一種常規機動下機載SINS/GPS 組合導航系統的可觀測性分析

夏宇強，張 林，陳善秋

（北京航天時代激光導航技術有限責任公司， 北京 100094）

0 引言

目前，捷聯慣性/衛星（SINS/GPS）組合導航系統是機載領域最為常見的組合導航系統［1］。為保證慣組的導航精度能夠達到要求，需要對其定期進行返廠標定，成本高、周期長，也影響載機的使用效率，故而機載慣組在線標校技術的研究一直在不斷進行中。在線標校的精度很大程度上取決于濾波器對各狀態量的估計速度和估計精度，故而需要對系統的可觀測性進行分析。而系統的可觀測性又與載機的機動狀態密切相關，復雜的機動有利于提高系統的可觀測性。但對于像運輸機等體積較大、機動能力較差的機型，其很難進行復雜的機動動作，所以需要對其靜止、起降、勻速飛行、勻加減速飛行、轉彎等一系列常規機動動作進行分析，用以探究如何有效利用這些過程來提高機載SINS/GPS組合導航系統的精度，達到滿足機載慣組在線標校的要求。

目前，國內主要采用計算可觀測性矩陣的秩的方法來分析時不變（LTI）系統的可觀測性；而對于時變系統，直接進行可觀測性分析需要計算Grammian矩陣，計算復雜且無法進行理論分析。以色列學者Goshen-Meskin等［2］提出了一種分段線性定常系統（PWCS）可觀測性分析方法，但該方法只能定性判斷系統是否完全可觀測，無法準確判斷具體的某一狀態量是否可觀測，更無法定量分析具體的某一狀態量的可觀測度。東南大學的程向紅等［3］提出了奇異值分解（SVD）方法，通過對可觀測性矩陣的奇異值進行分解，實現了對系統狀態量可觀測性的定量判斷，在工程上得到了廣泛的應用［4-6］。

本文采用基于分段線性定常系統的奇異值分解法，對組合導航系統動態過程中濾波器的收斂速度和收斂精度進行量化分析。通過對基于速度位置的SINS/GPS組合導航系統的各種機動狀態下的可觀測性進行分析研究，得到了一些通過載體機動來提高各狀態量可觀測度的結論。最后通過Matlab仿真和轉臺實驗，證明了這些結論具有一定的實用價值，能夠為機載慣組在線標校技術的工程化應用提供一定的依據。

1 機載SINS/GPS組合導航系統濾波模型

利用GPS提供的速度信息、位置信息與慣導解算的速度、位置作差，得到速度誤差和位置誤差作為觀測量來設計Kalman濾波器。SINS/GPS組合導航系統的原理框圖如圖1所示［1，7］。

圖1 SINS/GPS組合導航系統原理框圖Fig.1 Principle block diagram of SINS/GPS integrated navigation system

1.1 系統狀態方程

對機載SINS/GPS組合導航系統，選取東北天（E-N-U）坐標系為導航坐標系，狀態量的選取如下

式（1）中，φE、φN、φU為平臺誤差角，δVE、δVN、δVU為速度誤差，δL、δλ、δh分別為緯度誤差、經度誤差和高度誤差，εx、εy、εz為陀螺隨機漂移，為加速度計隨機偏置。

則系統狀態方程表達式為

式（2）中，X（t）∈R15為狀態變量，F（t）∈R15×15為系統誤差矩陣。根據誤差模型可知，W（t）∈R6為系統噪聲向量，G（t）∈R15×6為系統噪聲驅動矩陣。

F（t）、G（t）、W（t）的表達式分別為

式（3）中，FN為對應于SINS的9個誤差參數（3個姿態誤差、3個速度誤差、3個位置誤差）的系統動態矩陣，它是9×9階的方陣。另外，FS和FM分別如下

1.2 系統量測方程

在SINS/GPS組合導航系統中，選擇位置、速度組合，則系統的量測值包括兩種［1］：一種為位置量測差值，另一種為速度量測差值，故有系統量測方程

式（7）中，Z（t）為系統的量測向量，H（t）為量測矩陣，V（t）為量測噪聲向量，其中

2 系統可觀測性分析

2.1 基于PXCS的可觀測性分析

根據式（2）和式（7）構造SINS/GPS組合導航系統方程，描述如下

按照能觀測性的判定依據，需要計算Grammian矩陣

式（10）中，Φ（τ，t0）為該系統從τ到t0的狀態轉移矩陣。

若Grammian矩陣為非奇異，那么該系統從τ到t0時間段內完全可觀測。但由于F（t）、H（t）均隨時間而變化，所以Grammian矩陣只能依賴數值計算方法，計算復雜且無法對結果進行理論分析［8］。

