多目標兩階段組合DEA模型及應用研究

鄧憶瑞,李 寧,楊艷麗,楊印生

(1.中國石油大學(華東)經濟管理學院,山東青島266580;2.火箭軍工程大學控制工程系,陜西西安710025;3.吉林大學生物與農業工程學院,吉林長春130021)

1 引 言

自Charnes等[1]提出數據包絡分析(data envelopment analysis,DEA)以來,該方法已經成為測算多輸入,多輸出同類決策單元(decision making unit,DMU)的相對效率的有效工具.DEA模型的模型構建中分別采用了規模收益不變(constant return to scale,CRS)和規模收益可變(variable return to scale,VRS)兩種形式.鑒于DEA方法應用的有效性及廣泛性,普遍得到各國學者的追捧.迄今,DEA方法在理論和應用方面均得到迅速發展.

傳統的DEA模型中,往往忽略決策單元的內部結構,將其視為“黑箱”[2,3].近年來,學者們開始試圖打開“黑箱”對系統的內部結構進行分解,在研究系統整體效率的基礎上,從多階段子系統的角度進行效率測算,具有代表性的研究有Zhu[4]研究全球500強企業績效時考慮到前后關聯的多重指標因素;Sexton等[5]對兩階段系統的結構特征進行了分解,并應用于棒球隊績效測算中;Chilingerian等[6]考慮到公共醫療服務績效測算時采用八個階段進行結構分析;楊俊等[7]研究中國環境治理時,考慮到三個階段的系統結構問題.以上具有代表性的多階段DEA模型與方法,均是通過不同權值構建系統整體效率與各子系統效率的關系.從子系統效率與整體效率的權值設定中,多階段效率測算DEA模型一般采用各個階段效率的乘法組合確定加性模型的整體效率,如Kao等[8]采用兩階段對應模型的乘積,而Chen等[9]、Wang等[10]采用兩階段效率的線性組合.以上提到的多階段DEA模型均來源于相同單目標規劃加性DEA模型,而產生不同的線性規劃模型形式的原因在于對于整體效率的組合方式不同.上述提及的多階段模型構建均是線性規劃模型形式,然而伴隨多階段模型復雜性的增加,需要從更多的視角構建系統實現的效率目標,因此多目標評價應運而生,具有代表性的有徐小峰等[11]根據項目資源進度利用多目標規劃對項目預警控制問題進行了模型構建;馬生昀等[12]利用多目標規劃給出了Parteo前沿面移動的排序問題,以上對于系統結構分解中均考慮了前一個階段的產出向量對應于后一個階段的投入向量的結構特征.

單目標規劃模型形式受限于細化系統結構的多重目標約束.為了突破單目標規劃模型的限制,本文將在Joro等[13]對多目標規劃研究的基礎上,創新性的提出一種多階段DEA模型,并證明該模型與其對偶模型之間的相互等價關系.該模型既可應用于CRS模型形式,又可應用于VRS模型形式.鑒于多目標線性規劃(multiple objective linear programming,MOLP)模型與DEA模型具有非常接近的模型形式且都能評價效率,因此,可將多階段DEA模型轉化為等價的MOLP形式,通過設定方向距離函數進行效率測量[14?18].故而本文提出的多階段DEA模型可等價為MOLP模型,并可通過設定適當的方向距離函數獲得求解.

2 多階段規模收益不變(CRS)DEA模型

2.1 兩階段DEA模型介紹

兩階段決策過程中,前一階段的產出對應于后一階段的投入,且兩個階段之間沒有向量損失,決策單元內部子系統之間的鏈接關系如圖1所示.

圖1 兩階段投入–產出過程Fig.1 Two stage DEA process

假設有n個決策單元(DMU),其中DMUj,j=1,2,...,n在第一階段有m個投入xi,j,i=1,2,...,m 和p個產出yd,j,d=1,2,...,p.這p個產出然后成為第二階段的獨立的投入,yd,j也被稱為中間測度.第二階段的產出是zr,j,r=1,2,...,s.令矩陣分別表示系統對應的投入測度、中間測度和產出測度.向量xj,yj,zj(X,Y,Z 的第j列)分別表示第j個決策單元對應的投入列向量,中間列向量和產出列向量.

對決策單元DMUj0,1≤j0≤n,第一階段效率用表示,第二階段效率用表示.為書寫方便,記x0=xj0,y0=yj0,z0=zj0.根據Charnes等[1]提出的CRS情形下的CCR模型,將各階段的效率定義為其中為非負權重列向量.為聯合測度,中間測度權重u1和u2被設定為相等.根據以上對各階段子系統的定義,決策單元DMU0整體效率(θ0)可通過各階段效率的組合進行測算.Kao等[8]定義整體效率為兩階段獨立效率的乘積,即并提出一種在CRS情形下的兩階段DEA乘數模型.Wang等[10]在Kao的模型框架下,對VRS情形進行拓展研究,該模型的第一階段的效率利用投入導向型的DEA效率模型計算,第二階段的效率利用產出導向型的DEA效率模型進行計算.Chen等[9]提出了一種加權平均效率組合方法,并在CRS和VRS兩個條件下分別提出了整體效率的計算模型.

