初中數學中的幾何最值問題的探究

汪振方

【摘 要】運動著的車、船、飛機，包括人們每天走路都要遇到幾何中的最值問題.古今中外的任何旅行者總希望尋求最佳的旅行路線，盡量走近道，少走冤枉路.我們把這類求近道的問題統稱最短線路問題.從某種意義上說，一筆畫問題也屬這類問題.看來最短線路問題在生產、科研和日常生活中確實重要且應用廣泛.

【關鍵詞】最值問題 解決方法 探究

唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題.

如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河邊飲馬后，再到B點宿營.請問怎樣走才能使總的路程最短？

在生活實踐中，人們經常面對帶有“最”字的問題，如在一定的方案中，花費最低、消耗最少、產值最高、獲利最大等；解數學題時，我們也常常碰到求某個變量的最大值或最小值之類的問題，這就是我們要討論的最值問題，同樣在平面幾何問題中，當某幾何元素在給定條件下變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的面積、角的度數）的最大值或最小值問題，也是我們要討論的最值問題。

解決問題：如圖2所示，從A出發向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線取A關于河岸的對稱點A′，連結A′B，與河岸線相交于C，則C點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發，沿直線走到C，飲馬之后，再由C沿直線走到B，走的路程就是最短的.

如果將軍在河邊的另外任一點C′飲馬，所走的路程就是AC′+C′B，但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB. 可見，在C點外任何一點C'飲馬，所走的路程都要遠一些.

這有幾點需要說明的：

（1）由作法可知，河流l相當于線段AA'的中垂線，所以AD=A′D。

（2）由上一條知：將軍走的路程就是AC+BC，就等于A′C+BC，而兩點確定一條直線，所以C點即為所求。

變式題：（請同學們自己畫圖）若A、B兩點分別在河流L的兩側，在河流L上取一點P使|PAPB|的值最大。

解決問題：作點A關于直線l的對稱點A′，連結A′B并延長交直線l于P，則PA=PA′，因而|PAPB|=|PA′PB|，則當A′，B、P在同一條直線上時，|PAPB|的值最大.

如果在河邊的另外任取一點異于點P的點P′，則P′A=P′A′，因而|P′AP′B|

=|P′A′P′B| A'B=|PA′PB|=|PAPB|，

可見，在P點外任何一點P'，都有|P′AP′B||PAPB|，也就是|PAPB|

的值最大。

最值問題的解決方法通常有兩種：

（1）應用幾何性質：

①三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

②兩點間線段最短；

③連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；

④定圓中的所有弦中，直徑最長。

（2）運用代數證法：

①運用配方法求二次函數或二次三項式的最值；

②運用一元二次方程根的判別式。

例如：在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點.

（1）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標；

（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標.

分析：（1）由于C、D是定點，則CD是定值，如果△CDE的周長最小，即DE+CE有最小值.為此，作點D關于x軸的對稱點D'，當點E在線段CD′上時，△CDE的周長最小；

（2）由于DC、EF的長為定值，如果四邊形CDEF的周長最小，即DE+FC有最小值.為此，作點D關于x軸的對稱點D'，在CB邊上截取CG=2，當點E在線段D′G上時，四邊形CDEF的周長最小.

解：（1）如圖1，作點D關于x軸的對稱點D'，連結CD'與x軸交于點E，連結DE.若在邊OA上任取點E'與點E不重合（如圖2），連結CE'、DE'、D'E'.

由DE'+CE'=D'E'+CE'>CD'=D'E+CE=DE+CE，

可知△CDE的周長最小.

∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D為OB的中點，

∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6，

∵OE∥BC，

∴點E的坐標為（1，0）；

（2）如圖3，作點D關于x軸的對稱點D'，在CB邊上截取CG=2，連結D'G與x軸交于點E，在EA上截取EF=2，

∵GC∥EF，GC=EF，

∴四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF，又DC、EF的長為定值，

∴此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最小.

∵OE∥BC，

點評：此題是2010年天津市中考數學試卷第25題，主要考查軸對稱——最短路線問題，解決此類問題，一般都是運用軸對稱的性質，將求折線問題轉化為求線段問題，其說明最短的依據是三角形兩邊之和大于第三邊.

總之，在解答這種題目時一定要審清題目意思，注意條件，采用哪一個幾何性質或定理，以及如何建立變量的函數關系式。題目千千萬，關鍵是要學會總結，要培養良好的解題習慣及數學思維能力。