球形裝藥內爆巖體破壞效應的準靜態模型

劉先斌,蔣志剛,詹昊雯

(國防科學技術大學 基礎教育學院,湖南 長沙 410072)

深埋地下的國防工程通常利用巖體作為遮彈層?？骨謴匦阅芎涂贡阅苁窃u價巖體遮彈性能的重要指標,其中巖體抗侵徹性能已經得到了較多研究,而對巖體抗封閉內爆性能的研究較少。

目前,在封閉內爆條件下巖土介質爆腔尺寸的預測方法有半經驗公式、準靜態理論和動力理論三類。根據相似理論及大量模型試驗建立的半經驗公式與其適用范圍內的情況能夠較好地吻合,但是外延性較差。準靜態理論忽略爆生氣體滲漏并基于爆生氣體爆炸前后的絕熱關系求解爆腔尺寸,相對于半經驗公式適用性較好,且比動力理論更加簡單,計算耗費時間短,但不能體現爆腔的形成過程。動力理論根據沖擊波理論和波陣面后介質不可壓縮假設,求解爆腔尺寸,并能給出爆腔的動態形成過程,但需要較多巖石力學性能參數,且計算復雜。于成龍等[1]基于巖體的彈性—破裂—粉碎響應模式,對粉碎區采用Mohr-Coulomb(M-C)準則,得到了球形裝藥內爆破壞區域的準靜態公式,其爆腔尺寸預測結果與巖土類介質封閉內爆的試驗吻合較好。宗琦[2]和吳亮等[3]基于多向應力條件下巖石破壞強度經驗公式,得到了柱形裝藥的準靜態理論。唐庭等[4]基于巖體的彈性—裂紋—粉碎響應模式,對破碎區采用M-C準則,結合準靜力解,得到了柱形裝藥內爆破壞區域的動力理論。宗琦等[5-6]基于巖體的彈性—裂隙—壓壞—粉碎響應模式,建立了柱形裝藥內爆破壞區域的動力理論。張奇[7]基于巖體的彈性—裂紋—粉碎響應模式,得到了柱形裝藥和球形裝藥內爆破壞區域的動力理論。M-C準則可描述無圍壓或低圍壓巖石介質的剪切破壞,但不能體現高圍壓對巖石破壞的影響。Hoek等[8]在Griffith強度準則的基礎上,考慮圍壓對巖石破壞的影響,通過大量三軸試驗,建立了Hoek-Brown(H-B)準則,該準則可較好地應用于巖石-混凝土類介質的侵徹問題[9]。在封閉內爆條件下,粉碎區為三向受壓應力狀態,與侵徹解的粉碎區類似,因而采用H-B準則較為合理。

本文基于彈性—裂紋—粉碎響應模式,粉碎區采用H-B準則,建立了巖石介質封閉內爆條件下球形爆腔的準靜態模型,得到了爆腔尺寸、粉碎區尺寸和裂紋區尺寸,與文獻試驗結果及已有相關準靜態理論的計算結果進行比較,驗證了模型的適用性。

1 基于H-B準則的球腔準靜態模型

1.1 基本假設與基本方程

耦合裝藥的巖石介質內爆是一個復雜的動力過程。裝藥爆炸瞬間產生爆轟波和爆生氣體,一方面爆轟波作用于孔壁并產生沖擊波,導致孔壁周圍巖石被壓碎,形成粉碎區、裂紋區和彈性區;另一方面,爆生氣體快速膨脹,并以準靜態的方式作用于爆腔壁,導致巖石介質進一步破壞。在爆腔內壓與巖石介質圍壓共同作用下,相應的響應狀態達到靜力平衡時,擴腔運動停止。

為簡化求解,本文采用準靜態理論的通常做法,即忽略爆生氣體滲漏;針對爆生氣體爆腔內壓與巖石介質圍壓作用達到準靜態平衡狀態,通過絕熱定律和彈塑性力學求解破壞區域半徑,并假設巖石介質為彈性—裂紋—粉碎響應模式,如圖1所示。圖中,r,rc,rp,rcr和re分別為球坐標系徑向半徑、爆腔半徑、粉碎區外半徑(裂紋區內半徑)、裂紋區外半徑(彈性區內半徑)和彈性區外半徑。作如下假設:粉碎區服從H-B準則;裂紋區的環向應力為0,且其內半徑處徑向應力達到巖石介質的單軸抗壓強度σu;彈性區為小變形,服從廣義Hooke定律,且其內半徑處環向應力達到巖石介質的單軸抗拉強度σf。

對于圖1,各響應區的平衡方程均為

(1)

