線性規劃問題的三個方面

◎王軍紅

(西安市遠東第一中學，陜西　西安　710000)

線性規劃知識自進入中學數學教材以來，就受到了高考命題專家、數學研究者和廣大的中學數學教師的青睞.線性規劃習題取材廣泛、形式靈活、背景新穎，恰當地融數的分析于形的直觀推理之中，成為命制高考試題的新陣地.要充分學好線性規劃內容，作為一名高中數學教師，我通過近幾年的教學實踐，特別是新課改下的教學實踐，覺得要掌握好線性規劃知識及其應用、提升解題能力，需要從以下幾個方面努力.

一、注重程序，實現解題模式的格式化

在中學數學教學中“注重通性通法，淡化特殊技巧”是高考早已提出的要求.線性規劃問題的基本解題思路是“畫圖→平移求點→代值解答”.其中，規范作圖是準確解答的基礎.不僅要規范地作出可行域，還要能準確體現出線性目標函數與可行域邊界在傾斜程度上的差異.舉例如下.

圖1

點評用線性規劃求最值是數形結合的一個重要方面，它使眾多變量匯聚的代數問題變得直觀、簡捷，而規范的作圖則是成功求解的基礎.線性規劃的這一基本應用程序要讓學生形成熟練的解題模式.

圖2

點評處理線性規劃整數解問題的基本思路是：若頂點恰為整數，則它就是最優解；若不是整數點，應先求出該點坐標，并計算目標函數z的值，而后在可行域內適當放縮目標函數的值，使其為整數且距離z最近，依次找點求最值.

讀者不妨練習：某實驗室需購買某種化工原料106 kg.現在市場上該原料有兩種包裝，一種是每袋35 kg，價格是140元；一種是每袋24 kg，價格是120元.在滿足需要的前提下，最少要花費多少元？

二、挖掘潛力，提升應用能力

可行域是線性規劃問題研究的重點，確定可行域的基本方法是：直線定界，特點定域.確定區域時遵循：同側同號，異側異號.

例3已知直線l過點P(-1，2)且與以A(-2，-3)，B(3，0)為端點的線段有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍.

圖3

解析(當然此題有多種不同的解法，這里僅用可行域的思想求解)設直線l的方程為y-2=k(x+1)，令f(x，y)=kx-y+k+2，A，B不落在l的同側，又l可過A，B兩點，所以f(-2，-3)·f(3，0)≤0，

點評當然本題的解答有多種方法，而且此法并非最簡.但從利用可行域的思想可以看出，上述解法新穎獨特，別具一格，而且很好地回避了k的正負分類討論.

類似地練習：若直線l1：y=kx+2與l2：y=-2x+4的交點在第一象限內，求k的取值范圍.

三、發散思維，拓展應用層次

線性目標函數具有明顯的幾何意義，學習時要充分挖掘目標函數的幾何意義，常見的目標函數有以下幾種類型：

(2)距離型z=(x-a)2+(y-b)2，即z的幾何意義為可行域內的動點(x，y)與定點(a，b)的距離的平方；

解析設f(x)=x2+ax+2b，由方程x2+ax+2b=0的一個根在(0，1)內，另一根在(1，2)內可知

圖4

設P(a，b)為上述不等式組所確定的可行域(如圖4所示陰影部分)內的任一動點，A(-1，0)，B(-2，0),C(3，0).

又BD2=13，而DA2=8，DC2=17，

∴(a-1)2+(b-2)2的取值范圍是(8，17).

(3)令z=a+b-3，結合圖形可知，當l：a+b-3=0平移分別過點A，B時，z值分別取最大值、最小值，依次為-4，-5，∴z=a+b-3的取值范圍為(-5，-4).

實踐表明，充分重視以上三個方面的學習與練習，能促進學生對線性規劃的理解以及應用能力的提升.