用研究的精神從事教學

鄭毓信

如果單從形式上進行分析，分數的認識應當說與自然數和小數的認識十分類似，從而似乎也不會有特別的困難；但任一稍有教學經驗的數學教師都知道，這又正是小學數學教學最困難的論題之一。例如，有評論者就曾針對“單位，讓分數更好玩”這樣一個論題發出如下的感嘆：“在我的印象中，小學時學分數并沒有好玩的感受，有的是‘要命的感受。”（彭剛）

進一步說，這顯然也是現行各種小學數學教材中何以將“分數的認識”分成“初步認識”與“再認識”這樣兩個部分的主要原因。但從研究的角度看，這恰又為我們提出了一些值得深入思考的問題：分段進行“認識分數”的教學是否真有道理？什么又是進行區分的主要依據，包括不同階段的主要區別與聯系，特別是我們究竟應當如何去理解這里所說的“初步認識”與“再認識”的具體含義？

進而，即使未作深入的思考，相信大多數讀者面對上述問題也一定會想到這樣一個事實，即分數意義的多樣性。從而，這也就是我們應當深入思考的又一重要問題：在分數的教學中我們應當如何去處理所說的“多”與“一”之間的關系？

筆者在此強調，這是國際教育界關于教師工作的一個新定位：“作為研究者的教師”。因為只有通過積極的教學研究我們才能更有效地促進自身的專業成長，包括不斷改進自己的教學，而不是始終處于被動地向別人學習乃至純粹的“被運動”的地位。又由于這正是一切真正的研究工作的共同特點，即以“問題”作為直接出發點，因此，這也就是一線教師如何通過積極的教學研究促進自身的專業成長，包括切實改進教學工作最重要的一個環節，我們應當切實增強自身的問題意識，通過立足實際教學工作發現值得深入研究的問題。

以下就圍繞上面所提到的各個問題對我們應當如何從事分數的教學做出具體分析。1

具體地說，我們在此不妨首先思考：你會如何去回答“什么是分數”這樣一個問題，特別是究竟何者又可被看成“分數的數學本質”？更進一步說，我們顯然還可就同一問題做點調查，即以已接觸過分數的學生為對象具體地去調查他們對于分數的認識，特別是不同年級的學生對于“什么是分數”的看法是否有很大不同？后者又是否可以被看成認識不斷深入的具體表現？

在此還可提及這樣一個常見的做法，即面對“什么是分數”這樣一個問題人們往往會通過查閱一些相關的論著，特別是著名專家的論述去發現解答。但是，這又正是筆者在這方面的一個具體建議：為了促進自身的專業成長，包括切實改進自己的教學，我們在任何時候都應堅持自己的獨立思考，而不應盲目地去追隨各種理論觀點，盡管后者也為我們深入開展相關的研究提供了重要背景。當然，這事實上也應被看成一線教師開展教學研究的一個重要方面，即我們應通過積極的教學實踐與認真的總結和反思對各種相關的理論思想，包括自身在這方面的認識，做出必要的檢驗和發展。

由以下事實讀者即可更好地理解明確倡導后—立場的重要性：相關專家關于分數的論述并非完全一致，有些甚至還可使問題變得更加復雜、更加難以理解。例如，作為對于某個關于分數的實際課例的“名家點評”，就有專家指出：“在小學階段，只要從‘算術角度學習分數，不管學習什么，怎么學習，都是失敗。所以，在小學高年級學習分數，凡是從算術的角度進行的，教學法上沒有好壞之分，因為根本不應該從算術角度學習！應該從代數的角度學習分數。”再如，以下的論述顯然也可被看成后一方面的又一實例：“分數的本質在于它的無量綱性”“在現實生活中，對于處理分數的加法，有時候需要分子加分子、分母加分母。”

總之，與刻意地去尋找某種現成的解答相對照，筆者以為，我們應更加重視如何能夠依據自身的經驗做出必要的總結與進一步的研究。例如，我們可以借助多個不同方法去引入分數，給出分數的多個不同定義。如由“平均分”去引入分數（這也就是通常所謂的“份數定義”）；強調分數主要表示“整體與部分之間關系”，或是“兩個量之間的關系”（這大致相當于分數的“比的定義”）；由“度量”去引入分數；或是認為應當突出分數的“商的定義”（這應當說與上面所提到的“作為代數概念的分數”較為接近。當然，后者所強調的又主要是這樣一點：我們應當從純形式的角度去從事分數的研究，特別是人們之所以要引入分數主要就是為了保證除法的通行無阻，即所謂的“封閉性”）；等等。