2.2 標準組合DEA模型

Joro等[13]將DEA和MOLP兩方面的研究進行結合,提出一種組合DEA模型來度量決策單元的效率.傳統DEA模型的目標函數僅僅基于投入和產出其中的一種,而組合DEA模型將投入測度和產出測度同時包含在目標函數中.Joro等[13]提出的標準組合DEA模型為

模型(1)等價于線性規劃模型(2)

注意模型(2)的最優解范圍為[0,1],當最優解為最小值0時,表明該決策單元是有效的,意味著該決策單元的投入與產出指標均落在效率前沿面上.模型(2)的對偶規劃形式如下所示.

其中λ是構建“最佳”虛擬DMU的系數.模型(3)限定條件中的第一個和第二個不等式約束將在“最佳”虛擬DMU的投入產出測度的優化問題上設置上下邊界.利用Joro等[13]提出的參考方向方法,可將模型(3)轉化為生產過程中的MOLP模型.令T代表當前生產過程所有技術可行的投入–產出組合

那么MOLP模型的方向性距離函數可以表示為

其中g=(gx,gy)表示方向向量,它測度觀測的投入產出組合與效率前沿面的距離.當方向向量(gx,gy)=(x0,y0)時,模型(4)與模型(2)等價.

2.3 兩階段組合DEA:基礎模型

建立兩階段生產評價過程的DEA模型.根據標準組合DEA模型(1),定義DMU0各階段的效率值為

與Chen等[9]對兩階段模型的組合設定類似,定義兩階段的整體效率(θ0)為兩階段效率θ10與θ20的加權平均,那么兩階段組合DEA模型可以表示為

模型(5)中,ω1,ω2是計算整體效率時兩個階段對應的權重,滿足ω1+ω2=1,該權重表示兩個子系統對系統整體效率的相對重要性或貢獻率.利用子系統投入產出之和占總系統投入產出之和的比重作為子系統對應的權重比較客觀,且能全面地反映子系統指標的重要程度,因此,本文選擇子系統權重時,將其設定為

使用以上權重設定,兩階段的整體效率可以表示為

應用Charnes-Cooper變換[1],令vTx0+2uTy0+wTz0=1,模型(5)被轉換為線性規劃模型(6).

2.4 兩階段組合DEA:對偶模型

根據標準組合DEA模型的對偶模型(3),假設中間測度y0和?y0在兩階段間是相等的,兩階段子系統的對偶模型為

其中 1=(1,1,...,1)T∈Rn.

則以上兩個DEA對偶模型可以合并為模型(7)

模型(7)中,第二和第三個不等式約束可以推導出Y(λ1?λ2)≥2θy0,則模型(7)可以推廣為模型(8)

值得注意的是,模型(8)是模型(7)的必要但非充分模型,即凡是滿足模型(7),必定滿足模型(8).換句話說,模型(8)可以看成模型(7)的推廣.模型(8)可以用以下包絡形式解釋:假設有兩階段過程(如圖1),模型(6)找到了最優的“虛擬”兩階段決策單元,該“虛擬”單元對應的第一和第二階段過程是所有決策單元的第一和第二階段過程的線性組合.模型(8)中第一個不等式約束為“虛擬”決策單元第一階段的投入(x)設置了上限；第二個不等式約束為兩階段中間測度的轉移成本(y)設置了下限；第三個不等式約束為第二階段的輸出(z)設置下限.模型(8)本質上是基礎模型(6)的對偶模型,有下列結論.

定理1模型(8)是模型(6)對應的對偶規劃.

證明利用拉格朗日乘數法證明該定理.構造原始模型(6)的拉格朗日函數為

其中λ1,j,λ2,j是第一個和第二個不等式約束的非負乘數,θ是等式約束的乘數,η1,η2,η3是非負權重約束的非負向量乘數.

取L分別對u,v,w的偏導數

消去η1,η2,η3后,方程(10)可以轉化為如下方程

令 λ1=(λ1,1,λ1,2,...,λ1,n)T,λ2=(λ2,1,λ2,2,...,λ2,n)T.方程(11)轉化為

用方程(12)的向量表達形式替代方程(11)得

2.5 與多目標線性規劃模型的關系

與標準組合DEA模型相似,多階段DEA模型同樣可以利用參考方向函數,轉化為生產過程中的多階段MOLP模型.令T1,T2分別表示第一和第二階段技術可行的投入–產出組合

MOLP模型中的多階段方向性距離函數可以表示為

其中g=(gx,gy,gz)為測度向量,它測度觀測到的投入產出組合與效率前沿面的距離.當方向向量(gx,gy,gz)=(x0,y0,z0)時,模型(13)與模型(6)等價.

