精心設計教學環節 循序滲透數學思想

馬天青

【摘 要】本文例舉數學課堂教學中滲透數學思想的基本方法與策略，提出要創設情境、滲透數學思想；設計問題、浸潤數學思想；小組合作、交流數學思想；教師引導、點撥數學思想；題組練習、運用數學思想；課堂小結、強化數學思想；單元復習、串聯數學思想；學業測評、提升數學思想；課外活動、延伸數學思想，以培養學生的數學思想方法，提高數學教學質量。

【關鍵詞】課堂教學 數學思想 創設情境 設計問題

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）03B-0112-03

數學思想是數學學科的精髓，它揭示數學的本質和發展規律，是解決數學問題的根本策略。《義務教育數學課程標準》明確指出：“數學思想蘊涵在數學知識的形成、發展和應用過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數學思想。”這就要求教師全面挖掘、深刻分析、及時提煉數學思想，并在教學各個環節中循序滲透。

要在課前宏觀設計滲透數學思想的策略。數學思想隱含在數學知識中，與具體的數學知識結合成為有機整體，無法像數學知識那樣編為章節來教學。因此教師要總體把握每本教材、每個章節、每一節課中隱含的數學思想，宏觀設計滲透數學思想的框架，微觀擬定滲透數學思想的方案。在教案中必須寫出怎樣讓學生經歷知識的形成、發展、應用的過程，怎樣喚起學生深層次的數學思考，怎樣激發學生的學習興趣，怎樣切實可行地滲透數學思想等。老師成竹在胸，學生才會學有所獲。

要懂得課堂是滲透數學思想的主陣地。教師要精心設計教學環節，循序滲透數學思想，盡力打造高效課堂和智慧課堂。

一、創設情境，滲透數學思想

良好的開端是成功的一半，興趣是最好的老師。因此老師應該根據教學內容，創設恰當而豐富的教學情景，滲透數學思想，使學生興致勃勃地走進課堂。如人教版八下《17.1 勾股定理》的導入，我們組創設如下情境（見圖 1）：

這是一個經典的滲透數學思想的情境，通過動人的故事、美麗的圖案和精彩的設計導入課題，巧妙滲透了觀察、抽象、猜想、數形結合、轉化、演繹等數學思想。數學教材中同類情境很多，都可以利用，充分發揮其作用。

二、設計問題，浸潤數學思想

數學是大腦的體操，問題是數學的心臟。老師要善于在知識的關鍵點、障礙點、數學思想滲透點精心設計問題，并給學生足夠的時間思考，引導學生由淺入深地學習、思考、感悟數學思想。 如人教版七上《第 2 章 數學活動 3 》，筆者設計如下：

請同學們觀察手中的月歷（每個小組的月歷不同），并思考下列問題：

（1）橫排上的數字的排列規律。

（2）縱列上的數字的排列規律。

（3）對角線從上方到下方的數字排列規律。

（4）用矩形框住的四個數字的規律，你能用字母驗證這個規律嗎？

（5）將（4）中的某行數向右（左）移動一個數字的位置后，（4）中的規律成立嗎？為什么？

（6）用矩形框住月歷中的九個數字。

①這九個數字和與方框正中心的數有什么關系？

②將矩形移動幾個位置試試其中的關系還成立嗎？

③你能證明這個結論嗎？

（7）上述結論對于任何一個月的月歷都成立嗎？為什么？

三、小組合作，交流數學思想

在學生充分思考的基礎上，用小組競賽的方式鼓勵學生合作交流，大膽展示。尊重學生的個體差異和多樣化學習的需要，促使全班學生積極主動地、富有個性地學習。如，人教版九上《 24.1.1 圓》，筆者要求學生先預習、思考，再討論下列問題。

學生在思考、交流、展示的過程中掌握本節課必要的基礎知識與技能，感悟歸納、數形結合、類比、從特殊到一般、從一般到特殊的數學思想。

四、教師引導，點撥數學思想

對學生獨立思考、小組交流后存在的問題，老師要正確引導，巧妙點撥，熱情鼓勵。眾所周知，中考壓軸題知識點多、綜合性強、數學思想活，要引導學生攻克這一難關，教師必須認真研究全國各地近幾年的壓軸題，先按題型分類，同一題型從易到難排序；再對學生進行專項訓練、批閱、講評、糾錯、鞏固。如探究拋物線中特殊三角形的存在性就有：（1）直角頂點位置分類；（2）等腰三角形的兩腰分類；（3）全等（相似）三角形的對應元素的分類，等等。壓軸題的訓練與講解是點撥數學思想的好方法之一。

五、題組練習，運用數學思想

在挖掘本質的數學思想的基礎上，把課內外作業設計成梯度漸進的題組，有效訓練。講評時，教師不能只給答案，而要啟發學生：你是怎么想的？你為什么會這么想？同學們還有沒有別的解法？哪種方法更簡單？等等。如，學完九下《第 28 章 銳角三角函數》之后，筆者設計的題組如下（一組圖形，多種結論）：

