基于RD-SRT的TR MIMO雷達DOA估計算法

劉夢波,胡國平,周 豪,韓昊鵬

(空軍工程大學 防空反導學院,陜西 西安 710051)

在通信領域,多輸入多輸出(multi-input multi-output,MIMO)技術可以擴展通信容量,提高通信質量。該技術依賴于系統的空間分集,可以用于雷達探測。MIMO雷達[1-2]在工作時,通過天線陣元分集和信號波形正交,增大了雷達系統的靈活性,具有更高的角度估計精度和自由度以及更好的參數分辨率,因此受到了廣泛關注。

時間反轉(time reversal,TR)技術并不是時間倒流,它起源于光學研究,通過相位共軛,實現光信號的能量聚焦。在復雜多散射環境下,TR技術[3-5]根據靜態媒質中波動方程的時間對稱性和空間互易性,利用相干疊加來處理多徑分量,通過非相干疊加去除信號中的雜波干擾[6],從而使信號在時間和空間上聚焦。目前,各國學者對時間反轉的研究大多為MIMO通信。

近年來,越來越多的國外學者將TR技術和雷達探測相結合,其中文獻[7-10]將TR技術應用到雷達中,顯示其獨特的性能優勢。文獻[8]首次將TR MIMO雷達體制擴展到目標定位,推導出克拉美-羅界的表達式,并通過實驗說明在強雜波的環境中,TR MIMO雷達有更好的目標定位能力。但是,MIMO雷達在擁有良好性能的同時,由于運算量的大幅增加,給工程實踐帶來了困難,而時間反轉技術的接收重發也增大了計算冗余,所以TR MIMO雷達系統有龐大的計算量。目前,TR技術應用到MIMO目標定位也引起了國內學者的關注。文獻[3]將TR技術應用于UltraWideband(UWB)-MIMO雷達,利用多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法進行DOA(direction of arrival)和發射角(direction of departure,DOD)聯合估計,增強了雷達的抗噪能力,有更好的估計精度。但是,TR MIMO和二維估計[11-12]都具有龐大計算量,造成了更加巨大的計算復雜度。文獻[13]提出了一種降維的MIMO雷達DOA算法,有效地降低了計算復雜度,并且對雷達的估計精度影響較小,但計算效率還有提升的空間。文獻[14]利用旋轉變換技術對噪聲子空間進行降維重構,降低了噪聲子空間的維度,從而有效地降低了估計時間,但算法的精度和目標分辨率都難以和MIMO雷達相比。

為了降低TR MIMO雷達系統的計算復雜度,更好地將TR 技術應用到MIMO目標定位中,本文提出了一種基于降維(reduced dimension,RD)子空間旋轉變換技術(subspace rotation technique,SRT)的TR MIMO DOA估計算法。算法的主要思想是通過噪聲矩陣按行分塊并取其逆矩陣,構造低維噪聲子空間,利用正交性原理獲得MUSIC函數譜進行目標角度估計。相比于傳統的TR MIMO DOA估計算法,本文算法有效地降低了計算量,提高了目標分辨率,對目標估計精度損失相對較小。

1 TR MIMO信號模型及MUSIC算法

1.1 TR MIMO信號模型

為說明算法,本文建立單基地MIMO雷達模型,MIMO雷達陣元間距為d(d為波長一半)且為均勻線陣,設計發射端陣元數為M,對應的接收端為N。假設存在遠場目標,目標數為K。在此模型中,發射和接收陣列間距較近,所以發射角和接收角可作近似處理,設為θk(k=1,2,…,K)。如圖1所示。

因此,在接收端通過匹配濾波器后可以得到信號矩陣為[13]

X=(At°Ar)S(t)+n(t)

(1)

