例析函數連續及一致連續的判別

段煉 方賢文

摘要：連續及一致連續是高校數學分析和高等數學中重點和難點之一，且對其他課程教學及應用中具有重要的地位，對培養本科生的分析能力和學習后繼課程具有重要作用。本文主要通過具體實例分析介紹幾種關于函數連續及一致連續的判別方法如判定左右連續法、放縮法等，并通過具體實例分析了這些方法在數學分析及高等數學教學中的應用，對幫助學生有效學習行列式知識具有一定指導作用。

關鍵詞：連續;一致連續;判別

中圖分類號：O13文獻標識碼：A

1 緒論

函數的連續性和一致連續性[1]是高校分析課程教學中重要內容，分別反映了函數的局部和整體性質，不僅有利于刻畫函數的變化趨勢和性質，同時與后繼知識如含參變量積分、函數項積分等諸多重要的微積分中的概念具有密切的聯系，具有承上啟下的作用，又由于其高度的抽象性，稱為教學中的重點和難點之一，也得到了諸多學者關于其教學方面的研究，如文獻[24]。而在有關的習題中，關于連續性和一致連續性的判別有許多方法，最基本的方法之一是根據其定義進行思考。本文將介紹其他判別方法如判定左、右連續法，放縮法，利用Lipschitz條件等，并舉例說明其求解方法和技巧。

2 判定左、右連續法

眾所周知，函數在某一點連續，當且僅當函數在該點既左連續又右連續，判別函數在區間端點的連續性時，也往往按左、右連續來確定。

例1設

試研究f（x）在x=0的連續性。

解

所以，函數f（x）在x=0處不連續。

該方法對于判別分段函數在分段點處的連續性具有一般性，往往借助于求出函數在該點處的左右極限，進而判別函數的連續性。

3 放縮法

放縮法在微積分教學中具有重要的地位，對于解決極限、函數項級數等問題具有重要的作用。此處，將通過兩個例題來介紹放縮法在判別函數連續及一致連續性時也具有獨到之處。

例2討論函數

f（x）x（1-x），x為有理數，x（1+x），x為無理數，

的連續性與可微性。

解先證f（x）在x=0處連續。對于任意ε>0，當|x|<δ時，則有1+|x|

因此取δ<εc，即有|f（x）-f（0）|<ε.

再證f（x）在任何非零點x0均不連續。分別取有理數rn收斂于x0，再取無理數αn收斂于x0，則

若f（x）在x0處連續，則有x0（1-x0）=x0（1+x0），得到x0=0，這與x0非零是矛盾的。由于f（x）在任意非零點處不連續，從而也不可微。

最后證明：f（x）在x=0處可微。

所以 因此 ，

即

所以f′（0）=1

放縮法在證明函數一致連續性時也具有獨特之處，為判別某些具有特定性質的函數的一致連續性帶來方便，下面舉一例說明。

例3 設函數f（x）在[0，+∞）滿足Lipschitz條件，即存在m>0，對任意x′，x″[0，+∞），有

|f（x′）-f（x″）|≤m|x′-x″|。證明：f（xα）（0<α<1為常數）在[0，+∞）上一致連續。

證首先證明g（x）=xα在[0，+∞）上一致連續，因為g（x）在[0，1]上連續，從而一致連續。

下證在[1，+∞）上g（x）=xα一致連續。

對于任意ε>0，考慮x1，x2[1，+∞），且x1

因此取，則當|x1-x2|<δ時，由上式可得，

從而g（x）=xα在[1，+∞）上一致連續，進而在[0，+∞）上是一致連續的。

結合f（x）滿足Lipschitz條件，即證得f（xα）（0<α<1為常數）在[0，+∞）上一致連續。

4 利用Lipschitz條件

Lipschitz條件是一個比通常連續更強的光滑性條件，具備LIPSCHITZ條件的函數往往具有更為優越的性質。例如如果函數在某區間上滿足LIPSCHITZ條件，那么該函數在此區間上是一致連續的?；诖耸聦?，下舉一例函數在開區間上一致連續的應用。

例 4 設函數f（x）在開區間（a，b）上有連續的導函數，且與均存在有限。

試證：f（x）在（a，b）上一致連續。

證：由假設條件可知，f′（x）在（a，b）上連續，定義

從而F（x）在[a，b]上連續。因此，F（x）在[a，b]上一致連續，進而F（x）在[a，b]上有界，即存在C>0，使得|F（x）|

這說明f（x）在開區間（a，b）上滿足Lipscitz條件，進而f（x）在（a，b）上一致連續。

5 結語

函數的連續性與一致連續性是數學分析和微積分的一個重要內容，關于這些內容的判別方法眾多，本文主要介紹了一些常用并且具有一定技巧性和靈活性的判別方法，并通過例題分析，從而達到有效判別函數連續與一致連續的目的，提高了學生學習連續函數性質的積極性，改善了教學效果，提高了教學質量。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系編.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]宋文檀.函數一致連續的充要條件及其應用[J].江西科學，2009，27（4）：490492.

[3]李江華.關于一致連續的判定與應用[J].赤峰學院學報，2015，31（11）：12.

[4]曾慶紅，李祥.連續與一致連續的應用[J].萍鄉學院學報，2016，33（3）：13.

基金項目：安徽省重大教學改革研究項目（2013ZDJY082），安徽省質量工程項目（2013SXZX012，2013SJJD008，2014ZY028，2015JYXM136，2015CKJH015），安徽省重大教學改革研究項目（2016JYXM0254）

作者簡介：段煉（1984），男，安徽理工大學數學與大數據學院，副教授，從事教學科研。