高中學生數學歸納法學習中常見錯誤及對策

徐曉功

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2018）19-0124-01

在高中數學的學習中，數學歸納法是一種比較常用的數學方法，在解決某些結論是自然數的函數命題時，運用數學歸納法對問題加以證明能夠起到事半功倍的效果。但是在長期對學生進行教學的過程中發現，很多學生在利用數學歸納法解決數學問題時，經常會出現一些比較常見的錯誤，對學生數學的學習造成了一定的障礙，本文主要對學生運用數學歸納法的常見錯誤進行了研究，并提出了一些解決策略。

1.高中生學習數學歸納法中的常見錯誤

1.1機械套用，不認真驗算。

例1：證明等式2+4+6+…+2n=n2+n+1（n∈N+）是否成立。

錯誤解法：（1）當n=1時，等式兩邊都等于2，此時等式成立。

（2）當n=k時，2+4+6+…+2k=k2+k+1，等式兩邊同時加上2（k+1）

2+4+…+2k+2（k+1）= k2+k+1+2（k+1）

也就是2+4+…+2（k+1）=（k+1）2+（k+1）+1

所以當n=k+1時，原等式也成立。

由題目可知，當n=1時，原等式實際上是不成立的，學生在解題時忽略了第一步的重要作用，對數學歸納法進行機械的套用，造成解題的錯誤。

1.2存在多余驗證。

例2：如果n∈N+，證明n2+5n能夠被6整除。

很多學生在對這道題進行第一步的證明時，會對n=1、n=2，n=3的情況分別進行驗證，如當n=1時，12+5×1=6能夠被6整除，當n=2時，22+5×2=18能夠被6整除，當n=3時，32+5×3=24能夠被6整除。很多學生在初學數學歸納法時都會存在多余驗證的問題，實際上是一種出力不討好的現象。

1.3自以為是，蒙混過關。

例2：當n∈N+，證明（3n+1）·7n-1能夠被9整除。

證明：（1）如果n=1，4×7-1=27能夠被9整除。

（2）如果n=k時，（3k+1）·7n-1能夠被9整除，那么[3（k+1）+1]·7k+1-1=[3k+1+3] ·7k+1-1+3·7k+1能夠被9整除，所以當n=k+1時，（3n+1）·7n-1也能夠被9整除。

學生在第二步的證明中，令p（n）=（3n+1）·7n-1，很難找到p（k+1）與p（k）之間的內在聯系，所以在解題時草草收場。

2.高中生運用數學歸納法常見錯誤的解決方法

2.1利用學生熟悉的內容，突破概念中的重難點理解問題。

教師在對學生進行數學歸納法的教學或者講解時，可以以學生比較熟悉的事例來導入課堂學習內容，讓學生更加深刻的了解數學歸納法的本質，更好的掌握數學歸納法的概念和用法。比如教師在對學生進行數學歸納法教學時可以利用擊鼓傳花的游戲來導入課堂教學內容，讓班級的學生排好隊圍成一圈，當學生聽到鼓聲時，就把花傳到下一位同學手中，鼓聲停止，傳花過程終止。游戲過后，教師可以給學生提出問題，為什么每位同學都能夠在游戲中拿到花呢？原因就在于傳花的規則，在第一位同學拿到花時，聽到鼓聲就要把花傳到下一位同學手中，只要鼓聲不停，就能夠保證花的無限傳遞，這樣就能夠保證每位同學都能夠拿到花。我們可以假設每位同學都能夠拿到花的命題是p（n），要想使p（n）真正實現首先要保證第一位同學能夠拿到花，也就是保證p（1）時，命題為真命題，根據傳花的規則再得到p（k+1）為真命題，這樣就能夠保證每一位同學在游戲中都能夠拿到花，不用再進行一一驗證。學生在傳花的過程中就能夠體會到命題真正的傳遞過程，對數學歸納法的兩步運算程序進行深刻的理解，從中領悟數學歸納法的內涵，促進學生關于數學歸納法知識結構的構建。

2.2提煉要點，加深學生的印象。

在學生理解了數學歸納法的用法之后，教師可以帶領學生對數學歸納法的使用要點進行提煉，最好能夠形成口訣，幫助學生加深對數學歸納法知識的記憶。可以把數學歸納法的使用歸納為一表示“使用p（k）表示p（k+1）”、二使用“使用歸納假設法進行驗證”、三變形“運算變形，得到結論”。這樣就能夠幫助學生更好地掌握數學歸納法的正確使用方式和使用步驟，防止學生在進行第二步的論證時，不使用歸納假設法，而使用其他驗證方式的錯誤做法。

2.3利用數學歸納法的變式拓寬學生的視野。

設p（n）是關于n∈N+的命題。

（1）使用第二數學歸納法來解決，（1）p（1）為真命題，（2）如果m≤k，p（m）為真命題，p（m+1）為真命題，所以p（n）對于一切n∈N+都是真命題。

（2）使用雙擊歸納法來解決，（1）p（1）、p（2）為真命題，（2）p（k-1）和p（k）均為真命題，那么p（n）對于一切n∈N+都是真命題。

（3）使用跳躍式數學歸納法來解決，（1）p（1）、p（2）、…、p（m）都是真命題，（2）p（k）為真命題，那么p（n）對于一切n∈N+都是真命題。

2.4讓學生打好基礎，掌握數學歸納法的變形能力。

扎實的數學基礎是高中生學好數學的根本方法，在對學生進行教學時，教師要著重培養學生對于基本知識的掌握，引導學生對數學歸納法進行牢固的掌握，對于學生在解題中容易出現的錯誤，教師可以通過為學生講解典型例題的方式進行解決。對于那些難以進行變形的問題，教師也可以通過為學生講解典型例題，讓學生對解題的規律和技巧進行深刻的掌握。

結語

學生在學習數學歸納法時，很難避免各種問題的出現，教師在對學生進行數學歸納法講解時，一定要對學生經常出現的問題進行分析和總結，針對學生容易出現的問題提出相關的解決措施，促進學生數學水平和學校數學教學水平的快速提高。