式中:At=(at(θ1)at(θ2) …at(θK)),Ar=(ar(θ1)ar(θ2) …ar(θK))包含了K個目標的角度信息;at(θk)=(1 e-jπsinθk… e-jπ(M-1)sinθk)T,ar(θk)=(1e-jπsinθk…e-jπ(N-1)sinθk)T分別為發射波和反射波導向矢量矩陣,S(t)=(β1ej2πf1tβ2ej2πf2t…βKej2πfKt)T,βk為目標散射系數;n(t)為均值為0且方差為σ2的高斯白噪聲,“°”為Khatri-Rao積。

At°Ar=(at(θ1)?ar(θ1)at(θ2)?ar(θ2)…at(θK)?ar(θK))

(2)

式中:“?”為Kronecker積,At°Ar為MN×K維矩陣。

為得到TR MIMO數據模型,根據時間反轉的原理,將MIMO雷達接收端信號矩陣取共軛并且時間反轉,進行能量歸一化,再次發射出去。發射信號模型為εX*(-t),則TR MIMO接收端通過匹配濾波器后的信號矩陣為[8]

(3)

式中:ε為常數,作為能量歸一化因子;(·)*表示取復共軛;η=(ej4πf1t|β1|2ej4πf2t|β2|2… ej4πfKt|βK|2)T為K×1維矩陣;v為M2×1維高斯白噪聲,均值為0,方差為σ2IMM。

(4)

1.2 TR MIMO MUSIC算法

相對于理論分析,在實際操作中,考慮到采樣數,協方差矩陣可以表示為

(5)

式中:(·)H表示取矩陣的共軛轉置,L為采樣快拍數。

對協方差矩陣R進行分解:

(6)

式中:λi(i=1,2,…,K)為R分解后的K個較大特征值,λj(j=K+1,K+2,…,M2)表示特征分解的M2-K個小特征值,ei和ej分別為λi和λj的特征向量。定義:

(7)

則分別以Es和En的列為基構成信號子空間和噪聲子空間。根據正交性原理span(Es)⊥span(En),TR MIMO MUSIC算法為

(8)

2 基于RD-SRT的TR MIMO DOA估計算法

2.1 TR MIMO降維變換

由文獻[11]可知,TR MIMO的合成導向矢量a(θ)中僅有2M-1個不同的元素,則a(θ)可以重新寫為

(9)

式中:b(θ)=(e-jπ(M-1)sinθk… 1 … ejπ(M-1)sinθk)T是(2M-1)×1維矩陣,G為MM×(2M-1)維變換矩陣

(10)

根據式(10),定義W=GHG。則W=diag(1,2,…,M,…,2,1)∈C(2M-1)×(2M-1)。

利用W-1/2GH,可對接收信號Y作降維處理,則有:

(11)

(12)

此時,空間譜函數可表示為

(13)

2.2 子空間旋轉變換

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

根據式(19)可構造如下空間譜函數:

(20)

2.3 p最優值討論

根據文獻[14]可知,p存在最優解使得本文算法的計算量最小。所以,根據p的取值范圍,即2≤p≤2M-1-K,從算法復雜度入手,對p做如下討論。

CFJ=O{(2M-1)2K}

(21)

CO=O{p(2M-1)(2M-1-K)}+O{(2M-1)(2M-1-K)}

(22)

將搜索范圍設為[-π/2,π/2],總的搜索點數為T,那么在搜索時RD-MUSIC的復雜度為

CRD=O{2TM(2M-1-K)}

(23)

本文算法搜索時的復雜度為

CSS=O{2Tp(2M-p)}

(24)

綜上所述,RD-MUSIC和本文算法的復雜度分別為

CRM=O{(2M-1)2K}+O{2TM(2M-1-K)}

(25)

CRSM=O{(2M-1)2K}+O{p(2M-1)(2M-1-K)}+O{(2M-1)(2M-1-K)}+O{2Tp(2M-p)}

(26)

一般來說,有T?M>K,因此可作如下近似:

(27)

顯然,p應該以CRSM取得最小值為原則,同時滿足2≤p≤2M-1-K的條件,即:

(28)

可以分3種情況討論p的最優值:

