授學(xué)生以漁，從教他們“如何理解題意”開始

◎朱麗娟

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校，江蘇　揚(yáng)州　225002)

波利亞在他的《怎樣解題》中給出了一張解題表.他的解題過程的第一步就是弄清問題，即清楚地了解問題，弄清它的主要部分.涂榮豹老師在他的《論反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)》中指出：“就學(xué)習(xí)解題而言，最重要的是‘理解題意’和‘解題回顧’，因?yàn)檫@是最終學(xué)會‘制訂解題計(jì)劃’的前提和基礎(chǔ).”數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué)，而解題首先要重視的問題就是引導(dǎo)學(xué)生邁出解題的第一步——審題，即理解題意.

以信息論的觀點(diǎn)看，就是如何獲取信息和如何加工信息.事實(shí)上，中學(xué)生獲取信息很容易，因?yàn)槎嗄陙恚瑢W(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)讓他們懂得，數(shù)學(xué)題中沒有多余的信息.然而，如何加工信息才是關(guān)鍵.在閱讀題意的過程中，如何將獲取的信息快速準(zhǔn)確地翻譯為自己的語言，這中間還有一個判斷的過程，考查的是什么知識點(diǎn)？這個知識點(diǎn)是定義還是公式或是具體的操作方法？要注意的是什么？若干個知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)是什么？已知量和未知量之間的橋梁信息又是什么？

學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時(shí)，指導(dǎo)他們解題前審題要慢，讀懂題意并且給出判斷；判斷涉及哪些知識點(diǎn)，這些知識點(diǎn)的考點(diǎn)和主要點(diǎn)在哪里；動筆時(shí)，計(jì)劃怎么做，思路是否暢通可行.

下面從三個方面來看，高三復(fù)習(xí)中的審題指導(dǎo)和訓(xùn)練.

一、注意題目條件之間的實(shí)質(zhì)關(guān)系

2012江蘇卷12題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是________.

分析這個題目，不少學(xué)生首先想到的是先將圓的方程表達(dá)出來，利用圓和圓的位置關(guān)系來進(jìn)行求解.

解法1設(shè)存在直線y=kx-2上一點(diǎn)的坐標(biāo)P(x，kx-1)，使得以P為圓心，半徑為1的圓與圓C有公共點(diǎn)，

故|rP-rC|≤CP≤rP+rC，

即不等式(1+k2)x2-4(2+k)x+16≤0有解.

所以，Δ=[4(2+k)]2-4(1+k2)·16≥0，

評析這是按照題目給出的條件，先設(shè)出圓的方程，再利用圓和圓的位置關(guān)系構(gòu)造含有k的不等式，進(jìn)行求解，這是直線型的思考方式.如果我們讀題后做進(jìn)一步的思考，就會發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，而直線可以看成是過定點(diǎn)(0，-2)的除垂直于x軸的直線系，圓C是已知圓心和半徑的定圓.這就使得我們不妨從直線和圓的位置關(guān)系的角度來進(jìn)行研究，即利用圓心到直線的距離這個量來進(jìn)行刻畫.容易發(fā)現(xiàn)，圓C的圓心到直線的距離d≤2.

于是，解法2如下：

因?yàn)橹本€y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，

二、注意題目中隱含條件的挖掘

2012江蘇高考13題：已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域?yàn)閇0，+∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)

但是，仔細(xì)挖掘題目的隱含條件就會發(fā)現(xiàn)，如圖所示，由函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域?yàn)閇0，+∞)可得，

Δ=a2-4b=0.

(1)

又方程f(x)=c的兩根之差的絕對值等于6，則

(2)

由(1)(2)可以很快解得，c=9.

三、注意樹立合理的目標(biāo)意識

(1)

(2)

由(1)得，y≤7.

當(dāng)x=1時(shí)，g(x)min=g(1)=1，故lny≥1，y≥e.