].對(duì)同一個(gè)問題，從不同角度出發(fā)呈現(xiàn)出不同的思考方式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的深刻之美.

三、數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)換之美

數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)換蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)解題中，數(shù)學(xué)解題就是把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題等等.在轉(zhuǎn)化的過程中，不僅有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)知識(shí)的遷移，而且學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也在轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)換之美.在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)美的角度來促使數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)換美，不僅有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還有利于打造高效數(shù)學(xué)課堂.例如，函數(shù)、不等式、方程的綜合問題既是高考的熱點(diǎn)又是高考的難點(diǎn)，難點(diǎn)就是如何進(jìn)行函數(shù)、方程、不等式的轉(zhuǎn)化和利用.因此，在教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生將方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題或者是將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題等，只有學(xué)生明白“為什么要轉(zhuǎn)化？”“怎么轉(zhuǎn)化？”“何時(shí)轉(zhuǎn)化合適？”這三個(gè)問題，才能體會(huì)數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)換之美.如例2就是將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題：

思路分析這是一個(gè)含有兩個(gè)未知實(shí)數(shù)的方程，一般不能通過解方程得到，也就是說不能從“方程”這一角度解答，需進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此，考慮將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決.因?yàn)閷?duì)于方程f(x)=c可以看成是函數(shù)y=f(x)中y=c時(shí)求x的值，也就是說解方程的過程實(shí)際上是求函數(shù)值的逆向問題.當(dāng)c取若干個(gè)值時(shí)，x就是若干個(gè)y值所對(duì)應(yīng)的所有x值，此時(shí)解方程就可以看成是已知函數(shù)值域求所有x的取值集合[4].

不妨設(shè)f(x)=g(y)=c，原方程的解即為兩個(gè)函數(shù)函數(shù)值相等時(shí)所對(duì)應(yīng)的所有自變量的取值.

本題通過問題轉(zhuǎn)化，使原本無法解決的問題得以解決，數(shù)學(xué)美就是問題解答所帶來的這種美感，數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)換就是問題解答中的關(guān)鍵一步，因此，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)換之美.

四、數(shù)學(xué)思維的抽象之美

抽象性是數(shù)學(xué)最大的特點(diǎn)，抽象就是舍去若干不同事物的不同點(diǎn)，得到它們的共同點(diǎn).數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程.數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的核心，數(shù)學(xué)抽象思維又是數(shù)學(xué)思維的核心.數(shù)學(xué)抽象思維[5]是指對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象，如空間形式、數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律的一種間接的反映，然后按照一般的思維規(guī)律去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性活動(dòng).心理學(xué)研究表明，高中學(xué)生已經(jīng)能進(jìn)行抽象思維，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維的抽象之美，不僅有助于提高學(xué)生的解題能力，還可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

例如，例2的求解給予我們啟發(fā)，將例2的解題思維進(jìn)行抽象概括：對(duì)于能夠分離的二元方程，可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相等，再結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)(最值、單調(diào)性等)求解.

變式1已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

變式2已知函數(shù)f(x)=x·ex,x∈(-∞,2)，函數(shù)g(x)=ax+1,x∈[-2,2]，?x1∈[-2,2]，總存在x0∈(-∞,2)，使得f(x0)=g(x1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式1、變式2與例1都屬于二元方程問題，本質(zhì)上都是分離后可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的交集問題.學(xué)生掌握了將二元方程問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域關(guān)系來求解問題的思維，在今后的學(xué)習(xí)中，無論題目中的數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)量關(guān)系怎么變化，只要本質(zhì)上屬于這一類問題就都可以用這種思維解決問題，這就是體現(xiàn)數(shù)學(xué)的抽象思維，這些成果進(jìn)一步展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的抽象之美.

五、數(shù)學(xué)思維之美在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用建議

思想無法替代，思維無法復(fù)制.教師在教學(xué)中應(yīng)注意自己的角色定位，科學(xué)地把握學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，科學(xué)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，做一名科學(xué)的引導(dǎo)者.

(一)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，一是挖掘隱藏在題目中的數(shù)學(xué)思想方法；二是要將“方法”提升到“思想”，擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；三是注重引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行遷移、運(yùn)用，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)平臺(tái)讓數(shù)學(xué)思想方法與學(xué)生原有知識(shí)建立聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納探索的能力，這樣才使問題有了思考的火花，才能引導(dǎo)學(xué)生一起領(lǐng)略數(shù)學(xué)思維之美.

(二)注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的理解

理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，也要注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的理解，才能建立知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系.只有學(xué)生從根本上掌握這些知識(shí)，才能在解題中進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維之美.

(三)注重思維過程的暴露，進(jìn)行思維的再創(chuàng)造

在解題教學(xué)中暴露數(shù)學(xué)的思維過程是非常重要的，不僅要暴露教師的數(shù)學(xué)思維過程，還要暴露學(xué)生的思維過程，讓學(xué)生將自己的思維過程和教師的思維過程進(jìn)行比較，從比較中去體會(huì)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維之美.然后可以對(duì)思維方法進(jìn)行拓展，從不同的角度對(duì)現(xiàn)有的問題進(jìn)行探究，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.