例談高中數學教材習題的自學指導策略

◎唐海軍

(四川文理學院數學學院，四川　達州　635000)

在數學課堂中，習題常常被誤以為只是理解新知識的鞏固性、一次性材料.在學生糾錯之后，一道道習題便完成了使命，至于習題的“評價作用、總結作用、教育作用、文化熏陶”[1]等功能全然沒有發揮出來.陳希孺院士曾經說：“學好數學重在多做習題.”[2]習題也應該是一種地位等同于教材正文一般重要的學習材料.習題也需要學生課前自主預習，課后鞏固復習.下面通過“圓錐曲線與方程”一章幾個例題來說明學生在自學教材習題時，應該多注意所學知識之間的聯系，最終達到自學教材，解決習題的目的.

一、由命題推導中獲得的結論解決習題問題

①

若對該等式進行不同的等價變形，可得到不同的結論.

對①式，人教版教材的處理方法是：上式兩邊再平方，整理，并令a2-c2=b2(b>0)，就得到了焦點在x軸上的橢圓的標準方程.

人民教育出版社普通高中課程標準實驗教科書A版(簡稱“課標版”，下同)數學選修2-1上的這種兩次平方法推導，在19世紀以前沒有一位數學家采用，直至英國數學家薩爾蒙(1819—1904)在1855年才開始使用.隨后英國數學家卡西(1820—1891)、美國數學家紐庫姆(1835—1909)相繼采用.而到了20世紀，在各國應用橢圓第一定義的教材中，推導時幾乎都用了此法.究其原因，兩次平方法雖然比較繁復，但卻具有通性通法，即介紹了如何化簡含有兩個根式的一般方法.正是基于這樣的優點，我國教材也一直采用該法.[3]

對①式處理方法二：兩邊同除以a，有

②

這自然獲得了橢圓的第二定義.

例1(課標版選修2-1，第二章圓錐曲線的復習參考題B組-3題)點M與定點F(2，0)的距離和它到直線x=8的距離的比是1∶2，求點M的軌跡.

二、由例題研究到習題自學

教材例題是教材的重要組成部分，一般具有典型方法的示范性.“例題或寓有一般結論，或者蘊含深刻的背景材料.”[4]學生對習題的自學可以嘗試從例題與習題的聯系入手.

例2(課標版選修2-1，2.4節例4)斜率為1的直線經過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線相交于兩點A，B，求線段AB的長度.

解易知拋物線焦點F的坐標為(1，0)，直線AB的方程為y=x-1，將其代入拋物線方程y2=4x中，得x2-6x+1=0.從而xA+xB=6.

再由|AB|=|x1+x2+p|，得線段AB的長度為8.

例3(課標版選修2-1，習題2.4，A組-5題)M是拋物線y2=4x上一點，F是拋物線的焦點，以Fx為始邊、FM為終邊的角∠xFM=60°，求|MF|.

三、由教材探究例到習題自學

為體現課標關于學生自主探究學習的理念，教材編寫中設置了相當數量、主題豐富的探究式欄目.對這些探究題的學習，有利于拓展知識面與知識結構的完善.

當m>0時，M軌跡為雙曲線；當m<0且m≠-1時，M軌跡為橢圓；當m=-1時，M軌跡為圓.從而得出：平面內與兩定點的連線的斜率之積是常數k的動點的軌跡也可能是橢圓.[5]此結論，可用來解決習題，如課標版選修2-1中的第二章圓錐曲線的復習參考題A組-10題：已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是(-5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直線的斜率之積等于m，試探求頂點C的軌跡.

四、由練習題目類比解決新習題

鄭毓信教授認為數學基礎知識，不能理解成各個孤立的知識點，簡單言之，對基礎知識“不應求全，而應求聯”.為了幫助學生很好地掌握數學基本技能，數學的解題“不應求全，而應求變”.[6]數學教師在布置習題時，不應滿足于簡單的重復，而應幫助學生學會在各種變化的條件下對各個基本技能的辨認和應用.

對①式處理方法三：兩邊同除以a，有

當c>0，則|MF2|=a-ex；當c<0，則|MF1|=a+ex.稱它們為橢圓的焦半徑公式.

常言道：“授之以魚，不如授之以漁.”數學的學習原理與此相同.習題解答如果僅僅停留在一題一練，也只是滿足各個知識點的釋義，個別方法的應用，至多算是“授之以漁具”.習題課的教學要“充分發揮教材習題的優勢，加強習題聯系，重視變式訓練”[7].指引學生自學習題，要從尋找習題與數學定義、習題與例題、習題與探究、習題與習題等方面的聯系入手來探尋“捕魚之道”，從而逐步增強高中生自主學習與探究學習的能力，達到高中數學課程標準對中學生數學學習的要求，實現舉一反三、觸類旁通的效果.