3 多階段規模收益可變(VRS)DEA模型

標準組合DEA模型(1)是基于規模報酬不變(CRS)的假設下構建的模型,下面將討論基于規模報酬可變(VRS)假設條件下的DEA模型.

3.1 VRS基本模型

模型(14)為VRS假設下擴展的標準組合DEA模型,其中引入自由變量α.

基于模型(14),VRS假設下的兩階段組合DEA模型可以表示為

與模型(5)的推導類似,設定假設下的兩階段的整體效率θ0可以表示為

則模型(15)可以等價轉化為模型(16).

3.2 VRS對偶模型

標準組合VRS模型(14)的對偶模型如下

與CRS假設下兩階段組合DEA模型的對偶模型(8)推導相似,VRS假設下兩階段組合DEA模型的對偶模型為

兩階段組合VRS模型的對偶模型(18)與兩階段組合CRS模型的對偶模型(8)的區別在于VRS模型的對偶模型規定了兩個額外的約束條件:1Tλ1=1和1Tλ2=1.與CRS模型相同之處在于,VRS模型中可以證明模型(18)是模型(16)的對偶模型.

定理2模型(18)是模型(16)的對偶規劃.

證明利用拉格朗日乘數法證明該定理.原始模型(16)的拉格朗日函數如下

其中λ1,j,λ2,j是第一個和第二個不等式約束的非負乘數,θ是等式約束的乘數,η1,η2,η3是非負權重約束的非負向量乘數.

取L分別對u,v,w,α1,α2的偏導數

消去η1,η2,η3后,上面的方程可以轉化為下列方程

令 λ1=(λ1,1,λ1,2...,λ1,n)T,λ2=(λ2,1,λ2,2,...,λ2,n)T,方程(21)轉化為

用方程(22)的向量表達形式替代方程(21)得

證畢.

VRS模型(18)同樣可以利用參考方向函數,轉化為生產過程中規模報酬可變的MOLP模型.

3.3 效率分解和前沿投影

前文已介紹并討論了兩階段組合DEA基本模型及其對偶模型與對應MOLP模型之間的關系.鑒于本文提出的兩種組合模型與對偶模型之間的等價關系,即模型(6)與其對偶模型(8),模型(16)與其對偶模型(18),兩種模型在整體效率測算結果上具有一致性,但兩者卻分別在CRS與VRS兩方面揭示了決策單元的效率狀況.基本模型(6)及模型(16)提供了一種將整體效率分解為兩個子系統效率的方法,而對偶模型(8)及模型(18)則為在第一階段或第二階段無效的決策單元確定出了該對應決策單元在效率前沿面上的投影.

3.3.1 效率分解

兩階段組合DEA基本模型提供了一種測算子系統效率值及各階段對應權重的方法.在獲得模型(5)的最優解后,便可以計算兩個階段對應的效率值及分別對應的權重.然而,模型(5)可能會出現多個最優解,因此,由模型(5)定義的整體效率分解可能不唯一.本文遵循文獻[8,10]的方法找到一組乘數,使得第一(或第二)階段對應的效率值最小,同時保持整體效率不變.如果將第一階段設置為優先階段,可以在保持模型(5)整體效率(θ0)不變的情況下使第一階段的效率值最小,如模型(5)所示

經過C-C變換,將模型(25)轉化為線性模型

此時,根據第一階段計算的結果,可以計算第二階段的效率值同樣,如果將第二階段設置為優先階段

可以計算第一階段效率值,與上述過程類似.此時,第一階段的效率為

根據以上對CRS條件下兩階段DEA模型進行效率分解的框架,推導VRS條件下的兩階段DEA模型分別在第一階段優先和第二階段優先兩種情況下的整體效率分解模型(25)和模型(26).一旦計算出優先階段的效率值,便可利用與CRS相同的計算公式計算另外一個階段的效率值.

3.3.2 前沿投影

解對偶規劃模型,如CRS條件下的模型(8)和VRS條件下的模型(18),可以獲得模型對應的組合系數(λ1,λ2).利用該系數,可以獲得決策單元的投入產出向量到效率前沿面的投影.對比現有決策單元的投入-產出指標與效率前沿面的投影,可以得知決策單元各個指標應該如何進行有效的改進從而達到最優.傳統的DEA模型中,將投影分為投入導向型或者產出導向型兩種,即進行前沿面投影時僅能改變一方面(投入或者產出)的指標數據.當DEA模型拓展為兩階段DEA模型時,決策單元投影到有效前沿面的指標已經轉變為(x,y)或(y,z).因此利用本文提出的標準組合DEA模型可以同時調整投入和產出指標,以確定決策單元在有效前沿面上的投影.該兩階段組合DEA模型可將第一階段的投入向量(X)和第二階段的產出向量(Z)投影到有效前沿面上:x0→Xλ1,z0→Zλ2.該投影過程可以為決策者們如何同時減少投入并增加產出提供改進信息,從而最終確定決策單元達到有效.

