檢測單相電壓暫降的直接導數算法

蔣?，|，李東輝

（大連交通大學電氣信息工程學院，大連116028）

1 引言

根據電氣與電子工程師協會(IEEE)標準IEEE Std.1159-1995的定義，電壓暫降是指供電電壓方均根值下降至額定值90%～10%的事件，其典型持續時間為工頻0.5～30周波[1-2]。在各種常見的暫態電能質量問題中，電壓暫降的發生頻率最高,其對可調速驅動裝置、自動化生產線、可編程邏輯控制器、交流接觸器以及計算機系統等敏感設備均可產生巨大危害，嚴重影響了人們的生產與生活[3-5]。為了實現電壓暫降的實時補償以及為暫降事后的統計與分析工作提供依據，必須解決額定電壓暫降特征值實時檢測的問題。

針對暫降特征值的實時檢測，坐標變換法以其良好的動態性能和較高的檢測精度受到許多學者的廣泛關注。傳統的坐標變換法將單相電壓延時60°構造虛擬三相系統，再將abc坐標下的電壓變換至dq坐標，最后用低通濾波法提取dq分量中的直流成分從而計算暫降幅值及相位跳變[2，6]。在此基礎上，一些學者考慮到構造三相系統的過程運算量大，將單相電壓求導或延時90°構造兩相靜止坐標下的電壓，用αβ-dq變換代替了abc-dq變換以獲取dq分量[7-9]。然而，坐標變換法必然涉及額外電壓相量的構造，所需參量較多。另外，各文獻對伴有長時間頻率偏移情況下的相位跳變檢測的研究較少，導致坐標變換法只能檢測±90°范圍內的相位跳變。

鑒于上述電壓暫降檢測方法存在的不足，設計了一種檢測電壓暫降的直接導數算法，并將其應用于實測電壓暫降的檢測。結果表明，該算法運算量小，可以滿足檢測裝置對實時性和準確性的要求，同時擴展了頻率偏移情況下較長時間電壓暫降相位跳變的檢測范圍。

2 αβ變換法檢測電壓暫降特征值

αβ變換法是基于坐標變換的電壓暫降特征值檢測的典型方法。設暫降過程中的理想單相電壓為u(t)，先將u(t)投影至αβ兩靜止坐標系下，可得到投影值為：

兩式中，uβ可視為當前電壓的瞬時值。對于uα的構造有兩種方法：一種是延時1/4周期的構造法，即將所測得的電壓延時1/4周期以獲得uα；另一種方法如式(3)所示，即通過求導的方法來構造uα。

再對uα和uβ進行兩相靜止兩相旋轉變換，可得到dq軸下的電壓ud和uq，具體變換過程如下：

變換矩陣C2s/2r的構造需要與暫降前電網電壓同相位的正弦信號sin(ωt+φ)和與之對應的余弦信號cos(ωt+φ)，它們需由鎖相環和一個正、余弦信號發生電路產生。

接著通過低通濾波器得到dq軸電壓的直流分量Ud0和Uq0，最終可求得暫降的基波電壓幅值和相位跳變為：

3 直接導數算法檢測電壓暫降特征值

考慮到坐標變換法所需的額外電壓信號較多，且檢測超過±90°的相位跳變時會出現問題，為此設計了用于單相電壓暫降檢測的直接導數算法。

首先建立暫降前和暫降過程中理想相電壓函數模型，如式(7)和(8)所示：

式中，A0為系統額定相電壓幅值（為已知量），A1為暫降過程中相電壓幅值，φ為電壓初相角，Δφ為相位跳變。

3.1 電壓暫降幅值計算

對(8)式求導可得：

理想情況下，由式(8)、(9)便很容易得出暫降基波電壓幅值為：

假定電壓暫降幅值為k,根據定義可得最終的暫降幅值表達式：

在實際應用中,的計算只需要u1中相鄰的兩個采樣數據，即u1對應tk時為utk，則對應tk-1時為ut(k-1)，此時任意時刻電壓的導數為：

式中fs為采樣頻率，常用的采樣頻率為6.4kHz、12.8kHz和25.6kHz等，遠大于工頻50Hz的兩倍，故計算的導數值精度很高。另外，我國規定380V低壓配電系統電壓總諧波畸變率不應超過5%，隨著電壓等級的升高，各級高壓配電系統電壓總諧波畸變率還會逐漸降低[2]。因此，由于電網諧波電壓幅值數量級相對基波較小，當式(8)中含有諧波電壓時，諧波對基波暫降幅值的檢測結果所帶來的影響可以忽略，通過低通濾波提取式(11)中的直流分量即為暫降幅值。

