基于ABAQUS的環面漸開線齒輪副傳遞誤差分析

伍紅平，劉雷

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

環面漸開線齒輪是一種對安裝誤差不敏感，具有良好的嚙合特性、較高的承載能力，并且加工便捷的新型齒輪[1-2]。該齒輪傳動是一種凸—凹廓嚙合傳動形式，環面漸開線齒輪的齒頂曲面和齒根曲面分別為外環面或內環面的一部分，而環面由圓弧繞齒輪軸線旋轉形成。凸環面漸開線齒輪的分度圓齒厚由齒寬中部向兩端逐漸減小，而齒頂厚由齒寬中部向兩端逐漸增大；凹環面漸開線齒輪的分度圓齒厚由齒寬中部向兩端逐漸增大，而齒頂厚由齒寬中部向兩端逐漸減小。

本文以環面漸開線齒輪為研究對象(圖1、圖2)，基于有限元軟件重點研究了齒輪的傳遞誤差。對模型進行了精確的有限元前處理以確保有限元分析的有效和準確性；根據非線性靜力分析得到了環面漸開線齒輪副的靜態傳遞誤差，以及轉矩對齒輪靜態傳遞誤差的影響；根據非線性隱式動力學分析，得到了環面漸開線齒輪的動態傳遞誤差。環面漸開線齒輪傳遞誤差的分析對進一步對其修形研究以及齒輪動力學研究有重要意義。

圖1 凸環面漸開線齒輪示意圖

圖2 凹環面漸開線齒輪示意圖

1 齒輪傳遞誤差的概念

齒輪傳遞誤差主要由齒輪加工誤差、齒輪修形量、齒輪受載變形、齒輪軸彎曲變形引起的偏載等構成。在本文所建立的有限元模型中只考慮齒輪受載變形對其傳遞誤差影響，其中包括彎曲變形和接觸變形。齒輪傳遞誤差的計算公式如下：

TE(um)=rp1θ1-rp2θ2

(1)

式中，rp1、rp2分別為主動輪和從動輪的節圓半徑；θ1、θ2為兩齒輪轉過的角度。

齒輪動態傳遞誤差是齒輪系統噪聲的主要來源[3]，一般情況下，齒輪動態傳遞誤差較難準確的分析和測量。但是動態傳遞誤差是由靜態傳遞誤差引起的，通過減小靜態傳遞誤差能有效地減小動態傳遞誤差，從而減小齒輪傳動系統噪聲。

國內外學者對齒輪傳遞誤差有著大量的研究。傳遞誤差的分析有動力學方程求解和有限元分析、實驗測量等方法。Raul[4]在ABAQUS中建立了直齒圓柱齒輪的有限元模型，分析了轉矩、轉速、傳動比等因素對齒輪靜態傳遞誤差和動態傳遞誤差的影響，并對齒輪作了修形研究。唐進元[5]提出了一種傳遞誤差的概念模型和力學模型,推導出了傳遞誤差的計算公式,并給出了傳遞誤差的一個計算實例。白玉田[6]利用有限元的方法計算出輪齒不同位置的嚙合剛度，并通過切片模型計算出齒輪嚙合過程中的傳遞誤差。張義民[7]通過有限元法分析了某斜齒輪副的靜態傳遞誤差及動態傳遞誤差，并分析了它們的主要頻率成分。汪中厚[8]等對螺旋錐齒輪的傳遞誤差有相關研究。張濤[9]等分析了制造誤差對齒輪動態性能的影響并指導齒輪的減振設計和精度設計。

2 環面漸開線齒輪有限元建模

環面漸開線齒輪幾何設計參數如表1所示。

表1 環面齒輪基本參數表

通過環面齒輪的齒輪生成原理，建立凸、凹環面齒輪的齒面方程，在Matlab中生成齒面各點的坐標值并導入Pro/E，建立完整的齒輪模型完成裝配并進行必要的干涉檢查之后，將模型導出為.x_b格式并導入到ABAQUS中。在ABAQUS中進行有限元前處理如下：

