高中數學的平面向量數量積概念探討

馮澤雨

平面向量數量積系統概念主要包括定義、幾何意義和坐標運算等多個層面。通過概念的應用可以理解為數量積是一個知識系統，學生在分析概念的基礎上最終的形成結果必然是要掌握本質知識，靈活運用各種概念解決存在問題。因此作為高中數學教師，需要注重概念的分析教學，并且通過概念分析讓學生提高認識，從而提高數學學科文化素養，符合當前高考改革要求，同時促進數學學科的完善。本文對高中數學的平面向量數量積概念進行分析。

平面高中數學平面向量數量積模塊知識的學習見于必修四教材中，而在此之前物理學科教學中已經接觸了平面向量的概念，有關數學平面向量的學習更為理論化、系統化，因此掌握平面向量數量積概念以解決實際數學問題成為教學重點，這就需要數學教師提出有效應用策略，從本質上來剖析平面向量數量積概念中的三種形式和相互之間的關系。

1 加大運算深入認識向量本質

數量積是向量的一種運算，而運算的法則就蘊含在平面向量數量積中，涉及到數量積的定義、幾何含義、坐標運算等形式，想要從本質上解決平面向量數量積問題，就要對概念中包含的各種指示加以深化。向量屬于大小和方向同時俱存的量，是矢量，這一特征的掌控是概念理解的基礎。高中教材中給出的平面向量數量積定義為：兩個向量 ，夾角為 ，那么 叫作 和 的數量積。表面定義看起來比較簡單，但是想要學生充分理解這一概念，并且做到靈活運用具有一定的難度，這需要教師在實際解決問題時重視向量運算的講解，以便引導學生正確把握向量計算中的規律，夯實向量基礎功底，以便為解決更為復雜的向量數量積問題打下堅實的基礎。因此教師可以從以下例題為切入點，為學生展示出向量知識的活用。

2 應用圖形掌握向量規律

高中數學分析平面向量數量積概念時，不能僅僅局限于單純講解向量定義和客觀規律有關的知識點，還應該學會利用圖形，有時能發揮意想不到的效果，讓學生更加全面系統理解向量知識在實踐中的應用。

平面向量和三角函數相結合的題目是高考中的難點和重點內容，想要順利解決此類題目，學生就必須熟練各種向量的運算技巧，而且還要對三角函數的多種形式轉換完全掌握。根據題目數形結合思想，列出以下演算過程： = cos∠CAD= ·cos∠CAD= sin∠CAB= = 。這種根據圖形來做出向量夾角cos 可以聯系三角函數中角的轉化，需要學生耐心、細心和用心，首先觀察圖形更加明確向量的方向指示。

3 結合坐標實現坐標表示向量應用

利用坐標來解決問題是參考的圖形的幾何性質決定的，建立坐標系能夠準確使用坐標表示向量。根本難點在于坐標系的建立需要準確，箭頭方向要具體。從此進入到平面向量數量積概念的學習中，兩個數值之間相乘必然會得到數值，然而多數學生在平面向量數量積的概念中容易和平面向量相混合，存在誤區的學生會將數量積概念認為是兩個向量的相乘也應該是向量，而不會在公式中表現出來大小和方向，由于兩個向量的模和兩個向量之間的夾角的余弦值相乘，最后得到的是數，因此這種情況才是數量積而并非向量。少數學生對于數量積和向量兩者之間的混合歸根結底是對數量積認識不到位，概念理解不夠徹底，從而缺乏應用意識和應用能力，對此首先要讓學生在理解概念的基礎上多加訓練題目，這是對數學中基本概念和定義掌握，需要注意的是平面向量數量積是數不是向量，根據字面理解最后的乘積必然是數而并非其它形式。

4 結合題目提高復習效果

復習課的目的在于“溫故而知新”，從舊知識的學習過程中能夠發現新內容。在高考環境下，高三復習課越來越受到人們的重視，從中發現自身存在的薄弱環節，是對知識進行再次加工的重要手段。教育心理學認為，開始思維過程的過程是以問題為基礎展開的，從本質上來講，學習是提出問題，解決問題的過程，每當學習中遇到新模塊和新知識時，如果已有的經驗理論不足以轉化為新情境，那么在解決問題的過程中獲取到的知識與技能都會形成新的科學解決方法，逐漸形成正確的觀點態度。其次變中出彩還是以原始問題為核心，向著蘊涵的各方面進行拓展和深化，揭示出數學概念的本質屬性和非本質屬性，培養出學生知識情境轉化意識和辨別能力意識。

我們對這個難點題目進行變式，訓練在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120度， ，那么 =？數形結合的解題思路正是當前向量解題方法中最為重要且有效的一種，借助平面集合知識可以快速找到變量和定量。我們設置為變題2：已知向量 和b的夾角為120度， =1， =3，那么求出 ？首先從變題2中繼續思考以下問題。變題3：已知 向量 和 的夾角為60度，如果向量k + ， -2 的夾角為鈍角，那么求出實數k的取值范圍。有人提出：從題意中明顯可以得出（k + ）·（ 和-2 ）<0，化簡得出k>-7。由于上述沒有考慮到這兩個向量之間是否反向問題，因此要補充條件k - 。事實上從向量數量積公式中我們知道，無論向量a，b的夾角是銳角或者鈍角，我們都要考慮到兩個向量的共線問題。任何關于向量數量積的題目，都要從其本源入手，只有遵循探究本源，變中出彩這一原則，才會掌握更多的解題技巧，圍繞著平面向量數量積公式來從不同角度創造了使用公式的條件。

綜上所述，平面向量的數量積作為高中數學學習的重要內容，同時也是高考必不可少的模塊。平面向量是高中數學的重要組成部分，而教學的重點和難點都集中在如何深化學生對平面向量數量積概念的掌握，以便提高學生對向量知識的靈活運用能力。數學概念的理解是建立在發現問題、分析問題和解決問題的基礎上，因此高中數學教師必須重視對平面向量數量積概念的教學。本文分析了平面向量數量積的概念，以此提出在解決實際問題中的應用，希望具有一定的借鑒意義和參考價值。

（作者單位：衡水二中）