在尋找共性中解讀教材

摘 要：教材例題編寫體現編者對知識本質的認識，反應編者對學生理解數學概念路徑的認識，通過不同版本教材例題的對比有利于一線教師準確理解編者意圖；有利于一線教師正確把握數學知識的內涵意義；更有利于教師合理安排教學過程。本文借助10的基數意義兩版教材例題對比，從基數意義是什么、怎樣促進基數意義等角度分析，以試圖探索基數意義教學的一些共性特點，希望幫助一線教師對數概念教學有更清晰的把握。

關鍵詞：基數意義；教材對比；理解路徑

對當前各個地區使用的不同版本教材對“10的基數意義認識”的有不同編寫思路，對比解讀不同版本教材對基數意義內容編寫共同特點，不僅有利于一線教師科學合理把握教材，而且還能從中感受到學生理解數概念形成的一般過程，從而指導課堂教學。

一、 什么是基數意義？

弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》一書中第164頁指出：基數或勢就是數量數的形式化，康托認為基數意義是所有與它等勢的集合所共有的，等勢就是兩個集合元素之間能一一對應。通俗地理解，基數意義就是關于“有多少”，而這個問題，必須通過數已知集合中元素的個數才能回答。以上的觀點告訴我們基數意義其實就是在集合中解決“有多少”的問題，它最終的成果是關注個數，不再關注對象，也就是我們平時理解的“表示幾”。如10的基數意義就是表示10個元素的集合的類，它并不關注是10個人，或是10只小鳥，它只關注元素的個數是10就可以了。因此，學生對10的基數意義理解就是對含有10個元素的一類集合的抽象概括理解。

二、 怎樣促進10的基數意義理解？

（一） 兩版教材都圍繞基數意義的本質特征（有多少）編排例題

康托認為基數意義是所有與它等勢的集合所共有的，等勢就是兩個集合元素之間能一一對應。對照基數意義概念，兩個版本教材例題是怎樣體現概念本質的呢？

1. 在例題素材呈現形式上，兩版教材都凸顯在集合中數數。北師大版教材采用陰影和方框等方式，人教版采用不同類事物（鴿子和人數）以及帶陰影的圓圈圖，讓學生清晰地感受到在集合里數個數，體現集合思想。

2. 在橫向材料選擇上，兩版教材都借助多個集合情景數數，讓學生多角度指向集合情境間元素個數間建立等勢和一一對應，從而引導學生多層次、多角度抽象基數意義。這樣的安排有利于積累學生基數感性經驗，有利于感受基數指集合元素個數的等勢特點。通俗地說，基數意義它不關注對象物理屬性，只關注數量屬性。它不關注對象是否具有鉛筆屬性或是圓圈屬性，只要對象是具有10個單位數量元素的數字屬性，我們都可以用數字符號10來表示。兩版教材都通過多個情境，讓學生感受各個可以用10表示的集合都表示10個元素，體會數與集合元素間、各集合元素個數間的一一對應關系，也就是集合等勢的本質。北師大教材采用連一連的方式，為學生對等勢感受打開新的認識路徑——為什么不是10個，是9個？從而打開集合元素個數與10是否一一對應（即等勢）的思考與辨析。

3. 從材料抽象程度上看，兩版教材都從帶單位的具體數量入手抽象到不帶單位的書面符號10，逐層建構基數意義。無論是北師大版數鉛筆、數圓圈等活動安排還是人教版數鴿子、數人數等活動預設都帶有單位的數量數引入，兩版教材都借助尺子、撥珠子、涂圓圈、舉例子等手段促進數和單位的分離，促進數字符號的抽象。

從以上特點我們不難看出，編者認為基數意義教學本質是在多個帶單位的數量集合情景中讓學生數數，并通過類比，逐漸讓學生將數和單位分離，實現更高層次的符號化的抽象，是一年級基數意義形成一條有效途徑。

（二） 兩版教材都圍繞學生理解意義的路徑（多元表征）編排例題

兩版教材都采用數一數、涂一涂等多個數學活動促進學生理解10的意義，這些活動體現了編者對學生學習10的意義理解路徑的預設。

lesh的表征轉化說認為概念理解可以通過5種不同的表征方式來表征，即現實情境（實物）、圖像、操作模型、口頭語言和書面語言。理解就是用不同的表征方式表征數學概念，并實現表征方式相互轉化、建立表征之間的聯系，當學生能夠將信息從一種表征轉換為另一種表征方式時，理解就產生了。（見鞏子坤教授《程序性知識教與學》第23頁）筆者結合表征轉化說五種表征方式相互轉化的視角，

1. 兩版教材都試圖采用多個表征方式間的互相轉化，試圖建立各種表征方式的橫向對應聯系，積累基數意義的感性經驗，促進學生多個角度歸納基數意義，從而促進學生的理解。需要特別指出的是兩版教材都突出運用現實情境、圖像和操作表征促進基數意義的理解。這可能是編者基于一年級學生年齡特點和對學生數概念形成的一般路徑判斷來安排學生活動的。

2. 在安排的先后順序上，兩版教材都從現實情境入手，借助圖像、操作、語言等表征方式逐步抽象到數字符號，又根據數據符號尋找現實生活的例子，這樣編排的思路和表征方式選擇，從具體到抽象又回到具體，讓學生逐步將客觀事物的數量內化為基數意義的認知結構中，從而促進基數意義的理解。特別指出兩版教材都采用撥珠子的方式學習基數意義，不但有助于抽象出數字，更有利于理解10以內數逐一增加的關系和數序。

三、 對一線老師數概念教學有什么啟示？

（一） 解讀教材要抓住概念本質進行。從上面的比較可以看出，同樣基數意義可以采用不同的路徑和例題進行教學，但萬變不離其宗，形式為內容服務，要抓住上位概念進行取舍和整合，抓住概念的本質屬性選擇教學材料，根據抽象程度，合理安排教學材料呈現順序，幫助學生逐步形成概念。

（二） 概念教學可以利用多種表征方式的互相轉化，讓學生多層次、多角度構建意義，豐富概念知識內涵和外延，從而促進概念的建構和理解。

參考文獻：

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[5]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].上海教育出版社.

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[7]席愛勇.數學多元表征：讓概念形成過程“看得見”[J].教育研究與評論小學教育教學，2017（9）.

作者簡介：林文偉，浙江省麗水市，浙江省景寧畬族自治縣第一實驗小學。