1) 網格劃分：因齒輪傳遞誤差受慣性影響，故建立兩個齒輪的完整模型。考慮到計算精度及計算時間，對準備參與嚙合的幾對輪齒做精細劃分，而其他不參與嚙合的輪齒網格較粗。網格劃分如圖3所示，單元類型為C3D8R。

圖3 環面漸開線齒輪網格劃分

2) 材料參數：齒輪材料選用45鋼，密度為7.8×10-9t/mm3。彈性模量和泊松比分別為210 000MPa、0.3。材料阻尼采用Ray-leigh阻尼，其中質量矩陣系數α=0.03、剛度矩陣系數β=3×10-6。

3) 耦合關系：分別在凸環面齒輪和凹環面齒輪的軸線上定義剛體參考點(reference point)，參考點分別與兩齒輪內圈建立耦合關系(coupling)并約束所有自由度。后續通過參考點對齒輪施加固定邊界條件及位移邊界條件。

4) 接觸對：選擇凸環面齒輪齒面為主面，凹環面齒輪齒面為從面。齒面間接觸的相互作用分為法向和切向作用，其中法向作用定義為“hard contact”,切向作用的摩擦系數設置為0.1。齒面接觸處采用有限滑移(finite sliding)的追蹤方式計算接觸表面之間的相對滑移。

3 環面漸開線齒輪副靜態傳遞誤差分析

對環面漸開線齒輪進行非線性靜力學分析，從而分析其靜態傳遞誤差。

3.1 有限元設置

針對不同的分析任務，ABAQUS設置不盡相同，文中以凸環面齒輪作為主動輪，凹環面齒輪作為從動輪進行約3個嚙合周期的靜態分析，設置如下：

1) 分析步設置：環面漸開線齒輪靜力學分析包括1個初始分析步和2個后續分析步。設置環面齒輪靜力學分析的后續分析步為Static，General類型。其中第1個后續分析步的作用是建立齒面接觸，其目的是使分析容易收斂，分析時間為1 s；第2個分析步為旋轉分析步，分析時間為0.2 s。由于齒面接觸問題為非線性問題，故2個分析步均設置為非線性分析。同時，需創建歷史輸出(history output requests)得到兩齒輪的軸向角位移(UR3)，追蹤目標為上文的剛體參考點創建的節點集(Set)。為了控制角位移采樣的偏差，將初始時間增量和最大時間增量均設置為0.002 s，以確保至少有100個增量步。

2) 載荷及位移邊界條件設置：在初始分析步中約束主動輪的所有自由度，約束從動輪除軸向旋轉外的5個自由度；在接觸建立分析步中，對從動輪采用光滑(smoothing)加載的方式施加80 N·m的轉矩以建立接觸；在旋轉分析步中，解除主動輪的軸向旋轉自由度并添加1個角位移以驅動其旋轉，角位移的大小為0.5 rad。

3.2 靜態傳遞誤差分析結果

讀取歷史輸出中兩齒輪的角位移θ1、θ2，在Matlab中進行一定運算處理后得到環面漸開線齒輪副在80N·m載荷下的靜態傳遞誤差如圖4所示。其靜態傳遞誤差為17.5μm，靜態相對傳遞誤差(峰-峰值差)為6.9μm。結合有限元后處理中的應力應變云圖知，在0～45ms(主動輪轉過角度<0.11rad)時，齒輪副處于雙齒嚙合區，此時靜態傳遞誤差較小，這是由于雙齒嚙合區嚙合剛度較大；在45ms時(主動輪約轉過0.11rad)凸齒輪的一個輪齒嚙出，齒輪副進入單齒嚙合區，嚙合剛度顯著減小，此時傳遞誤差增大；在67ms時(主動輪約轉過0.14rad)凹齒輪的一個輪齒嚙入，齒輪副重新進入雙齒嚙合區，嚙合剛度增大，傳遞誤差減小。