當然，真正的研究工作不應停留于簡單的列舉，而是應當對此做出進一步的梳理與分析。例如，容易想到的是，上面所提到的前三種理解顯然就具有重要的內在聯系，并清楚地體現了認識的不斷深化，由“平構分”這樣的操作性理解過渡到了“量與量之間的關系”，后者已超出“部分與整體之間的關系”并獲得了更普遍的意義，包括同類的量與不同類的量的比較。

上述的發展過程事實上也正是現行教材中三年級關于分數學習的主要內容，從而我們也就可以按照所說的思路去從事相應的教學設計。例如，由于所說的發展即是抽象水平不斷提高的一個過程，因此，我們就可依據所謂的“變式理論”（特別是“概念變式”）去進行具體的教學設計。（可詳見另文“理論視角下的小學數學教學——案例三則”，《小學教學》，2007年第7期）

再則，依據所說的分析我們也可對前面所提到的關于分數的多種不同理解做出如下概括，主要包括這樣兩種不同的含義：（1）量與量之間的關系；（2）與自然數、小數一樣，分數也應被看成一個數，一種新的數。容易想到的是，后者就正是現行教材中五年級分數學習的主要目標，特別是無論就“單位1”或是“分數單位”的引入而言，都是為了很好地實現這樣一個目標。

另外，我們應將所有的分數與自然數和小數一起看成同一數系的成員，在彼此之間更存有十分重要的內在聯系，如大小關系與運算關系等。于是，我們顯然也只有從后一角度去進行分析才能具體地談及相關數系對于某一運算（如減法或除法）的封閉性。

再者，從同一角度去分析，我們也就容易理解這樣一個主張，可以借助度量去引出分數；又由于這一做法與自然數與小數的引入十分一致，從而也就更為清楚地表明它們的內在一致性，特別是這樣一個總體性的思想：“數起源于數，量起源于量。”（這方面的一個具體教學設計可見華應龍的《我不只是數學》，中國人民大學出版社，2018，[例8]）

但就分數的認識而言，應當說仍然存在這樣一個問題：就上述兩種理解而言，后者應當說更加重要乃至可以被看成更好地體現了分數的“數學本質”。進而，在教學中我們又是否應當特別重視如何能夠幫助學生很好地實現由原先的“多”向所說的“一”的重要轉變？

由于現行的教材普遍采取了分段教學這樣一個做法，并將所說的兩種理解分別安排于三年級和五年級，因此，面對上述問題人們很容易得出這樣一個結論：“分數是一個數”更好地體現了分數的數學本質。這一說法也許有一定道理，但是從研究的角度看，我們并不應將數學上的邏輯次序簡單地等同于學生的認識順序。更一般地說，我們則應當更深入地去思考：所說的安排究竟有什么優越性與不足之處，我們又應如何去進行教學才能盡可能地減小所說的局限性？再者，我們又應如何幫助學生很好地實現由分數的多種意義向單一意義的轉變？

在此筆者再次強調這樣一點，與唯一地去強調某種現成的解答相比較，我們應當采取更加開放的態度，即應當通過積極的探索與深入研究去發現可能的解答。由以下分析讀者即可更好地理解采取這一立場的合理性。

所說的兩種不同意義事實上在自然數的學習過程中也有同樣的表現，只不過出現的次序恰好相反，后者即是指自然數的學習而言，我們首先強調的是“自然數是一個數”這樣一個認識，然后，只是作為自然數概念的應用，我們才又幫助學生逐步建立起了這樣的認識：我們也可用自然數表示兩個數（量）之間的關系，這也就是所謂的“倍數關系”，因為后者無非就是將兩個數中較小的那個數看成新的比較單位，即“相對意義上的1”。

