淺談初中數學中的最值問題

◎侯麗娜　劉　君

(1.吉林省公主嶺市桑樹臺鎮中學，吉林　公主嶺　136100；2.北華大學數學與統計學院，吉林　吉林　132000)

最值問題是初中數學中常考的一類問題，解決此類問題，要求學生掌握數學分支知識，能夠綜合運用各類數學技巧，靈活選擇合理的解題方法，還考查學生的運算能力、分析問題和解決問題的能力.初中數學中常考的最值問題大致分為如下幾種.

一、利用“垂線段最短”求最值

例1點A的坐標為(-1，0)，點B的坐標為(a，a)，當線段AB最短時，求點B的坐標.

圖1

本題主要考查點到直線的距離，如圖1所示，根據“點到直線的距離，垂線段最短”可得，當AB垂直于直線y=x時，線段AB最短.根據OA距離、直線解析式以及∠AOB的度數可得出△OAB為等腰直角三角形，點B為頂點，根據三角函數關系得出OC、CB的長度，由于點B在第三象限，因而，可得出點B的坐標.

二、利用“軸對稱”求最值

圖2

例2如圖2所示，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=120°，點E是AB的中點，點F是AC上的一動點，求EF+BF的最小值.

本題主要考查菱形和圖形的軸對稱，根據題意做出輔助線可知，ED的長即為EF+BF的最小值，根據角度以及邊的數量關系求出其他邊長，根據勾股定理得出最小值.

解決一個動點到兩個定點的距離之和的最小值問題，可以利用“軸對稱”的知識將其中一條線段轉化為與其相等的另一條線段，然后利用“兩點之間線段最短”求出距離之和的最小值.

三、利用“三角形三邊關系”求最值

圖3

例3如圖3所示，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A，B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離是多少？

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，三角形的三邊關系，矩形的性質和勾股定理.根據三角形的任意的兩邊之和大于第三邊可知，取AB的中點E，連接OE，DE，OD.則OD小于等于OE+DE，當O，D，E三點共線時，點D到點O的距離是解題的關鍵.

四、函數中的最值

函數中的最值問題通常是利用函數知識來解決實際問題，根據題意在實際問題中建立函數關系，再利用函數性質來解決其中的問題，有時需要與其他相關知識相結合.這部分內容是中考中的重點與熱點，體現了數學的應用價值.

例4服裝店準備購進甲、乙兩種服裝，甲服裝每件進價80元，售價120元；乙種服裝每件進價60元，售價90元，計劃購進兩件服裝共100件，其中甲服裝不少于65件，不多于75件，該服裝店對甲服裝以每件優惠a(0

本題綜合運用函數以及不等式(組)來解決實際問題，根據題意可得利潤W=(40-a)x+30(100-x)=(10-a)x+3 000，根據a的不同范圍來確定在x取值不同的影響下W的最值情況.本題中要注意一次函數y=kx+b，當k>0時，函數值y隨x的增大而增大：當k<0時，函數值y隨x的增大而減小.

解決函數中最值問題的基本方法：

(1)根據題意建立函數關系式；

(2)根據實際意義建立關于自變量的不等式(組)；

(3)根據函數自變量的取值范圍，確定符合條件的方案；

(4)利用函數的性質求最大值或最小值.

在代數里最值問題多出現在函數部分，無論是一次函數、反比例函數、二次函數，一般是先求自變量的取值范圍，再求解析式，根據實際問題求出最值.在幾何中的最值問題是指當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量(如，線段的長度、圖形的面積、角的度數)的最大值或最小值問題.幾何最值問題常以動點、軸對稱、旋轉為背景，解題時需要運用動態思維、數形結合、特殊與一般相結合、邏輯推理與想象相結合等多種思想方法.在初中數學的學習中靈活運用所學的思想方法，提高學習效率，提升學生整體水平.