式中:σr,σθ分別為徑向應力、環向應力,皆以受壓為正。

粉碎區采用H-B準則[9]:

(2)

式中:σ1為最大主壓應力;σ3為最小主壓應力;m為無量綱經驗系數,對于巖石類介質,可按經驗公式計算[8]:

(3)

在r=re處,考慮邊界條件:

r=re,σr=0

(4)

在r=rcr處,考慮巖石拉伸斷裂強度條件、徑向位移連續條件和徑向應力連續條件,有:

σθ=-σf

(5)

u(rcr+)=u(rcr-)

(6)

σr(rcr+)=σr(rcr-)

(7)

式中:u為質點的徑向位移;rcr+表示與邊界rcr相鄰且位于彈性區的半徑;rcr-表示與邊界rcr相鄰且位于裂紋區的半徑。

在r=rp處,考慮巖石極限抗壓強度條件、徑向位移連續條件和徑向應力連續條件,有:

σr=-σu

(8)

u(rp+)=u(rp-)

(9)

σr(rp+)=σr(rp-)

(10)

式中:rp+表示與邊界rp相鄰且位于裂紋區的半徑;rp-表示與邊界rp相鄰且位于粉碎區的半徑。

1.2 破壞區域半徑

當爆生氣體內壓與巖石圍壓達到靜力平衡時,基于彈性—裂紋—粉碎響應模式,根據彈塑性力學可求解爆腔半徑、粉碎區半徑、裂紋區半徑與爆腔內壓之間的關系式,結合球形裝藥的絕熱定律,從而得到爆腔半徑、粉碎區半徑、裂紋區半徑與裝藥半徑的關系式。

根據絕熱定律,球形爆腔壁上的壓力關系式為[10]

(11)

對于圖1所示響應模式,彈性區采用廣義胡克定律,代入平衡方程式(1)求解,并根據邊界條件式(4)和拉伸斷裂強度條件式(5),得到應力場和位移場;裂紋區采用廣義胡克定律,將σθ=0代入式(1),并根據強度條件式(8)和徑向位移連續條件式(6),得到徑向應力和位移;粉碎區采用式(2),代入式(1),并根據徑向應力連續條件式(10),得到粉碎區徑向應力方程:

(12)

考慮r=rcr處徑向應力連續條件式(7)及re→∞,可得rp和rcr的關系:

(13)

假設粉碎區質量守恒,考慮r=rp處位移連續條件式(9)及re→∞,可得:

(14)

式中:ν為泊松比;E為彈性模量。

將式(14)代入式(12),并取r=rc,σr=σrc,可得到爆腔壁徑向壓力σrc的方程[9]為

(15)

令σrc=p,rc=Rγ,聯立式(11)和式(15)可得:

(16)

粉碎區半徑與爆腔半徑的關系為[9]

(17)

可得粉碎區半徑與裝藥半徑的關系為

(18)

裂紋區半徑與粉碎區半徑的關系為[9]

(19)

可得裂紋區半徑與裝藥半徑的關系為

(20)

2 算例分析

參照文獻[11-13]巖石類介質封閉內爆試驗,取巖石和裝藥的參數如表1所示。文獻[12]未給出砂巖的內聚力K、內摩擦系數f、單軸抗壓強度σu、單軸抗拉強度σf和密度ρm;本文按文獻[14],取K=6 MPa,f=0.84;按文獻[15]取σu=67.9 MPa,σf=2.537 MPa;按文獻[4]取ρm=2 405 kg/m3。文獻[10-12]均未給出巖石材料的縱波波速vp,本文根據文獻[10]計算得到;文獻[13]未給出巖石材料的單軸抗壓強度σu、單軸抗拉強度σf、彈性模量E、泊松比ν和剪切模量G,本文按文獻[5]取值;文獻[11,13]采用TNT裝藥,其密度ρ0和爆速vD按文獻[1]分別取為1 650 kg/m3和6 900 m/s;m按式(3)計算,取值范圍為4.8～25.9。