圖4 環面漸開線齒輪靜態傳遞誤差

3.3 數據可靠性驗算

由于所分析環面漸開線齒輪副為點接觸，環面漸開線齒輪齒面較為復雜。為了驗證有限元分析結果的可靠性，對環面漸開線單齒嚙合區的一個接觸對利用赫茲接觸理論進行理論計算如下：

(2)

式中：p0為最大接觸應力；

Q為接觸點處的法向接觸力；

a為接觸橢圓的長半軸；

b為接觸橢圓的短半軸；

法向接觸力Q由轉矩以及接觸點的位置向量以及齒輪的單位法向而確定，a、b由接觸點的曲率半徑、主曲率方向、彈性模量以及Q等參數計算得到。

為了避免齒間載荷分配問題，選取單齒嚙合區的一個接觸點進行理論計算。通過環面漸開線齒輪的齒面方程、彈性模量等參數計算得到此接觸點在80N·m載荷下的理論最大接觸應力為629MPa，對比圖5中的有限元分析結果643MPa，理論結果與有限元結果基本一致，故認為有限元在環面漸開線齒輪靜力學分析中可靠，通過有限元靜力學分析取得靜態傳遞誤差的方法是可行的。

圖5 轉矩對靜態傳遞誤差的影響

3.4 轉矩對靜態傳遞誤差的影響分析

為了分析不同轉矩對環面漸開線齒輪副靜態傳遞誤差的影響，采用相同的步驟在其他不同的轉矩下(20N·m、40N·m、60N·m、100N·m)進行靜力學分析，得到不同轉矩下該參數環面漸開線齒輪副的傳遞誤差如圖6所示。結果表明在一定范圍內隨著轉矩的增大靜態傳遞誤差也增大，傳遞誤差峰值位置及其變化趨勢相當一致。為了進一步了解靜態傳遞誤差與轉矩的關系，在Matlab中對其進行線性擬合，結果如圖7。分析結果表明在一定范圍內，該參數環面漸開線齒輪的靜態傳遞誤差隨著轉矩的增大線性增大，同時其相對傳遞誤差也隨著轉矩的增大而增大。

圖6 不同轉矩下的靜態傳遞誤差

圖7 轉矩對靜態傳遞誤差的影響

4 環面漸開線齒輪副動態傳遞誤差分析

對環面漸開線齒輪進行非線性隱式動力學分析，從而分析其動態傳遞誤差。

4.1 有限元設置

1) 分析步設置：環面漸開線齒輪動力學分析只包括一個初始分析步和一個后續分析步。設置環面齒輪靜力學分析的后續分析步為Dynamic，Implicit類型，并打開非線性。同樣動力學分析也需創建歷史輸出(history output requests)得到兩齒輪的軸向角位移(UR3)進行追蹤。根據下文設置的主動輪轉動速度(20 rad/s)，為保證有3個嚙合周期的仿真，將分析時間設置為0.025 s，將初始時間增量和最大時間增量均設置為0.000 1 s。

2) 定義接觸對：由于環面漸開線齒輪齒面的復雜性以及接觸問題易產生收斂問題，在隱式動力學分析中將齒面間接觸屬性的法向作用由硬接觸(hard contact)更改為指數式(exponential)“軟”接觸，設置p=1 000，c=0.001；切向作用的摩擦系數仍設置為0.1。指數形式接觸[10]是指法向接觸間隙減小到c時，接觸面進入接觸約束；接觸間隙減小到0時，接觸壓力為p；在接觸間隙為c到穿透距離為6c之間，接觸壓力與接觸間隙滿足指數關系；當穿透距離大于6c時，接觸壓力與接觸間隙為線性關系。

3) 載荷及位移邊界條件設置：為了動力學分析盡快進入到平穩狀態，在ABAQUS中創建預定義場(predefined Field)，設置主動輪的轉速為20 rad/s，從動輪的轉速由齒輪副的傳動比計算得到，為-17.96 rad/s。在初始分析步中約束主動輪和從動輪除軸向旋轉外的5個自由度；在隱式動力學分析步中，對主動輪施加一個角速度驅動，角速度大小為20 rad/s，對從動輪施加80 N·m的轉矩。

