函數(shù)信息遷移題的分類

文 /楊文金

函數(shù)信息遷移題的主要類型有:新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算等.這類題往往與開放性問題、探索性問題結(jié)合在一起,考查同學(xué)們的閱讀理解能力和探究類比能力.

一、一次函數(shù)型

例 1 我們規(guī)定：當(dāng)k，b為常數(shù)，k≠0，b≠0，k≠b時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b與y=bx+k互為交換函數(shù)．如y=4x+3的交換函數(shù)為y=3x+4．一次函數(shù)y=kx+2與交換函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

二、反比例函數(shù)型

例2在平面直角坐標(biāo)系中，將一點(diǎn)（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不相等）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點(diǎn)叫這一點(diǎn)的“互換點(diǎn)”，如（-3，5）與（5，-3）是一對(duì)“互換點(diǎn)”．

（1）任意一對(duì)“互換點(diǎn)”能否都在一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上？為什么？

（2）M，N是一對(duì)“互換點(diǎn)”，若點(diǎn)M（m，n），求直線MN的表達(dá)式（用含m，n的代數(shù)式表示）；

（3）在拋物線y=x2+bx+c的圖象上有一對(duì)“互換點(diǎn)”A，B，其中點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，直線AB經(jīng)過點(diǎn)，求此拋物線的表達(dá)式．

解：（1）不一定. 設(shè)這一對(duì)“互換點(diǎn)”的坐標(biāo)為（a，b）和（b，a）．

①當(dāng)ab=0時(shí)，它們不在反比例函數(shù)的圖象上；

（2）由M（m，n）得N（n，m），設(shè)直線MN為y=cx+d（c≠0）．

∴ 這一對(duì)“互換點(diǎn)”是（2，-1）和（-1，2）.將這一對(duì)“互換點(diǎn)”代入y=x2+bx+c得，解得

三、其他

（1）若方程y′=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為；

例3對(duì)于函數(shù)y=xn+xm，我們定義y′=nxn-1+mxm-1（m，n為常數(shù)）．例如y=x4+x2，則y′=4x3+2x．解：根據(jù)題意得y′=x2+2（m-1）x+m2，

（1）∵方程x2-2（m-1）x+m2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ=[-2（m-1）]2-4m2=0，解得

例4 定義[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如[1.8]=1，[-1.4]=-2，[-3]=-3．函數(shù)y=[x]的圖象如圖1所示，則方程[x]=0.5x2的解為（）

解：當(dāng)1≤x＜2時(shí)，0.5x2=1，解得（舍去）；

圖1

當(dāng)0≤x＜1時(shí)，0.5x2=0，解得x1=x2=0；

當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，0.5x2=-1，方程沒有實(shí)數(shù)解；

當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，0.5x2=-2，方程沒有實(shí)數(shù)解.

所以方程[x]=0.5x2的解為0或選A.