為解決上述問題，Goshen-Meskin等提出了一種分段線性定常系統（PXCS）方法，該分析方法假定F（t）、H（t）在每個時間區間tj（j＝1，2，3，…）內不變，則原系統在每個時間區間內可以等效為線性定常系統［9］，故式（9）可描述為

在每一個時間區間內，對觀測矢量Zj（t）進行n-1次微分，有

式（12）可以改寫成矩陣的形式

定義Δj（j＝1，2，3，…，r-1）為tj到tj+1的時間間隔，故有

定理1：如果null（j）?null（Fj），1≤j≤r，那么，null{（r）}?null{s（r）}，rank{（r）}＝rank{s（r）}。

在滿足定理1的條件下，可以將PXCS中的TOM用SOM替換掉，進而可以極大簡化系統可觀測性分析過程。

2.2 基于SVD的可觀測度分析

這里簡要介紹一下SVD的意義：考慮任意一個矩陣M?Rm×n，且rank（M）＝r，則矩陣M一定可以分解為

對下面的離散線性系統進行可觀測度的分析說明。

式（18）中，X（k）∈Rn，F（k）∈Rn×n，Y（k）∈Rm，H∈Rm×m。

依據式（18），可以推得

式（22）中，Rk為式（18）的可觀測性矩陣，系統狀態量X（0）估計的好壞取決于Rk矩陣的特性。

對Rk進行奇異值分解

式（25）中，αj為任意數。

顯而易見，當r＝min（m，n）時，X（0）有唯一解；當r＜min（m，n）時，X（0）有無數解。此時，X（0）不能通過觀測量Y來進行準確估計，即式（18）是否完全可觀測取決于Σ中非零奇異值的個數。

當外部觀測值Y具有常值范數時，初始狀態X（0）形成一個橢球，其方程為

從式（26）和式（27）可以看出，橢球的體積與奇異值的大小成反比，即σi越大，該橢球的體積越小，的可行域就越小，對應的X（0）的估計就越精確；反之，當σi很小甚至為零時，將變得很大，估計是無界的，也就是說X（0）不能由觀測量Y估計出來。因此，對可觀測性矩陣Rk進行奇異值分解可以用于定量分析系統可觀測度的大小，奇異值越大，系統狀態的估計精度越高，系統可觀測度越高。

3 系統不同機動條件下的可觀測性分析

針對飛機靜止、起降、勻速飛行、勻加減速飛行、轉彎等一系列機動過程，利用上述基于PWCS的SVD分解方法對SINS/GPS組合導航系統進行可觀測度分析，具體的分析過程如下：

1）靜止狀態：此時，系統為時不變系統，可觀測矩陣可以直接獲取。

2）起降過程：假設飛機以190m/s 的速度準備起飛，分三段。第一段機頭勻速拉起到30°，準備爬升；第二段爬升結束，準備改平；第三段機頭改平，起飛結束（降落過程與起飛過程相反）。

3）勻速飛行：假設飛機以190m/s 的速度勻速飛行。

4）勻變速飛行：假設飛機在190m/s 的速度時以 2.5m/s2的加速度將飛機加速至250m/s（減速過程與加速過程相反）。

5）勻速轉彎：假設飛機以190m/s 的速度勻速左轉彎，分三段。第一段機翼左傾斜30°，準備轉彎；第二段飛機左轉90°，準備改平；第三段機翼右傾30°，轉彎結束（右轉彎與左轉彎過程相反）。

通過對上述機動過程的分析，得到系統各狀態分量對應的奇異值分析結果，如表1所示。

表1 各狀態量對應的奇異值分析結果Table 1 Singular value analysis results of corresponding state variables

