極點與極線的幾何意義及應用

◎陽友雄

(珠海市第一中學平沙校區，廣東　珠海　519055)

極點與極線，是法國數學家笛沙格(Girard Desargues，1591—1661)于1639年在射影幾何學的奠基之作《圓錐曲線論稿》中提出來的，其定義如下.

一、圓錐曲線極點和極線的定義及其幾何意義

已知圓錐曲線C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(A2+C2≠0)，則稱點P(x0，y0)和直線l：Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圓錐曲線C的一對極點和極線.

定理1極點和極線的幾何意義如下：若點P和直線l是圓錐曲線C的一對極點和極線，則：

(1)若極點P在曲線C上，則極線l就是曲線C在點P處的切線；

(2)若過極點P可作曲線C的兩條切線，M，N為切點，則極線l就是直線MN；

(3)若過極點P的直線與C交于M，N，則C在M，N處的兩條切線的交點Q在極線l上；

(4)若過極線l上一點Q可作C的兩條切線，M，N為切點，則直線MN必過極點P.

證明設極點為P(x0，y0)，則極線l：Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0.

(1)方程Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0兩邊對x求導得Ax+Cyy′+D+Ey′=0，

代入切線方程化簡得切線方程為l：Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0.

(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，由(1)得曲線在點M(x1，y1)處的切線方程為Ax1x+Cy1y+D(x+x1)+E(y+y1)+F=0，而此切線過點P(x0，y0)，

所以有Ax1x0+Cy1y0+D(x0+x1)+E(y0+y1)+F=0.

同理得Ax2x0+Cy2y0+D(x0+x2)+E(y0+y2)+F=0，

故過直線MN的方程為Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0，

故極線l就是直線MN.

(3)設Q(m，n)，由(2)得直線MN的方程為Amx+Cny+D(x+m)+E(y+n)+F=0.

又直線MN過點P，所以有Amx0+Cny0+D(x0+m)+E(y0+n)+F=0，故曲線C在M，N兩點處的兩條切線的交點Q在極線l上.

(4)設Q(m，n)，由(2)得直線MN的方程為Amx+Cny+D(x+m)+E(y+n)+F=0.

又點Q(m，n)在直線l上，所以Amx0+Cny0+D(x0+m)+E(y0+n)+F=0.

由以上兩式可知點Q(m，n)在直線MN上，即直線MN必過極點P.

推論3對于拋物線y2=2px，則極點P(x0，y0)對應的極線方程為y0y=p(x+x0).

二、圓錐曲線極點和極線的應用

例1(2014·遼寧高考題)已知點A(-2，3)在拋物線C：y2=2px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，求直線BF的斜率.

(1)分別過點M，N作雙曲線的切線l1，l2，證明：三條直線l，l1，l2相交于一點；

(2)設點P是直線l上一動點，過P作C的兩條切線PA，PB，A，B為切點，求證Q在AB上.

即D(x3，y3)在l上，故l，l1，l2相交于一點.

將Q(-1，-1)代入可知符合方程x0x-(x0+4)y-4=0，即Q在直線AB上.