3.2 電壓暫降相位跳變計算

如式(6)所示，針對相位跳變的檢測，人們往往習慣于通過坐標變換等數學手段構造出僅以相位跳變 Δφ 為變量的三角函數值 sin(Δφ)或 tan(Δφ)，再對其做反三角函數運算，從而求得相位跳變值[6-11]。然而由于反正弦函數和反正切函數只能計算出±90°范圍內的相位跳變值，故無法檢測在較長時間電壓暫降過程中因系統頻率偏移而導致的絕對值超過90°的瞬時相位跳變[7]。為此，本文將相位跳變的檢測范圍擴展至±180°（相位跳變絕對值超過90°的情形參見下文4.2中的討論），并提出基于暫降過程中電壓 u1的實時相位(ωt+φ+Δφ)與暫降前電壓 u0延續波的實時相位(ωt+φ)作差來求取相位跳變Δφ的方法。其中，暫降前電壓延續波可由相應處理器的內存對暫降前電壓一周期的瞬時數據周期延拓來生成，也可由鎖相環產生（暫降前電壓與暫降前電壓延續波在后文中統稱為暫降前電壓）。

假定 θ0=(ωt+φ)、θ1=(ωt+φ+Δφ)。將 u0和 u1及其導數化為幅值為1的形式，從而確定電壓實時相位的正、余弦值：

已知相位角的正、余弦值，即可確定該相位角所在的象限，從而可將相位表示為隨時間的推移在-180°～+180°范圍內周期變化的函數，以 θ1為例：

同理，將上式中的角標1替為0，即可獲得θ0的表達式。至此，u0和u1的實時相位便確定了。為了獲得相位跳變Δφ，將式(7)和式(9)中的x0和x1視為兩個同頻率的簡諧運動方程，其所對應的單位旋轉矢量如圖1所示，旋轉矢量在x軸正方向的投影即為x0和的瞬時值。其中，暫降電壓視為由暫降前電壓轉過小于180°的那個角度而產生，這個角度值即為相位跳變的絕對值若暫降電壓由逆時針旋轉產生（如圖1中則 Δφ 為正值；若由順時針旋轉產生（如圖1中，則 Δφ為負值。

圖1 電壓暫降旋轉矢量模型

⑴ 若旋轉至的過程中未穿越±180°相位分界線，此時存在-180°≤θ1-θ0≤180°，則相位跳變Δφ= θ1-θ0（如圖 1所示）。

⑵ 若旋轉至的過程中逆時針穿越±180°相位分界線，此時存在θ1-θ0＜-180°，相位跳變Δφ=（如圖 2所示）。

⑶若旋轉至的過程中順時針穿越±180°相位分界線，此時存在 θ1-θ0＞180°，相位跳變Δφ=（圖2中與的位置互換時）。

圖2 0逆時針穿越±180°相位分界線

綜上可將相位跳變表示為：

當電壓中含有諧波時，對于式(17)而言，由于反三角函數的級數展開式中不包含平方項，故諧波不會對相位跳變的檢測帶來額外的直流分量，通過低通濾波提取Δφ中的直流分量即為相位跳變值。

4 理想暫降波形仿真驗證

利用MATLAB仿真工具，編寫M腳本文件生成10kV配電網在額定狀態下發生單相電壓暫降的波形。暫降幅值k=0.5，持續時間為6個周波（0.12s），相位跳變 Δφ=30°,暫降的發生與終止都是瞬時的。由此得到電壓暫降瞬時波形如圖3所示。

圖3 電壓暫降瞬時波形圖

從圖3可以看出，電壓在0.04s發生了暫降，0.16s時暫降終止。設定采樣頻率為6.4kHz（0s處的數據為第一個采樣數據，每周期采樣128個數據，下文的檢測也均采用這一采樣頻率），采用3種方法分別檢測10個周期的電壓瞬時波形，所得的檢測結果如圖4～圖6所示。

圖4 延時90°的dq變換法

圖5 求導的dq變換法

圖6 直接導數算法

結果表明，三種方法均可獲得精確的暫降特征值。但從檢測的實時性上來看，延時90°的dq變換法存在著1/4周期的延時，而對于求導的dq變換法和直接導數算法而言，兩者的檢測僅延時了一個采樣周期。其中，直接導數算法無需坐標變換，尤其對于暫降幅值的檢測，運算量遠小于求導的dq變換法，暫不考慮因波形不連續而造成的暫降起始與終止時刻的過沖現象，直接導數算法檢測電壓暫降的整體效果最佳。

