基于雙約束的穩健波束形成技術

王海濤　王　偉　張　明　符渭波

(西安電子工程研究所　西安　710100)

0　引言

自適應波束形成技術在諸如雷達，聲吶，通信等諸多工程領域有著廣泛的應用，同時也是理論界一直研究的熱點[1-4]，其基本思想是通過對陣列天線各個陣元接收的信號進行加權求和，可以自適應的抑制來自非目標方向的干擾，同時在目標方向形成主瓣增益，提取目標信號。

傳統的Capon自適應波束形成方法在目標方向陣列天線導向矢量準確已知時，具有非常優異干擾抑制性能[2]。但當波束形成訓練數據中包含目標信號時，Capon波束形成技術則存在目標信號相消的現象。特別地，當目標信號方向不是準確已知或者陣列天線結構存在誤差導致期望的目標信號導向矢量與其實際值之間存在誤差或者訓練數據過少時時，這種目標信號相消現象將會更加嚴重。

為了解決傳統自適應波束形成過程中的目標相消現象，本文提出了一種基于雙約束的穩健自適應波束形成方法，不同于傳統的Capon自適應波束形成只約束了目標方向的增益，本文利用兩個不等式限制條件不僅約束了目標方向的最小增益，同時約束了權矢量的最大均方值，最后利用基于內點方法的凸優化技術求解最優波束形成權矢量。仿真分析表明，本文提出的方法不僅能夠避免信號相消的現象，同時當存在導向矢量誤差和少的訓練數據的情況下也仍然有效，非常適合于用作工程領域。

1　算法描述

假設波束形成的輸出信號由如下式子描述：

y(k)=w′x(k)

(1)

其中x(k)=[x1(k),x2(k),…,xM(k)]T是M×1維的陣列天線各陣元接收信號復矢量，它包含了感興趣的目標回波信號以及來自其他方向的干擾和陣元噪聲等。w=[w1,…,wM]T是M×1維的波束形成加權矢量，M表示天線陣元個數。K是時間系數，(·)T和(·)′分別表示轉置和共軛轉置。

自適應波束形成算法的核心就是根據陣列天線各陣元的接收信號求解最優加權矢量，也即式(1)中的w。在本文中，我們提出波束形成加權矢量w可以通過求解如下雙不等式約束求得：

(2)

a(θ)是M×1維的期望目標方向陣列天線導向矢量，并且我們對a(θ)進行了歸一化，(也即a′(θ)a(θ)=1)；

b1和b2為接近1的常數，同時為了進行干擾抑制和應用于存在導向矢量誤差的情況，b2通常被設定為略大于b1。

可以很容易看出式(2)是一個標準的凸優化問題(因為目標函數和兩個不等式約束都是一個二次均方函數，同時可以很容易的看出的它們的海塞矩陣是共軛對稱的并且是半正的)。因此式(2)可以利用標準的凸優化方法求解，比如文獻[5]和[6]所提的內點方法。

在內點法中，求解式(2)可以通過轉化為最小化如下代價函數：

φt(w)=w′Rw-t(logc1+logc2)

(3)

其中，c1=w′a(θ)a′(θ)w-b1，c2=b2-w′w。根據文獻[5]和[6],我們知道當罰值變量t趨向于0時，使式(3)最小化的w就是式(2)的最優解。

利用牛頓迭代法[5]求解式(3)，也即迭代搜索方向可以通過求解如下牛頓方程獲得：

HΔw=-g

(4)

其中H=wT(w*φt(w))表示w的海塞矩陣，g=w*φt(w)表示當前迭代步驟的共軛梯度。g和H的準確表達式為如下所示：

g=2Rw-2t(Raw/c1-w/c2)

H=2R-2t(Ra/c1-
2RaRwRa/c12-IM/c2-2Rw/c22)

(5)

其中Ra=a(θ)a(θ)′,Rw=ww′，IM是M×M維的歸一化矩陣。

從而可以得到整個算法流程如表1所示：

表1　算法流程

表1中，N表示總的迭代步數，迭代步長s=βl，其中l∈[1,2,…,lmax]并且滿足如下目標函數：

(6)

式中β∈[0,1]和lmax都是一個給定的常數,其具體取值規則請參照文獻[5]和[6]。

罰值函數t值則按照如下式子進行更新：

(7)

2　仿真分析

表1算法中其它參數設置如下所示：

b1=0.9,b2=1.1,N=25
lmax=40,β=0.5
t=a′(θ)Ra(θ),w=a(θ)

(8)

需要特別指出的是，從文獻[6]我們可以知道利用內點法求解凸優化問題(本文中我們求解的目標函數(2)就是一個標準的凸優化問題)時，其收斂速度將會很快。通常經過20步的迭代就能到最優近似解，因此本文中我們設定的最大迭代步數為25步。

圖1　不同采樣快拍數情況下的波束方向圖

圖1是按照上述的仿真條件，然后利用本文算法在不同的采樣快拍數情況下求得穩健波束形成最優權值以后，獲得的穩健波束形成方向圖。圖中虛線所在的位置表示的是信號來波方向(包括目標信號和干擾)。從圖1(a)中我們可以看出當采樣快拍數為500時，在干擾方向形成了很深的零陷，說明能很好的抑制干擾，同時可以看出雖然目標信號包含在波束形成訓練數據中，但是在目標方向并沒有零陷，這說明沒有出現信號相消的現象。圖1(b)是在采樣快拍數為25時得到的波束形成方向圖，從圖中可以看出來，雖然干擾方向上的零陷深度不如圖1(a)，但是其對干擾的抑制程度仍然達到30dB以上，這說明即使在小采樣快拍數據的情況下，利用本文的算法仍然能夠對干擾進行比較大程度的抑制，同時在目標方向獲得比較大的增益。

為了進一步驗證本文所提算法能夠適用于小采樣快拍數據的情況，我們針對不同的采樣快拍數分別進行100次蒙特卡洛實驗。圖2就是在不同的采樣快拍數K的情況下，利用本文的所提的算法進行波束形成后獲得的信干噪比(SINR)，圖中的結果是100次蒙特卡洛實驗獲得的平均值。從圖2我們可以看出越大的采樣快拍數，其所對應輸出的信干噪比越大，這說明波束形成性能越好。同時特別需要指出的是，即使當快拍數為25時，其所對應的信干噪比仍然達到11dB以上。

圖2　不同的采樣快拍數K所對應輸出的信干噪比

3　結束語

本文我們提出了一種基于雙約束的穩健波束形成算法，仿真分析結果表明本文所提的算法不僅能夠避免信號相消的現象，同時能夠適用于存在目標導向矢量誤差和小快拍采樣數據的情況下。盡管本文需要運用迭代的方法求解波束形成訓練數據，但是由于目標函數是一個標準的凸優化問題，其很少的迭代步數就能達到收斂(一般不超過25次)，因此不會大量增加算法的運算量.