①情況1。M≥K+1,此時,2M-1-K≥M,CRSM在邊界p=2及p=2M-1-K的取值如圖2所示,p的最優值為popt=2。

②情況2。(3/2)+(K/2)≤M

根據以上分析,可得:

(29)

3 算法步驟及性能分析

3.1 算法步驟

綜上所述,本文算法具體步驟如下:

①對TR MIMO雷達接收信號進行降維變換,即Z=W-1/2GHY;

⑤通過式(20)進行角度估計。

3.2 算法性能分析

1)估計精度和分辨率。

2)算法的復雜度。

根據式(29)和式(27),可以看出,在p=popt時,本文算法復雜度最低為

CRSM=8T(M-1)

(30)

RD-MUSIC和本文算法復雜度的比值為

(31)

圖5為比值H隨陣元數的變化圖。從圖中可知,在較少目標和較多陣元時,本文算法的計算效率具有更大的優勢。

4 仿真實驗

為了證實算法的正確性,通過以下5組實驗進行對比分析。在實驗中,設計MIMO模型的陣元間距為信號波長一半且為均勻線陣,發射端陣元M=8,接收端陣元N=6,采樣數L=200。設置目標數K=3,來波方向分別為θ1=-10°,θ2=20°,θ3=40°。為了分析算法的統計性能進行300次Monte Carlo仿真。定義靠近角θ1和θ2,如果有函數f(·)滿足:

(32)

即認為分辨成功。

1)檢驗算法估計性能仿真實驗。

圖6為使用本文算法和文獻[17]算法進行的30次DOA估計,其中選取信噪比RSN=-15 dB,3個目標的角度分別為θ1=10°,θ2=15°,θ3=20°,φ為空間譜。

從圖6可以看出,文獻[17]算法難以分辨靠近目標,而本文算法在較低的信噪比下可以估計出目標的DOA,并且每個目標的譜峰位置較為集中,具有較好的估計性能和可靠性。

2)檢驗信噪比對算法精度影響仿真實驗。

圖7為不同信噪比4種算法的均方根誤差(σ),從圖7中可以看出,在低信噪比(RSN<-5 dB)時,文獻[17]的低復雜度算法誤差明顯增大。另一方面,本文算法相比于MUSIC算法和RD-MUSIC算法的精度僅有較小損失,明顯好于文獻[17]。

3)檢驗快拍數對算法精度影響仿真實驗。

圖8是通過改變快拍數來觀察均方根誤差的變化,其中選取信噪比RSN=0。

從圖8可以看出,圖中的算法在低快拍時都能表現出良好的性能,本文算法性能甚至接近于MUSIC算法,明顯好于文獻[17]低復雜度算法。

4)檢驗算法目標分辨率仿真實驗。

圖9和圖10分別給出了θ1=15°和θ2=16°的2個近目標分辨成功率隨信噪比和快拍的變化關系。圖中,η為分辨成功率,圖9的快拍數為200,圖10選取RSN=0。

從圖9和圖10中可以看出,相比于圖中其他算法,本文算法擁有最高的分辨成功率,在低信噪比(RSN<-5 dB)和小快拍數(l<80)下全面優于其他幾種算法。

5)算法運行時間對比仿真實驗。

圖11為本文算法、RD-MUSIC算法和文獻[17]中算法在不同陣元數的條件下完成一次DOA估計的時間對比,其中選取信噪比RSN=0,目標位置分別為θ1=-10°,θ2=20°,θ3=40°。圖中,ts為仿真時間。

從圖11可以看出,對于計算時間,本文算法明顯低于未經子空間重構的算法并接近于文獻[17]中的算法。在大陣元數的條件下,相比于RD-MUSIC算法,本文算法擁有更低的計算時間,這與前面給出的計算量分析結果一致。

5 結論

本文將時間反轉技術用于MIMO雷達系統,結合降維思想和子空間旋轉變換技術,提出了一種科學的多目標角度估計方法。算法充分反映了TR MIMO雷達估計精度和分辨率高等特點,極大地降低了傳統算法的計算量。仿真實驗證明了算法的有效性。

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