〖活動一〗畫圖說話

請同學們先在草稿本上畫一個 RtΔABC，∠C=90°，按下面要求寫結論。

（1）邊與邊的關系：

（2）角與角的關系：

（3）邊與角的關系：

（4）其他結論：

〖活動二〗添線識圖

請同學們畫出 RtΔABC 斜邊 AB 上的高 CD，并按要求寫結論。

（1）所有的直角：

（2）所有相等的銳角：

（3）所有的平方和等式：

（4）所有相似的三角形：

（5）所有的比例式：

（6）所有的等積式（包括射影定理）：

〖活動三〗智力大比拼

（1）如果畫出 RtΔABC 外接圓 O，你又能寫出哪些新結論？

（2）如果把 RtΔABC 繞斜邊 AB 所在的直線旋轉一周，形成什么樣的幾何體？你能求出它的表面積嗎？相信你是最棒的。

（3）你還有什么新的發現？讓大家共享你的智慧。

六、課堂小結，強化數學思想

課堂小結引導學生反思和評價自己的學習情況，老師予以鼓勵，讓學生感受成功的喜悅。同時老師還要強化本節課的數學思想，并為下一次課設下懸念，激勵學生課外繼續探討。如，人教版七上《 3.1.1 一元一次方程》（第 1 課時）的小結，我們組設計如下：

又如，人教版八下《17.1 勾股定理》（第 1 課時）的小結，我們組這樣設計：

七、單元復習，串聯數學思想

在復習梳理知識點的同時，還要對數學思想進行串聯，使學生進一步領悟數學思想的價值，實現質的“飛躍”。如人教版八上第 13 章第 3 單元《等腰三角形》復習，我們組設計為：

先回顧等腰三角形的定義、性質和判定，然后設計練習，對數學思想的應用進行串聯和總結。

1.第一類題目：分類討論

（1）等腰三角形的兩條邊的長分別是 5 和 8，則它的周長為 ；若兩邊長分別為 3 和 8 ，則它的周長為 。

（2）已知等腰三角形一個角為 50°，則底角的度數為 ；若這個角為 100°，則底角的度數為 。

（3）等腰 △ABC 一腰上的高與另一腰的夾角為 30°，則頂角的度數為（ ）

A.60° B.120° C.60°或 150° D.60°或 120°

教師引導學生小結：

在解與等腰三角形相關的題目時，經常會運用分類思想進行討論。

等腰三角形的邊不確定→分類（滿足三邊關系）。

等腰三角形的角不確定→分類（滿足三角形的內角和定理）。

2.第二類題目：方程思想

（1）如下左圖，在 △ABC 中，AB=AC，AD=BD=BC，求∠A 的度數。

（2）如下右圖，∠DEF=36°，AB=BC=CD=DE=EF，求∠A 的度數。

（教師引導學生小結：這兩個題如果把∠A 的度數設為 x，列方程解答可以化繁為簡，體現方程思想在幾何計算題中的應用）

3.第三類題目：轉化思想

一 變式二

變式三 變式四

已知，如上左圖，AB=AC，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB。問：圖中有幾個等腰三角形？

變式一：若將題中 △ABC 改為一般的三角形，其他條件不變。問：線段 EF 與 BE、CF 有何數量關系？

變式二：若過 D 作 EF∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F，則圖中增加了幾個等腰三角形？

變式三：將 CD 變成 △ABC 的外角 ∠ACG 的平分線，其他條件不變。EF 與 BE、CF 之間有什么數量關系？

變式四：BD、CD 為 △ABC 兩外角 ∠CBM、∠BCN 的平分線，其他條件不變。EF 與 BE、CF 之間有什么數量關系？

教師引導學生小結：

角與角的轉化→相等角之間的代換。

邊與角的轉化→在同一個三角形中等邊對等角，在同一個三角形中等角對等邊。

邊與邊的轉化→相等線段之間進行代換。

八、學業測評，提升數學思想

教師命題時，要重視數學思想的測評點。提倡教師引導學生自主命題，按“個人選題—小組篩選整合—老師挑選試卷測評—師生共同分析利弊—命題者修改完善”的程序循環進行，如此這般，學生對數學思想的理解自然而然得到提升。

九、課外活動，延伸數學思想

課外活動是課堂教學的補充，教師應該組織學生參加一題多解、專題講座、智力競賽、編手抄報、制作模型、統計調查等活動，讓學生在活動中延伸數學思想。

數學是思維的種子，是培養學生“會思想”的載體，教師要善于引導學生用數學思想和方法建構知識體系，使數學思想內化為學生的數學素養。

【基金項目】教育部中國智慧教育督導“十三五”科研規劃重點課題“教育模式創新的研究與實踐”之子課題“初中數學課堂教學中滲透數學思想的策略與方法”（EDUZHI 30041-KYKT1468）。

（責編 盧建龍）