基于遺傳算法的多頻最大功率匹配負載設計

田社平， 張 峰(上海交通大學 電子信息與電氣工程學院,上海 200240)

0 引 言

正弦穩態電路最大功率傳輸定理是電路理論或電路分析課程的重要教學內容之一，它指出了電路在正弦激勵下負載獲取最大功率的條件[1-4]。在電路實際應用中，常常也存在非正弦周期激勵的情況，如在傳感器應用電路中，傳感器的輸出將包含各種正弦成分的非電量(如振動)轉換為電量(如電壓)，此時可將傳感器看作非正弦周期激勵的電源[5-6]。由于多頻率電源激勵下，負載阻抗隨頻率發生變化，因此，很難推導最大功率條件的一般解析表達式，一般都通過數字仿真的方法來進行測試[7]。而要設計多頻率激勵下的最大功率匹配負載，所列寫的參數方程均為復雜的非線性方程，很難直接求解。

為此，本文采用遺傳算法，搜索負載可能吸收的最大功率，當該功率達到匹配的最大功率，則此時的元件參數即為最大功率匹配負載的元件參數。以3個不同頻率激勵時的最大功率傳輸問題為例，討論遺傳算法在最大功率匹配負載設計中的應用，使得負載所獲得的功率正好等于電源各諧波分量單獨作用時負載所獲得的最大功率之和。仿真實驗與計算結果表明，采用遺傳算法進行最大功率匹配負載的元件參數設計，可以得到理想的結果。

1 非正弦周期穩態下的最大功率匹配

當線性非時變電路在多頻率正弦激勵下達到穩態時，負載所吸收的功率等于每一個頻率正弦激勵單獨作用時負載所吸收的功率之和。由此，可得到下述結論：非正弦周期穩態下負載所吸收的功率至多等于電源各諧波分量單獨作用時負載所獲得的最大功率之和。當負載所吸收的功率等于各諧波分量單獨作用時負載所獲得的最大功率之和時，稱此時的負載為最大功率匹配。

以圖1所示的電源電路[7]為例進行討論。不失一般性，假設u(t)的表達式為

(1)

式中：ω1=1 rad/s；ω2=2 rad/s；ω3=3 rad/s。

圖1 含多個頻率激勵的單口網絡

可求出在3個頻率下的電源等效阻抗分別為

(2)

如果某一負載在上述3個頻率下的阻抗分別為

(3)

則負載在上述3個頻率激勵單獨作用時時分別獲得最大功率，即

(4)

由此可求得負載在最大功率匹配時所獲得的最大功率為

PLmax=PLmax1+PLmax2+PLmax3=56.25 W

(5)

2 最大功率匹配負載的設計

下面以圖1所示電源為例說明在u(t)[見式(1)]作用下最大功率匹配負載的設計。

2.1 負載電路形式的選取

負載電路形式可采用不同的拓撲結構。由于電源中包含電感元件，因此負載要獲得更大的功率，則負載應為容性負載[8,9]。一種可能的負載電路形式如圖2所示，其中的1 Ω電阻與圖1電路中的1 Ω電阻對應，支路ab與圖1電路中的1H電感對應。

圖2 可能的最大功率匹配負載

2.2 最大功率匹配條件

圖2所示負載的阻抗為

ZL(jω)=

(6)

(7)

由式(7)可知，最大功率匹配負載的元件參數受到3個方程的約束，而未知的元件參數有5個，這說明式(7)可有無窮多解。同時，由于方程均為非線性方程，故對式(7)無論求解析解，還是求數值解，都是非常困難的。

為此，可采用最優化方法來搜索最大功率匹配時的負載元件參數值。其基本思路為：對搜索到的元件參數值，計算負載獲得的功率，如果所獲得的功率達到最大功率(即56.25 W)，則此時的元件參數值就是最大功率匹配負載的元件參數值。