由于系統采用的是速度、位置的組合，故速度和位置狀態量在各種機動狀態下均是可觀測狀態，再通過分析表1中系統可觀測矩陣的奇異值，可得如下結論：

1）系統在靜止狀態下，兩個水平加速度計的零偏和方位誤差角三個狀態不可觀測，且天向陀螺漂移的可觀測性較差；

2）飛機做勻速直線運動時，系統的可觀測度仍較差，兩個水平加速度計的零偏、方位誤差角和天向陀螺漂移的可觀測度仍然較低；

3）飛機做勻加速、勻減速直線運動時，對方位誤差角和天向陀螺漂移的可觀測度提高較為明顯，兩個水平加速度計的零偏可觀測度仍然較低；

4）在各種機動狀態下，東向、北向兩個陀螺零偏和天向的加速度計零偏都是可觀測狀態，從濾波開始即持續收斂，同時增加機動都能使其可觀測度得到提高，加快濾波收斂速度；

5）飛機的起降和轉彎對系統各狀態量的可觀測度都有較大提高，尤其是對兩個水平加速度計的零偏和方位誤差角的可觀測度，系統完全可觀測。

4 Matlab仿真分析及轉臺實驗

4.1 Matlab仿真分析

Kalman濾波器估計效果的好壞主要通過濾波器的均方誤差陣Pk來表征，Pk對角線上各元素的平方根就是各狀態估值的誤差均方差，從統計意義上其數值是判斷各狀態估值精度的直接依據。所以，可以通過分析各狀態估計誤差的均方差，根據其收斂的速度與精度進而判斷系統的可觀測性。下面通過系統仿真來獲取Pk，并通過Matlab仿真結果來直接判斷系統的可觀測性。

在進行系統的仿真分析時，仿真參數的設置如下：

陀螺的常值零偏為0.1（°）/h，隨機漂移為0.05（°）/h，同時選取加速度計常值零偏為100μg，隨機偏置為50μg；誤差狀態初值取為φE＝φN＝150″、φU＝300″、δVE＝δVN＝δVU＝0.1m/s、δL＝δλ＝20m、δh＝50m，濾波周期為1s；GPS速度測量誤差噪聲為0.01m/s，GPS位置測量誤差噪聲為5m。

由于系統采用的是速度、位置的組合，故速度和位置狀態量具有外部觀測信息，在各種機動狀態下均是可觀測狀態，故下面只分析除速度、位置狀態量外的其他九個狀態量的可觀測性。圖2～圖4為靜止狀態下平臺誤差角、加速度計零偏以及陀螺漂移的估計誤差標準差曲線，圖中的紅色實線、綠色虛線、藍色點劃線分別對應東北天三個方向上的狀態量。

圖2 靜止狀態下的平臺誤差角估計誤差標準差曲線Fig.2 Error standard deviation curves of platform error angle estimation under static state

圖3 靜止狀態下的加速度計零偏估計誤差標準差曲線Fig.3 Error standard deviation curves of accelerometer zero-bias estimation under static state

圖4 靜止狀態下的陀螺漂移估計誤差標準差曲線Fig.4 Error standard deviation curves of gyroscope drift estimation under static state

分析圖2～圖4所示的系統估計誤差標準差曲線，可知系統在靜止狀態下的兩個水平加速度計零偏和方位誤差角三個狀態不可觀測。另外，天向陀螺漂移的可觀測性較差。

圖5～圖7為飛機機動狀態下系統各狀態量的估計誤差標準差曲線，具體機動情況如表2所示。

圖5 機動狀態下的平臺誤差角估計誤差標準差曲線Fig.5 Error standard deviation curves of platform error angle estimation under maneuvering state

圖6 機動狀態下的加速度計零偏估計誤差標準差曲線Fig.6 Error standard deviation curves of accelerometer zero-bias estimation under maneuvering state

圖7 機動狀態下的陀螺漂移估計誤差標準差曲線Fig.7 Error standard deviation curves of gyroscope drift estimation under maneuvering state

