函數信息遷移題的分類

文 /楊文金

函數信息遷移題的主要類型有:新概念、新公式、新定理、新法則、新運算等.這類題往往與開放性問題、探索性問題結合在一起,考查同學們的閱讀理解能力和探究類比能力.

一、一次函數型

例 1 我們規定：當k，b為常數，k≠0，b≠0，k≠b時，一次函數y=kx+b與y=bx+k互為交換函數．如y=4x+3的交換函數為y=3x+4．一次函數y=kx+2與交換函數的交點的橫坐標為．

二、反比例函數型

例2在平面直角坐標系中，將一點（橫坐標與縱坐標不相等）的橫坐標與縱坐標互換后得到的點叫這一點的“互換點”，如（-3，5）與（5，-3）是一對“互換點”．

（1）任意一對“互換點”能否都在一個反比例函數的圖象上？為什么？

（2）M，N是一對“互換點”，若點M（m，n），求直線MN的表達式（用含m，n的代數式表示）；

（3）在拋物線y=x2+bx+c的圖象上有一對“互換點”A，B，其中點A在反比例函數的圖象上，直線AB經過點，求此拋物線的表達式．

解：（1）不一定. 設這一對“互換點”的坐標為（a，b）和（b，a）．

①當ab=0時，它們不在反比例函數的圖象上；

（2）由M（m，n）得N（n，m），設直線MN為y=cx+d（c≠0）．

∴ 這一對“互換點”是（2，-1）和（-1，2）.將這一對“互換點”代入y=x2+bx+c得，解得

三、其他

（1）若方程y′=0有兩個相等的實數根，則m的值為；

例3對于函數y=xn+xm，我們定義y′=nxn-1+mxm-1（m，n為常數）．例如y=x4+x2，則y′=4x3+2x．解：根據題意得y′=x2+2（m-1）x+m2，

（1）∵方程x2-2（m-1）x+m2=0有兩個相等的實數根，

∴Δ=[-2（m-1）]2-4m2=0，解得

例4 定義[x]表示不超過實數x的最大整數，如[1.8]=1，[-1.4]=-2，[-3]=-3．函數y=[x]的圖象如圖1所示，則方程[x]=0.5x2的解為（）

解：當1≤x＜2時，0.5x2=1，解得（舍去）；

圖1

當0≤x＜1時，0.5x2=0，解得x1=x2=0；

當-1≤x＜0時，0.5x2=-1，方程沒有實數解；

當-2≤x＜-1時，0.5x2=-2，方程沒有實數解.

所以方程[x]=0.5x2的解為0或選A.