那么，我們是否就可因此而認定將“自然數看成一個數”相對于“用自然數表示兩個數之間的關系”是更為基本的一個認識。這是否又應被看成學生認識發展更為合理的一個順序，即首先幫助學生建立“自然數是一個數”這樣一個認識，然后，只是在學生較好地掌握了乘法運算以后，再幫助學生認識自然數的概念也可用以表示兩個數之間的（倍數）關系。當然，就我們目前的論題而言，似乎又可因此而引出這樣一個推論：我們應當將現有教材中關于分數學習的安排次序完全顛倒過來。

顯然，絕對地肯定上述想法也是過于武斷的，毋寧說，這更為清楚地表明用“研究的精神從事教學”的重要性，特別是上述分析事實上可以被看成為我們積極地開展教學研究（包括教材建設）指明了一個重要方向。更一般地說，這也就是指，相對于任一獨斷性的結論而言，我們應當更加強調思維的開放性，并應通過積極的教學實踐與深入研究去發現正確的解答。

以下就是這方面的三個具體建議，希望能有助于廣大教師深入思考與積極研究。

第一，無論就自然數或是分數的認識而言，相對于片面地強調某種單一性的觀點而言，我們應當更加提倡認識的多元性，特別是更應被看成是這方面十分重要的一個認識，即“比較（或度量）單位”的相對性，也是由絕對的“1”向相對的“1”的過渡。

值得指出的是，這事實上也可被看成所謂的“多元表征理論”（其對于“單一表征理論”的取代正是學習心理學研究現代發展的一個重要特征。可詳見另文“多元表征理論與概念教學”，《小學數學教育》，2011年第10期）給予我們的一個重要啟示：為了幫助學生更好地理解各個數學概念，我們事實上不應唯一地強調其數學本質，而是應當幫助學生從各個方面去進行理解，如現實意義、直觀動作、空間圖形、語言表述等，包括這些方面的適當轉換與必要整合。

另外，如果說這正是數學教學的主要目標，我們應當通過數學教學努力促進學生思維的發展，特別是不斷提升思維的品質，那么，這顯然也就是強調同一數學概念的不同側面乃至不同意義之間的聯系與轉化的一個重要意義。這不僅有利于學生更好地掌握相關概念，也十分有益于提升其思維的靈活性和綜合性。

第二，從同一角度去分析，我們也可更清楚地看出“用全局觀念指導教學”的重要性，特別是我們應將“分數的認識”與“自然數（與小數）的認識”聯系起來加以分析思考，包括通過自然數的教學為學生將來學習分數做好必要的準備。

例如，這顯然就是這方面的一個基本事實：就兩個數的比較而言，我們既可以用較小的數作為比較單位，即將較大的數表示成較小的數的若干倍，也可將較大的數用作比較單位——這時，分數的引入也就十分自然了。由此可見，如果我們能通過自然數的教學確實幫助學生初步地建立起“比較單位的相對性”這樣一個認識，就可以為他們將來學習分數創造更好的條件。當然，隨著分數學習的深入，我們又應十分重視如何能夠幫助學生更清楚地認識“倍比關系”的一致性。（對此可見另著《小學數學教育的理論與實踐》，華東師范大學出版社，2017，第一章，[例6]）最后，這顯然也是這方面認識的又一重要發展，即除去同類量的比較以外，我們也可將分數用于不同類的量的比較。

第三，從思維的角度進行分析，我們又應特別重視分數認識過程中所包含的這樣一種思維形式：“凝聚”，即由“過程”向“對象”的過渡或轉變。具體地說，后者就直接關系到了分數的“商的定義”，我們如何將分析的著眼點由實際從事相關的運算轉向相應的結果，即將后者直接看成一個數，一個真正的數。（應當指出，所說的轉變也可被看成對于“通過度量引入分數”的直接超越，因為，我們在此已不再關注如何能夠借助所謂的“分數單位”去把握分數的意義）又由于 “凝聚”這一思維形式對于算術與代數的學習具有特別的重要性（可詳見另著《數學思維與小學數學》，江蘇教育出版社，2008，第3.1節），因此，這也就十分清楚地表明分數教學的又一重要意義，或者說，我們應將幫助學生更好地適應這樣一種思維方式看成分數教學的又一重點。

最后，應當再次強調的是，相對于各個具體結論而言，我們應當更加重視思維的開放性，并應圍繞問題積極地去開展教學研究，包括自覺的教學實踐與認真的總結反思。顯然，后者事實上也正是這里所說的“研究精神”的核心所在。

（南京大學哲學系 210093）