4.2 動態傳遞誤差分析結果

讀取輸出中兩齒輪的角位移θ1、θ2，在Matlab中進行一定運算處理后得到環面漸開線齒輪副在80N·m載荷、20rad/s的轉速下的動態傳遞誤差并與靜態傳遞誤差對比如圖8。結果表明，在初始嚙合階段，由于嚙合的不平穩，其動態傳遞誤差有明顯的波動，隨后在約0.001s(主動輪轉過0.02rad)后傳動進入平穩階段。

對比動態傳遞誤差和靜態傳遞誤差可知，在嚙合平穩階段此工況條件下的動態傳遞誤差略小于靜態傳遞誤差，而其變化趨勢基本一致。但是由于有限元分析過程中接觸對設置的不同，以及齒輪副動態傳遞誤差受到慣性、摩擦力、阻尼等因素影響，動態傳遞誤差需進行進一步分析。

圖8 環面漸開線齒輪動態傳遞誤差

5 結語

由于環面漸開線齒輪齒面的復雜性，為了精確得到齒輪副的傳遞誤差，在有限元軟件中精確法建立了環面齒輪模型，通過非線性靜力學分析得到了其靜態傳遞誤差，通過非線性隱式動力學分析得到其動態傳遞誤差。通過分析得到如下結論：

通過赫茲接觸理論的計算驗證了齒面漸開線齒輪靜力學分析數據的可靠性。在環面漸開線齒輪嚙合過程中，在雙齒嚙合區嚙合剛度大，彈性變形較小，此時靜態傳遞誤差較小；在單齒嚙合區，嚙合剛度小，彈性變形較大，此時靜態傳遞誤差較大。通過對不同轉矩下靜態傳遞誤差的分析，表明在一定范圍內，隨著轉矩的增大，該參數環面漸開線齒輪的靜態傳遞誤差線性增大，其相對傳遞誤差也增大。

文章還基于非線性隱式動力學分析計算了一種工況條件下環面漸開線齒輪副的動態傳遞誤差，結論表明在該工況下，動態傳遞誤差與靜態傳遞誤差非常接近。

[1] 劉雷,黃因慧,田宗軍,等. 一種凹、凸環面漸開線齒輪及其設計、加工方法：中國, 專利201210081587.4[P]2012-03-26.

[2] 曹濤. 新型環面漸開線齒輪齒面生成與嚙合特性研究[D].南京：南京航空航天大學，2014:5-6.

[3] J. Derek Smith. Gear Noise and Vibration [M]. 2nd ed. New York-Basel: Marcel Dekker Inc., 2003:2-11.

[4] Tharmakulasingam R. Transmission error in spur gears: Static and dynamic finite-element modeling and design optimization[D]． United Kingdom: Brunel University,2009:105-153.

[5] 唐進元. 齒輪傳遞誤差計算新模型[J]. 機械傳動, 2008, 32(6):13-14.

[6] 白玉田, 任博文. 基于變剛度的齒輪傳遞誤差計算[J]. 大眾汽車, 2014(6):56-57.

[7] 張義民, 楊健, 胡鵬. 斜齒副傳遞有限元誤差分析[J]. 機械設計與制造, 2014(3):189-191.

[8] 汪中厚, 王杰, 王巧玲,等. 基于有限元法的螺旋錐齒輪傳動誤差研究[J]. 振動與沖擊, 2014(14):165-170.

[9] 張濤, 吳勇軍, 吳靜,等. 制造誤差影響齒輪副嚙合的接觸有限元分析方法[J]. 振動與沖擊, 2015(3):43-50.

[10] 江丙云,孔祥宏,羅元元. CAE分析大系:ABAQUS工程實例詳解[M]. 北京：人民郵電出版社, 2015:129-130.