表1 試驗工況及巖石參數

注：“*”表示3號煤礦抗水炸藥。

表2給出了表1工況下爆腔尺寸(rc/r0)式(16)計算結果與試驗結果的比較,令ηc=rc/r0,m按式(3)計算所得結果記為m1。m取值對爆腔尺寸計算結果有一定影響,m越大,σu/|σf|越大,抗壓性能越好,爆腔尺寸越小。文獻[11]有機玻璃爆腔尺寸取m=5的誤差最小為-5.8%,取m=25的誤差最大為-10.6%,而取式(3)m值的誤差為-9.2%,表明式(3)高估了有機玻璃的抗壓性能,但與m=5的差別小于4%;文獻[12]砂巖爆腔尺寸取m=10的誤差最小為-0.2%,取m=25和取式(3)m值的誤差最大為-2.7%,表明式(3)略高估了砂巖的抗壓性能;文獻[13]花崗巖、玄武巖和輝長巖爆腔尺寸取m=5的誤差最大分別為7.1%,8.8%和11.4%,取m=25的誤差最小分別為1.2%,2.6%和5.5%,而取式(3)m值的誤差分別為7.1%,7.5%和10.5%,表明式(3)低估了花崗巖、玄武巖和輝長巖的抗壓性能,但與m=25的最大差別小于6%。

表2 式(16)爆腔尺寸ηc計算結果

表3給出了表1工況下爆腔尺寸(rc/r0)的本文計算結果與試驗及相關文獻方法計算結果的比較。其中,式(16)計算結果取表2中誤差最小時的最佳計算結果;文獻[1]為粉碎區采用M-C準則的準靜態球腔模型;文獻[3]為采用多向應力條件下巖石極限抗壓強度經驗公式的準靜態柱腔模型;式(22)由經驗公式(21)得到,即取巖石的極限抗壓強度σs為

(21)

式中:vp為縱波波速;σc為巖石單軸抗壓強度,即σc=σu。

令p=σs,Rγ=rc,聯立式(11)和式(21),得到爆腔半徑與裝藥半徑的關系為

(22)

表3 爆腔尺寸ηc計算結果

注：“-”表示文獻[1]方法不適用。

由表3可知:

①式(16)計算結果與試驗結果吻合較好，誤差范圍為-5.8%～5.5%。

②除文獻[13]玄武巖試驗外,文獻[1]的計算結果與試驗結果吻合較好,誤差范圍為-2.7%～-10%。但是,由于文獻[1]粉碎區采用了M-C準則,不能體現高圍壓的影響,導致按文獻[1]求解文獻[13]玄武巖得到的爆腔壁壓力大于初始爆炸瞬時壓力,爆腔尺寸(rc/r0)小于1,不符合絕熱定律,即文獻[1]公式不適用。此外,文獻[1]爆腔尺寸計算結果均小于試驗結果,其原因可能是M-C準則高估了巖石的抗壓性能。

③式(22)和文獻[3]計算結果均偏大,最大誤差分別為21%和37.1%。其原因可能是式(21)經驗公式低估了球形裝藥內爆條件下巖石破壞強度,而柱形爆腔公式不適用于球形爆腔。

表4給出了粉碎區尺寸(rp/r0)和裂紋區尺寸(rcr/r0)的本文計算結果與文獻[1]計算結果的比較。m分別按式(3)和爆腔尺寸誤差最小2種情況取值,分別記為m1和m2;令ηp=rp/r0,ηcr=rcr/r0。此外,文獻[11-13]巖石封閉內爆試驗未能得到粉碎區和裂紋區尺寸的試驗數據。

表4 粉碎區尺寸ηp和裂紋區尺寸ηcr計算結果

由表4可知:

①本文方法2種m取值的計算結果很接近,最大相對誤差約為5%,即m對rp/r0和rcr/r0的影響較小,可近似按式(3)計算m。

②本文與文獻[1]比較,文獻[1]粉碎區尺寸較小,最大相對誤差約為42%;本文與文獻[1]裂紋區尺寸較接近,最大相對誤差約為18%。究其原因,可能主要是粉碎區準則不同所致。

3 結束語

本文基于彈性—裂紋—粉碎響應模式和H-B準則,建立了巖石介質在球形裝藥封閉內爆條件下的準靜態模型,得到了爆腔尺寸、粉碎區尺寸、裂紋區尺寸。結論如下:

①本文基于H-B準則模型的爆腔尺寸計算結果精度較高,誤差范圍為-5.8%～5.5%,且適用性較好;m取值對爆腔尺寸有一定影響,m增大,爆腔尺寸減小,但m對爆腔尺寸、粉碎區尺寸和裂紋區尺寸的影響不顯著,可近似按式(3)計算。

②文獻[1]基于M-C準則的準靜態模型不能體現高圍壓的影響,導致爆腔尺寸的預測結果偏小,且存在爆腔壁壓力計算結果過大而導致爆腔尺寸(rc/r0)小于1的不適用情況。

③式(21)巖石破壞強度經驗公式低估了球形裝藥內爆條件下的巖石破壞強度,柱形爆腔公式不適用于球形爆腔。

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