用“三角形法則”求解運(yùn)動(dòng)學(xué)極值問題探討

(江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽高級(jí)中學(xué)，江蘇　鎮(zhèn)江　212309)

在研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)常遇到求解物理量在物體運(yùn)動(dòng)過程中的最大值或最小值問題，稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)極值問題．解答這類問題時(shí)，可以有很多方法，但在解決相對(duì)運(yùn)動(dòng)或曲線運(yùn)動(dòng)等類型題目時(shí)，用三角形法則，可以使解答過程簡捷明了、清晰直觀，現(xiàn)舉幾例加以說明。

1　速度極值問題

圖1

例1：甲質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向以v1速度勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，乙質(zhì)點(diǎn)以v2速度從B點(diǎn)出發(fā)做勻速運(yùn)動(dòng)，如圖1所示，已知A、C相距l(xiāng)，B、C相距d，且BC⊥AC，若要兩質(zhì)點(diǎn)相遇，v2的最小速率為多少？

解析：這是兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相遇問題，可以選甲為參照物，則乙相對(duì)于甲的運(yùn)動(dòng)沿著AB的連線方向，可將乙對(duì)甲的運(yùn)動(dòng)看成兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是乙對(duì)地的運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)是地對(duì)甲的運(yùn)動(dòng)。

本題有兩個(gè)巧妙之處，一是巧選參照物，使復(fù)雜的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題變成了簡單的一維運(yùn)動(dòng)；二是巧構(gòu)矢量三角形，乙物體的速度v2是動(dòng)態(tài)的，根據(jù)三角形的特點(diǎn)，很容易判斷出v2的最小值所對(duì)應(yīng)的方向，避免了煩瑣的運(yùn)算過程，快速、直觀地解決了問題。

2　角度極值問題

例2：假定某日刮正北風(fēng)，風(fēng)速為u，一運(yùn)動(dòng)員在風(fēng)中跑步，他對(duì)地面的速度大小是v，試問在u

圖2

解析：如圖2所示，題中要研究的運(yùn)動(dòng)可以這樣定義：風(fēng)對(duì)地的速度為絕對(duì)速度，用u表示；人對(duì)地的速度為牽連速度，用v表示；風(fēng)對(duì)人的速度為相對(duì)速度，用V′表示。

由圖可知，矢量三角形中，V′和v夾角不可能等于90°，因此，不可能實(shí)現(xiàn)．因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員想讓風(fēng)從正右側(cè)吹來，盡管風(fēng)相對(duì)人的夾角達(dá)不到90°，但是仍有最接近垂直的角度，此角度即為題中所求的最大夾角。

本題對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求較高，首先要把風(fēng)看成一個(gè)物體，那么問題中就涉及三個(gè)運(yùn)動(dòng)對(duì)象：風(fēng)、人、地．再研究三個(gè)運(yùn)動(dòng)：風(fēng)對(duì)人的運(yùn)動(dòng)、風(fēng)對(duì)地的運(yùn)動(dòng)、人對(duì)地的運(yùn)動(dòng)．最后，將三個(gè)速度構(gòu)成一個(gè)矢量三角形，用正弦定理求解，比較快捷。

3　射程極值問題

例3：一鉛球運(yùn)動(dòng)員以初速度大小為v0斜向上拋出鉛球，球出手時(shí)離地高度為h，試討論拋出角θ為多大時(shí)物體落地的水平位移最大。

圖3

本題求解曲線運(yùn)動(dòng)的射程極值時(shí)，巧妙地把拋出時(shí)的初速度v0、落地速度vt、速度變化Δv三個(gè)物理量構(gòu)成一個(gè)矢量三角形，其“面積”并沒有特定的物理意義，但在求解過程中發(fā)現(xiàn)tv0cosθ=x，用兩種思路表達(dá)“面積”，巧妙解答復(fù)雜問題，有“柳暗花明又一村”之感。

運(yùn)用“三角形法則”求解運(yùn)動(dòng)學(xué)極值問題雖然簡便，但在構(gòu)建矢量三角形時(shí)，還要考慮其合理性、科學(xué)性，要深入挖掘題目的已知條件，找出相互關(guān)聯(lián)的物理量，充分借助矢量三角形的特點(diǎn)。在解決問題時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。