2.3 遺傳算法的應用

采用傳統的優化算法如牛頓法、梯度法等，并不能很好地解決上述問題，這是因為傳統優化算法必須首先給定初始值。而初始值很難正確選取，從而使算法收斂到局部最優值。采用現代優化算法如遺傳算法，則可避免上述問題，得到全局最優解。

遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)是以自然選擇和遺傳理論為基礎，將生物進化過程中適者生存規則與群體內部染色體的隨機信息交換機制相結合的高效全局尋優搜索算法。GA摒棄了傳統的搜索方式，模擬自然界生物進化過程，采用人工進化的方式對目標空間進行隨機優化搜索。它將問題域中的可能解看作是群體的一個個體或染色體，并將每一個個體編碼成符號串形式，模擬達爾文的遺傳選擇和自然淘汰的生物進化過程，對群體反復進行基于遺傳學的操作(遺傳、交叉、變異)。根據預定的目標適應度函數對每個個體進行評價，并據適者生存、優勝劣汰的進化原則，不斷得到更優的群體，同時以全局并行搜索方式來搜索優化群體中的最優個體，以求得滿足要求的最優解[10-12]。

現在已經有各種成熟的GA工具箱可資利用，如Matlab軟件自帶的全局優化工具箱中就包含GA優化函數ga()。對應用而言，最主要的是構造適應度函數。這里，適應度函數可取負載獲取的功率，對圖2電路，取適應度函數為

(8)

設定元件參數C1、C2、C3、L1、L2的搜索值范圍均為0～10(單位為F或H)，運行GA可得到多組最大功率匹配時的元件參數值，表1給出了部分計算結果。

表1 3頻率情況部分設計結果

值得指出的是，GA屬于概率算法，即該算法以概率1收斂到全局最優值。因此在實際運行算法時，有可能計算結果并非最優值，此時只須觀察最優適應度值是否為56.25來判斷結果的最優性。

3 仿真實驗驗證

將表1中的各組設計值代入式(7)，可知各組參數均滿足式(7)，這說明設計計算結果是正確的。

除此之外，還可對表1中的計算結果采用Multisim電路仿真軟件進行驗證[13-15]。本文所采用的版本為13.0。仿真電路圖及功率表讀數結果如圖3所示。圖中元件參數分別取表1中的第一組數據。仿真結果表明，在穩態時功率表的讀數為56.25 W，說明所設計的負載電路滿足最大功率匹配條件。值得指出的是，由于激勵的頻率非常小，只有零點幾Hz，在仿真時，讀數達到穩定狀態的時間較長，且功率表的顯示值在理論值附近有輕微的波動。

圖3 實驗仿真電路及結果

4 結 語

非正弦穩態周期電路的功率計算有其特殊性，一方面，很難通過推導得到通用的適用于任意多個頻率激勵的相關公式，另一方面，激勵的各諧波分量產生的功率并不影響其他諧波分量產生的功率，這簡化了非正弦穩態周期電路最大功率傳輸問題的分析。本文以三個頻率激勵下最大功率匹配負載設計為例，討論了GA的應用，取得了理想的效果。在具體應用時還應注意：

(1) 正確選取負載的電路形式是成功應用本文方法的關鍵。從理論上講，負載的電路形式可以多種多樣，這給設計帶來一定的困難。但是，即便所選取的電路形式并非是與最大功率匹配的，也可采用本文的方法計算出在該電路形式下獲得最大功率所對應的一組

元件參數值，以便應用于實際電路的設計。因此，本文的方法具有較好的普遍適用性。

(2) 由于所有元件參數值都應取正值，因此其下限可取零或合適的較小數。而參數值的上限則可通過試算而得，如可先取較大值，再根據初步計算結果予以適當調整。

(3) GA本身在運行還必須進行參數設置，如初始種群數、交叉概率、變異概率、最大進化代數等。這些參數可采用默認值或經驗值。

(4) 盡管本文僅討論了三個頻率激勵下最大功率匹配負載設計問題，但本文的思路和方法完全可以適用于多個頻率下最大功率匹配負載的設計。

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