生活中的函數問題

文 /謝小芳

函數是初中數學的重要內容.我們主要學習了一次函數、反比例函數和二次函數，它們在生活中的應用非常廣泛，請看下面的例子.

一、生活中的函數模型

例1如圖1，一種斜挎包的挎帶由雙層部分、單層部分和調節扣構成．小敏用后發現，通過調節扣加長或縮短單層部分的長度，可以使挎帶的長度（單層部分與雙層部分長度的和，其中調節扣所占的長度忽略不計）加長或縮短．設單層部分的長度為xcm，雙層部分的長度為ycm，經測量，得到如下數據：

圖1

單層部分的長度x（cm）雙層部分的長度y（cm）……4 6 8 150 73 72 71 10　……

（1）根據表中數據的規律，填寫表格，并直接寫出y關于x的函數解析式；

（2）根據小敏的身高和習慣，挎帶的長度為120cm時，背起來正合適，請求出此時單層部分的長度；

（3）設挎帶的長度為lcm，求l的取值范圍．

解：（1）在表格兩空中，分別填70，0.

由表格可知，y是x的一次函數，設y=kx+b.

∴單層部分的長度為90cm．

∴75≤l≤150．

點評：沒有明確函數類型，需要探索表格數據呈現的規律，根據三類函數的特性，確定函數類別，用待定系數法求解析式．

二、生活中的函數最值

例2某藍莓種植生產基地產銷兩旺，采摘的藍莓部分加工銷售，部分直接銷售，且當天都能銷售完，直接銷售是40元/斤，加工銷售是130元/斤（不計損耗）．已知基地雇傭20名工人，每名工人只能參與采摘和加工中的一項工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤.設安排x名工人采摘藍莓，剩下的工人加工藍莓．

（1）若基地一天的總銷售收入為y元，求y與x的函數關系式；

（2）如何分配工人，才能使一天的銷售收入最大，并求出最大值．

解：（1）y=[70x-（20-x）×35]×40+（20-x）×35×130=-350x+63 000．

∵x為正整數，且x≤20，

∴7≤x≤20，

在y=-350x+63 000中，k=-350＜0，

∴y隨x增大而減小，

當x=7時，y取最大值，最大值為-350×7+63 000=60 550．

答：安排7名工人采摘藍莓，13名工人加工藍莓，才能使一天的收入最大，最大收入為60 550元．

點評：求一次函數最值的步驟：求出一次函數解析式；確定自變量的取值范圍；根據函數的增減性確定最值．

例3某農場擬建一間矩形種牛飼養室.飼養室的一面靠墻（墻足夠長），已知建筑材料可建圍墻的總長為50m．設飼養室長為x（m），占地面積為y（m2）．

（1）如圖2，問飼養室長x為多少時，占地面積y最大？

（2）如圖3，現要求在圖中所示位置留2m寬的門，且仍使飼養室的占地面積最大.小敏說：“只要飼養室長比（1）中的長多2m就行了.”請你通過計算，判斷小敏的說法是否正確．

圖2

∴當x=25時，占地面積最大，

即飼養室長x為25m時，占地面積y最大.

∴當x=26時，占地面積最大，

即飼養室長x為26m時，占地面積y最大.

∵26-25=1≠2，

∴小敏的說法不正確．

點評：列出二次函數的表達式，將其配成頂點式，根據自變量的取值范圍確定最值．

三、生活中的函數圖象

例4某市規定每月用水18立方米以內（含18立方米）和用水18立方米以上兩種不同的收費標準．某用戶每月應交水費y（元）是用水量x（立方米）的函數，其圖象如圖4所示．

（1）若某用戶某月用水量為18立方米，則應交水費多少元？

（2）當x＞18時，求y關于x的函數表達式，若小敏家某月交水費81元，則這個月用水量為多少立方米？

解：（1）由圖4可知，月用水量18立方米，交水費45元.

（2）由81元＞45元，所以用水量超過18立方米，

設y=kx+b（x≥18），

∵ 直線經過點（18，45），（28，75），

圖4

∴y關于x的函數解析式為y=3x-9（x≥18），

當y=81時，3x-9=81，解得x=30.

答：這個月用水量為30立方米．

點評：本題的函數圖象是以分段方式呈現的，稱作分段函數．解這類問題，要注意幾個方面：（1）尋找函數的分段點；（2）對每一段函數關系，求出解析式；（3）利用解析式解決相關問題．

四、生活中的函數說理

圖5

例5甲、乙兩人進行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分，如圖5，甲在O點正上方1m的P處發出一球，羽毛球飛行的高度y（m）與水平距離x（m）之間滿足函數表達式y=a（x-4）2+h，已知點O與球網的水平距離為5m，球網的高度為1.55m．

（2）若甲發球過網后，羽毛球飛行到與點O的水平距離為7m，離地面的高度為的Q處時，乙扣球成功，求a的值．

∵1.625＞1.55，

∴此球能過網.

點評：利用二次函數解決拋物線型的球類運動、隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地建立平面直角坐標系，把這些實際問題中的數據轉化為拋物線上的點，從而確定拋物線的解析式，利用解析式去解決問題，或進行判斷說理．