表2 飛機的機動狀態Table 2 Maneuverability of an aircraft

分析圖5～圖7所示的系統估計誤差標準差曲線，可以得到：

1）飛機的加速滑跑對東向加速度計零偏可觀測度的提高不是很明顯，對其他各狀態量的可觀測度都有較大提高；

2）飛機的起飛過程對系統各狀態量的可觀測度都有較大提高，尤其是對兩個水平加速度計零偏和方位誤差角的可觀測度；

3）飛機做勻速直線運動時，系統可觀測度的提高不是很明顯；

4）飛機轉彎時，能在起飛過程的基礎上再次大幅度提高方位誤差角和天向陀螺漂移的可觀測度；

5）在各種機動狀態下，東向、北向兩個陀螺零偏和天向加速度計零偏都是可觀測狀態，從濾波開始即持續收斂，同時增加機動都能使其可觀測度得到提高，加快濾波收斂速度。

4.2 轉臺實驗

將實驗慣組放置于三軸轉臺上，通過轉臺的靜止和旋轉來簡單模仿飛機的靜止、滾動和轉彎過程。利用導航軟件輸出的濾波器對陀螺和加速度計進行零偏估計，與4.1節的Matlab仿真結果進行對比，來進一步驗證本文關于采用基于分段線性定常系統的奇異值分解法對系統可觀測性分析方法的準確性和實用性。這里未使用實際的GPS信號，位置和速度信息直接是在導航軟件中輸入轉臺的固定位置，速度置零。

轉臺實驗分兩部分，具體過程如下：

（1）未人為添加誤差前

慣組在轉臺上的初始狀態為航向角、俯仰角、橫滾角均為0°，首先完成靜態初始對準，然后進行20min靜態導航，接著航向由0°轉到90°，同時橫滾角由0°轉到60°，航向角和橫滾角的轉動在1min內同時進行，轉動完成后，再進行30min靜態導航，得到如圖8和圖9所示的未添加誤差前兩個水平加速度計和三個陀螺零偏估值曲線。

圖8 未添加誤差之前兩個水平加速度計的零偏估值曲線Fig.8 Zero-bias estimation curves of two horizontal accelerometers before adding errors

圖9 未添加誤差之前三個陀螺的零偏估值曲線Fig.9 Zero-bias estimation curves of three gyroscopes before adding errors

（2）對陀螺和加速度計分別人為添加0.02（°）/h和0.001m/s2零偏誤差

重復上述操作，得到如圖10和圖11所示的添加誤差后兩個水平加速度計和三個陀螺零偏估值曲線。

對添加誤差前后陀螺和加速度計的誤差估值作差，得到如圖12和圖13所示的濾波器對陀螺和加速度計零偏估計效果曲線。

圖10 添加誤差之后兩個水平加速度計的零偏估值曲線Fig.10 Zero-bias estimation curves of two horizontal accelerometers after adding errors

圖11 添加誤差之后三個陀螺的零偏估值曲線Fig.11 Zero-bias estimation curves of three gyroscopes after adding errors

圖12 Kalman 濾波器對兩個水平加速度計零偏估計的效果曲線Fig.12 Effect curves of Kalman filter on two horizontal accelerometers zero-bias estimation

圖13 Kalman 濾波器對三個陀螺零偏估計的效果曲線Fig.13 Effect curves of Kalman filter on three gyroscopes zero-bias estimation

通過分析圖8～圖13的轉臺實驗結果，可以得到如下結論：

1）通過觀察圖8可知，靜態下兩個水平加速度計是完全不可觀測的。經過模擬轉彎過程后，兩個水平加速度計完全可觀測。且結合圖12可以看出，濾波器對兩個水平加速度計添加的0.001m/s2零偏誤差估計效果顯著，即其可觀測度得到顯著提高。

2）通過觀察圖9可知，靜態下東向和北向陀螺是可觀測的，而天向陀螺則不能被濾波器估計出，即其可觀測度較小或者不可觀測。而經過模擬轉彎過程后，天向陀螺也能被估計出來。且結合圖13可以看出，濾波器對三個陀螺添加的0.02（°）/h零偏誤差估計效果顯著，尤其是天向陀螺的可觀測度得到顯著提高。

3）通過對比以上兩個結論和前文關于可觀測性的仿真分析和研究，可以確定本文采用的基于分段線性定常系統的奇異值分解法來研究系統的可觀測性得到的理論分析結果與仿真結果和轉臺實驗結論完全對應。

5 結論

本文采用基于分段線性定常系統的奇異值分解法對系統的可觀測性進行分析，對飛機靜止、起降、勻速飛行、勻加減速飛行、轉彎等一系列常規機動條件下系統的可觀測性進行了研究，進而實現了濾波器收斂速度和收斂精度的量化分析。通過對靜止狀態和機動狀態下的仿真分析得出的結論與表1得到的結論對比發現，兩者的結論完全吻合，再結合轉臺實驗得出的結論，充分說明通過基于分段線性定常系統的奇異值分解法對系統的可觀測性進行分析是切實可行的，得出的結論能夠為機載慣組在線標校技術的工程應用提供理論支持。