一道矩形證明題解答思路引發的教學思考

黃婷婷 （江蘇海安縣海陵中學）

由于知識積累等多方面的影響，不同的人看同一個問題角度出現不同，形成自身獨有的模式。當教師在傳授該知識時，必然是在自己的積累基礎上進行的，按照自己的認識傳授，等于將自己的模式放到學生身上。但是由于接受對象不同，他們對于教師的知識傳授理解就不同，同一節課，同樣的講解，學生的學習效果不一。不少人都在努力解決這樣一個問題：如何讓知識的傳授效果達到最佳，讓學生更好地完成學習。作為從教多年的數學教師，筆者在執教過程中留意學生的解答思路，力求通過對解答思路的分析，促進學生的學習，優化教學效果。

最近筆者的一次關于矩陣性質學習的課堂上，針對一道證明題，不同的學生給出了不同的解答思路。

一、案例呈現

如圖，E是矩形ABCD邊CB延長線上一點，CE＝CA，F為AE中點，求證：BF⊥FD。

二、思路展示

思路1：連接BD與AC相交于O點，連接OF，由平行四邊形兩條對角線互相平分這條性質出發，由三角形兩邊中點所連成的線平行且等于第三邊的一半，可得在△BFD中，FO=BD，且由于O為BD的中點，所以BO=DO=FO，在兩個等腰三角形△BFO和△OFD中，由角之間的關系可得∠BFD=90°。

分析：證明垂直，不少學生的第一反應就是計算角的度數，如果角是90°，在平面幾何中就能確定垂直關系。而輔助線是幾何證明中非常重要的解決思路。思路1通過輔助線構成了一個直角三角形與兩個等腰三角形，充分利用三角形與特殊四邊形的性質完成了命題的證明，所涉及的知識點既能承接上一節所學習的三角形的中位線的知識點，且又能鞏固運用“矩形的性質1”中矩形對角線相等且互相平分這一知識點，最后拓展延伸到本節課所學習的直角三角形一個性質的逆定理，解題思路很完美。但是筆者發現，這道證明題存在其他思路。

思路2：在八年級上學期，學生剛剛學習并熟練掌握了三角形的全等，遇到與角相關問題時，不少同學首先想到的是在圖中尋找全等三角形，由已知條件CE＝CA，F為AE中點可知∠FAC=90°，而要證明為90°角的∠BFD與∠FAC有公共角∠DFC，本題的重點就轉換為由已知條件求證∠DFA=∠CFB，由已知矩形ABCD，則容易由矩形的性質知AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°以及在Rt△ABE中F為AE中點，可根據直角三角形的一個性質可知BF=AF=EF，∠FAB=∠FBA，這就把問題轉換為證△AFD≌△BFC，最終完成證明。

分析：因為剛剛進行了全等三角形的學習，學生在解題時自然聯系上去。學生發現，當題目給予邊之間的關系，而需要找角之間的聯系時，通常運用等腰三角形，全等等知識點比較有效。尤其是剛剛完成對三角形各類性質的學習，學生的印象比較深，能熟練運用。正好本題存在全等三角形，通過補充直角三角形的一個性質，和矩形的性質，最終能得到要證明的結論。與思路1比較，沒有了輔助線的困擾，更為簡便。而且不少學生在面對證明題時，都有不畫輔助線的習慣。當然，在證明過程中，輔助線有時候能夠讓證明更加簡便。思路3就體現了這一點。

思路3：連接BD，構成△BFD。先把∠DFB放到△BFD中，再由已知條件找出和△BFD全等的三角形AFC，結合矩形的對角線性質，通過證明，找到一個直角三角形與目標全等，從而完成證明。

分析：解法3相比較解法2而言，直接構造全等三角形，既能減少因角之間轉換太多導致的失誤，又在證明三角形全等時，對以往學習內容再次鞏固，解答過程簡單直接。

三、教學思考

三種解題思路角度不同，運用的知識點也不盡相同。不同的思路反映了學生對知識點掌握的程度與看待問題的角度以及解決問題的習慣。在學習的過程中，正是因為有了這些不同，學習的效果出現了差別。

同一證明題的三種思路，思路1反映了該生能熟練運用三角形的中位線，并且掌握了直角三角形一個性質的逆定理；思路2與思路3反映了學生對于全等三角形的知識能夠熟練掌握。思路2與思路1的共同點在于這兩名學生思考問題的出發點是“就事論事”，要證明垂直，就算出目標是一個直角，在證明過程中，學生的思路清晰，過程嚴謹。思路3體現出學生的創造性更強，善用巧力。

對于上述三類學生，在教學的過程中既要鼓勵他們多積累、多思考、多歸納一些結論與基本模型，拓展自己的知識面與解題思路，更需要體現差異化。例如，第一類學生的三角形中位線掌握較好，在此基礎上可對例如全等三角形等知識強化；第二類學生可以適當鍛煉他們的整體思維，增強對輔助線的運用；第三類學生可以鍛煉他們發散思維，多個角度解決問題。

作為一名一線教師，要時刻留意學生的學習動態，經常分析學生的學業水平與學習特點；針對不同的學生，采取與之對應的教學內容與教學方法，力求做到因材施教，實現教學效果最佳。

[1]孟曉東．從原點到遠點——守望在生長教育的田野[M]．南京：江蘇教育出版社，2016．

[2]林松．習題教學：入乎其內，出乎其外[J]．中學數學教學參考（中旬），2016（1-2）．