5 實測暫降波形算法應用

5.1 伴有諧波的電壓暫降檢測

以某地區10kV配電網于2014年9月5日發生的一次伴有諧波干擾的單相電壓暫降為例，采用本文的直接導數算法并復合低通濾波對該次電壓暫降進行檢測。仿真中LPF選擇3階、截止頻率為100Hz的Butterworth濾波器。

如圖7(a)所示，該系統的某一相在0.12s～0.38s之間發生了具有約25°相位跳變、48%的暫降，且由于暫降過程中伴有幅值不等的各次諧波和間諧波，暫降波形發生了一定程度的畸變。從圖7(b)～(e)的檢測結果可以看出，低通濾波可以較好的屏蔽諧波對暫降檢測的干擾，濾波后的檢測結果依然滿足精度要求。由于Butterworth濾波器在準確性和快速性之間存在一定矛盾，在二、三次諧波電壓的含有率很高時，可以采用小波分析對原始信號進行預處理[7]，再利用形態濾波法或級聯型濾波器與本文的直接導數算法復合[12-13],從而提高檢測的實時性。

圖7 畸變的電壓暫降實測波形及檢測結果

5.2 伴有頻率偏移的電壓暫降檢測

目前對于相位跳變產生原因的解釋主要基于電壓暫降分壓模型，由于故障發生前后系統的網絡結構發生改變，母線電壓相量的幅角也會隨之改變，此時的相位跳變Δφ可視為兩阻抗角的差值[2，14]，因此 Δφ 的范圍介于-90°～+90°之間。然而，相位跳變的范圍并不一定僅局限在±90°內[15]，如當相位跳變初始值接近-90°且有大容量（有功）負荷突增時，系統有功功率的不平衡所引起的頻率負偏移會使相位跳變值變得更小。

實測數據表明，負荷突增后，在系統的頻率進入振蕩狀態之前，通常存在一個線性的衰減區間[16]，而在機組旋轉備用容量較小時，該區間長度往往會超過電壓暫降的常見持續時間。設系統頻率平均變化率為kf，伴有頻率偏移的暫降電壓函數可表示為：

由此可得因頻率偏移而引起的相位偏移量為：

采用MATLAB編寫程序，生成10kV配電網在額定狀態下發生伴有頻率偏移的單相電壓暫降波。程序設定暫降起始時刻為0.25s，持續時間為1s，kf=-0.1Hz/s，φ=0°，Δφ=-80°。由式(19)可知，相位跳變值在0.25s時刻應由0°突變至-80°。由式 (20)可知，從0.25s開始，相位跳變應以二次函數形式單調減小，至1.25s暫降終止時，受頻率偏移而引起的相位偏移量 Δωt為-18°，即相位跳變應為-98°。

采用三種方法對相位跳變進行檢測，檢測結果如圖8所示。結果表明，正如第2.2節所述，反正切函數只能計算±90°范圍內的相位跳變，故兩種dq變換法在相位跳變遞減至-90°時（約1s處）突變至了+90°，之后的檢測結果也一直比真實值大180°，可見后期的檢測結果是錯誤的。而直接導數算法已在原理上將相位跳變的檢測范圍擴展至了±180°，可以真實地反映相位跳變的遞減過程。另外，從程序返回的檢測結果來看，直接導數算法在暫降結束時檢測到的相位跳變值為-98.0225°，可見其檢測精度很高。因此，直接導數算法在檢測伴有頻率偏移的電壓暫降時，效果優于其他三種方法。

圖8 伴有頻率偏移的電壓暫降相位跳變檢測結果比較

6 結束語

基于正弦量與其微分量的關系及旋轉矢量分析法，設計了檢測單相電壓暫降特征值的直接導數算法。將該法與現有dq變換法對比，表明直接導數算法在原理上無需坐標變換，減少了檢測裝置額外電壓信號的輸入數目。在實用中還可發現，當諧波總畸變率低于國家標準規定的限值時，復合低通濾波直接導數算法的檢測結果仍可滿足精度要求，此時檢測的延時主要由數字濾波器本身特性造成。另外，對于相位跳變的檢測，由于此法在原理上可以檢測一周期范圍內的相位跳變，因此該算法比坐標變換法更適用于伴有頻率偏移的電壓暫降的檢測。

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