基于雙約束的穩(wěn)健波束形成技術(shù)

王海濤　王　偉　張　明　符渭波

(西安電子工程研究所　西安　710100)

0　引言

自適應(yīng)波束形成技術(shù)在諸如雷達(dá)，聲吶，通信等諸多工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是理論界一直研究的熱點(diǎn)[1-4]，其基本思想是通過(guò)對(duì)陣列天線各個(gè)陣元接收的信號(hào)進(jìn)行加權(quán)求和，可以自適應(yīng)的抑制來(lái)自非目標(biāo)方向的干擾，同時(shí)在目標(biāo)方向形成主瓣增益，提取目標(biāo)信號(hào)。

傳統(tǒng)的Capon自適應(yīng)波束形成方法在目標(biāo)方向陣列天線導(dǎo)向矢量準(zhǔn)確已知時(shí)，具有非常優(yōu)異干擾抑制性能[2]。但當(dāng)波束形成訓(xùn)練數(shù)據(jù)中包含目標(biāo)信號(hào)時(shí)，Capon波束形成技術(shù)則存在目標(biāo)信號(hào)相消的現(xiàn)象。特別地，當(dāng)目標(biāo)信號(hào)方向不是準(zhǔn)確已知或者陣列天線結(jié)構(gòu)存在誤差導(dǎo)致期望的目標(biāo)信號(hào)導(dǎo)向矢量與其實(shí)際值之間存在誤差或者訓(xùn)練數(shù)據(jù)過(guò)少時(shí)時(shí)，這種目標(biāo)信號(hào)相消現(xiàn)象將會(huì)更加嚴(yán)重。

為了解決傳統(tǒng)自適應(yīng)波束形成過(guò)程中的目標(biāo)相消現(xiàn)象，本文提出了一種基于雙約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成方法，不同于傳統(tǒng)的Capon自適應(yīng)波束形成只約束了目標(biāo)方向的增益，本文利用兩個(gè)不等式限制條件不僅約束了目標(biāo)方向的最小增益，同時(shí)約束了權(quán)矢量的最大均方值，最后利用基于內(nèi)點(diǎn)方法的凸優(yōu)化技術(shù)求解最優(yōu)波束形成權(quán)矢量。仿真分析表明，本文提出的方法不僅能夠避免信號(hào)相消的現(xiàn)象，同時(shí)當(dāng)存在導(dǎo)向矢量誤差和少的訓(xùn)練數(shù)據(jù)的情況下也仍然有效，非常適合于用作工程領(lǐng)域。

1　算法描述

假設(shè)波束形成的輸出信號(hào)由如下式子描述：

y(k)=w′x(k)

(1)

其中x(k)=[x1(k),x2(k),…,xM(k)]T是M×1維的陣列天線各陣元接收信號(hào)復(fù)矢量，它包含了感興趣的目標(biāo)回波信號(hào)以及來(lái)自其他方向的干擾和陣元噪聲等。w=[w1,…,wM]T是M×1維的波束形成加權(quán)矢量，M表示天線陣元個(gè)數(shù)。K是時(shí)間系數(shù)，(·)T和(·)′分別表示轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置。

自適應(yīng)波束形成算法的核心就是根據(jù)陣列天線各陣元的接收信號(hào)求解最優(yōu)加權(quán)矢量，也即式(1)中的w。在本文中，我們提出波束形成加權(quán)矢量w可以通過(guò)求解如下雙不等式約束求得：

(2)

a(θ)是M×1維的期望目標(biāo)方向陣列天線導(dǎo)向矢量，并且我們對(duì)a(θ)進(jìn)行了歸一化，(也即a′(θ)a(θ)=1)；

b1和b2為接近1的常數(shù)，同時(shí)為了進(jìn)行干擾抑制和應(yīng)用于存在導(dǎo)向矢量誤差的情況，b2通常被設(shè)定為略大于b1。

可以很容易看出式(2)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的凸優(yōu)化問(wèn)題(因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)和兩個(gè)不等式約束都是一個(gè)二次均方函數(shù)，同時(shí)可以很容易的看出的它們的海塞矩陣是共軛對(duì)稱的并且是半正的)。因此式(2)可以利用標(biāo)準(zhǔn)的凸優(yōu)化方法求解，比如文獻(xiàn)[5]和[6]所提的內(nèi)點(diǎn)方法。

在內(nèi)點(diǎn)法中，求解式(2)可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為最小化如下代價(jià)函數(shù)：

φt(w)=w′Rw-t(logc1+logc2)

(3)

其中，c1=w′a(θ)a′(θ)w-b1，c2=b2-w′w。根據(jù)文獻(xiàn)[5]和[6],我們知道當(dāng)罰值變量t趨向于0時(shí)，使式(3)最小化的w就是式(2)的最優(yōu)解。

