圓錐曲線中一題多解一例

◎王　堅

(昆明市第十二中學，云南　昆明　650041)

該題是一個集直線與圓錐曲線位置關系、點與圓錐曲線的位置關系、中點弦、方程與不等式等數學知識于一體的典型案例.《數學考試說明》告訴我們：在知識網絡交匯處、思想方法的交匯線和能力層次的交叉區設置問題.

法一點差法(涉及中點問題，是應該想到的常規方法，重點講解).

解設橢圓上關于l對稱的兩點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中點為M(x0，y0)，代入橢圓方程后作差，得

①

由點M(x0，y0)在直線l：y=4x+m上，得y0=4x0+m(點在直線上).

②

由①②解得x0=-m，y0=-3m.

因為點M(x0，y0)在橢圓的內部，

分析兩點A，B關于直線l對稱(對稱的特征：垂直與平分——斜率和中點).

法二韋達定理法(涉及直線與圓錐曲線問題時，一般會想到的方法，重點講解).

解橢圓上存在兩點A，B關于直線l：y=4x+m對稱.

則直線AB與橢圓有兩個不同的交點，

Δ=-192(4b2-13)>0(存在，小心會漏掉)，

①

(僅有這兩點還不夠，因為最容易出漏洞的是：保證存在.)

法三平行弦中點軌跡法(類似于點差法，這種方法很特殊，很難想到，可以講解，不做重點要求).

又y0=3x0，