4 算例分析

以文獻[8–10]研究的24個臺灣非人壽保險公司的數據為樣本,應用組合兩階段DEA模型對其進行研究.兩個決策階段分別為溢價收購投入階段和利潤產生回收階段,第一階段的投入有操作費用和保險費用,第二階段的產出有承銷利潤和投資利潤.兩階段之間有兩個中間測度,即直接承保保費和再保險保費,原始數據參見表1,規模收益不變條件下的組合兩階段DEA基礎模型(8)的結果見表2.

表2中ω1和ω2兩列代表優化權重,列表示整體效率值,而兩列分別表示基于第一階段優先和基于第二階段優先的各階段分解效率值.可以觀察到對不同優先階段的決策單元,都存在數值相等情況,這說明本文建立的模型為整個數據集提供了一種獨特的效率分解.需要注意的是模型中的效率數值和意義相反,即值越小效率越高,值為0表明決策單元有效.

表2中最后3列表示效率排序,分別基于本文模型(8),Kao模型及Chen模型.可以看出本文模型結果和Chen等的計算結果相同.而提出的CRS模型和Kao等的CRS模型之間的斯皮爾曼相關系數為0.971.同時,本文也計算了提出CRS模型效率值的負值和Kao,Chen等CRS模型計算值的相關系數,分別為0.979和0.999,它們接近相關系數1,表明這三種規模收益不變的DEA模型產生的排序結果很相似.

表3列出了規模收益可變條件下的兩階段組合DEA模型(18)的結果.

與文獻[9,10]提出的規模收益可變模型進行比較.對所有的決策單元都相等.同前人提出的VRS模型一樣,本文VRS模型也確定了DMU5和DMU22有效.相對于文獻[9,10]中的斯皮爾曼相關系數分別為0.986和0.990,模型效率值負值和文獻[8，9]中的VRS模型值的Pearson相關系數都是0.988.這表明這三種規模收益可變的DEA模型產生的排序結果很相似.最后,通過提出的兩階段組合DEA模型的對偶模型,測算決策單元的投入產出測度在有效前沿面上的的投影.

表4是通過CRS對偶模型(8)和VRS對偶模型(18)測算的投入產出測度(x,z)在最優有效前沿面的投影(x′,z′).如果保持y0不變,用表4中投影的投入/產出測度替換模型(6)和模型(16)的x0和z0,每個投影決策單元的值都將為0,這表明投影的投入產出測度在效率前沿面上.在本文的VRS模型(18)中,DMU5和DMU22投影的投入產出測度與原始測度相同,表明VRS模型(16)下它們都有效.

表1 臺灣非人壽保險公司原始數據Table 1 Taiwan non-life insurance company raw data

表2 規模收益不變的結果Table 2 CRS result

表3 規模收益可變的結果Table 3 VRS result

表4 組合CRS/VRS模型的有效前沿面上投入/產出投影Table 4 CRS/VRS DEA frontier input/output projection.

5 結束語

在實際應用中,決策單元可能為多級結構,其中前一階段的產出是后一階段的投入.按照傳統DEA模型中要求每個獨立階段對應DEA效率最優的方法,無法解決多階段系統效率與整體效率均實現最優的矛盾.目前,已有研究提出的DEA模型是基于投入或者基于產出的模型.而本文提出的組合兩階段DEA模型,可以同時優化投入和產出向量.即對每個DMU,組合兩階段DEA模型同時從投入和產出的角度提供改進信息.

通過考查兩階段DEA模型,本文構建了計算整體效率的基礎模型和對偶模型,其中模型(6)及模型(16)將整體效率分解為各階段的效率,而對偶模型(8)及模型(18)將第一和第二階段的投入產出測度投影到有效前沿面.該模型擴展了Joro等[13]的多級DEA模型的研究,并將其適用于規模收益不變和規模收益可變的情形.通過構建方向距離函數,該兩階段DEA模型可利用多目標線性規劃的理論框架進行數學解釋.

在應用部分,分別基于規模收益不變(CRS)和規模收益可變(VRS)的假設,將本文模型計算出的整體效率和各階段的分解效率結果與文獻[8–10]的模型測算結果進行了比較.結果表明,本文得到的效率排序不僅與其他各模型相似,還能利用本文提出的規模收益不變和規模收益可變模型的對偶模型,進一步提供有效前沿面上投影點的投入和產出方面的改進測度.

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