利用牛頓迭代法[5]求解式(3)，也即迭代搜索方向可以通過(guò)求解如下牛頓方程獲得：

HΔw=-g

(4)

其中H=wT(w*φt(w))表示w的海塞矩陣，g=w*φt(w)表示當(dāng)前迭代步驟的共軛梯度。g和H的準(zhǔn)確表達(dá)式為如下所示：

g=2Rw-2t(Raw/c1-w/c2)

H=2R-2t(Ra/c1-
2RaRwRa/c12-IM/c2-2Rw/c22)

(5)

其中Ra=a(θ)a(θ)′,Rw=ww′，IM是M×M維的歸一化矩陣。

從而可以得到整個(gè)算法流程如表1所示：

表1　算法流程

表1中，N表示總的迭代步數(shù)，迭代步長(zhǎng)s=βl，其中l(wèi)∈[1,2,…,lmax]并且滿足如下目標(biāo)函數(shù)：

(6)

式中β∈[0,1]和lmax都是一個(gè)給定的常數(shù),其具體取值規(guī)則請(qǐng)參照文獻(xiàn)[5]和[6]。

罰值函數(shù)t值則按照如下式子進(jìn)行更新：

(7)

2　仿真分析

表1算法中其它參數(shù)設(shè)置如下所示：

b1=0.9,b2=1.1,N=25
lmax=40,β=0.5
t=a′(θ)Ra(θ),w=a(θ)

(8)

需要特別指出的是，從文獻(xiàn)[6]我們可以知道利用內(nèi)點(diǎn)法求解凸優(yōu)化問(wèn)題(本文中我們求解的目標(biāo)函數(shù)(2)就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的凸優(yōu)化問(wèn)題)時(shí)，其收斂速度將會(huì)很快。通常經(jīng)過(guò)20步的迭代就能到最優(yōu)近似解，因此本文中我們?cè)O(shè)定的最大迭代步數(shù)為25步。

圖1　不同采樣快拍數(shù)情況下的波束方向圖

圖1是按照上述的仿真條件，然后利用本文算法在不同的采樣快拍數(shù)情況下求得穩(wěn)健波束形成最優(yōu)權(quán)值以后，獲得的穩(wěn)健波束形成方向圖。圖中虛線所在的位置表示的是信號(hào)來(lái)波方向(包括目標(biāo)信號(hào)和干擾)。從圖1(a)中我們可以看出當(dāng)采樣快拍數(shù)為500時(shí)，在干擾方向形成了很深的零陷，說(shuō)明能很好的抑制干擾，同時(shí)可以看出雖然目標(biāo)信號(hào)包含在波束形成訓(xùn)練數(shù)據(jù)中，但是在目標(biāo)方向并沒(méi)有零陷，這說(shuō)明沒(méi)有出現(xiàn)信號(hào)相消的現(xiàn)象。圖1(b)是在采樣快拍數(shù)為25時(shí)得到的波束形成方向圖，從圖中可以看出來(lái)，雖然干擾方向上的零陷深度不如圖1(a)，但是其對(duì)干擾的抑制程度仍然達(dá)到30dB以上，這說(shuō)明即使在小采樣快拍數(shù)據(jù)的情況下，利用本文的算法仍然能夠?qū)Ω蓴_進(jìn)行比較大程度的抑制，同時(shí)在目標(biāo)方向獲得比較大的增益。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提算法能夠適用于小采樣快拍數(shù)據(jù)的情況，我們針對(duì)不同的采樣快拍數(shù)分別進(jìn)行100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。圖2就是在不同的采樣快拍數(shù)K的情況下，利用本文的所提的算法進(jìn)行波束形成后獲得的信干噪比(SINR)，圖中的結(jié)果是100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)獲得的平均值。從圖2我們可以看出越大的采樣快拍數(shù)，其所對(duì)應(yīng)輸出的信干噪比越大，這說(shuō)明波束形成性能越好。同時(shí)特別需要指出的是，即使當(dāng)快拍數(shù)為25時(shí)，其所對(duì)應(yīng)的信干噪比仍然達(dá)到11dB以上。

圖2　不同的采樣快拍數(shù)K所對(duì)應(yīng)輸出的信干噪比

3　結(jié)束語(yǔ)

本文我們提出了一種基于雙約束的穩(wěn)健波束形成算法，仿真分析結(jié)果表明本文所提的算法不僅能夠避免信號(hào)相消的現(xiàn)象，同時(shí)能夠適用于存在目標(biāo)導(dǎo)向矢量誤差和小快拍采樣數(shù)據(jù)的情況下。盡管本文需要運(yùn)用迭代的方法求解波束形成訓(xùn)練數(shù)據(jù)，但是由于目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的凸優(yōu)化問(wèn)題，其很少的迭代步數(shù)就能達(dá)到收斂(一般不超過(guò)25次)，因此不會(huì)大量增加算法的運(yùn)算量.