關(guān)鍵詞拍賣(mài)中廣告位數(shù)的事前分析與優(yōu)化研究

常 瑞,趙 勇,胡二琴,饒從軍

(1.華中科技大學(xué)系統(tǒng)工程研究所,湖北武漢430074;2.華北水利水電大學(xué)電力學(xué)院,河南鄭州450045;3.武漢理工大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢430070)

1 引 言

拍賣(mài)理論是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中一個(gè)十分引人注目的分支[1?3],而關(guān)鍵詞拍賣(mài)已成為拍賣(mài)領(lǐng)域的重要組成部分.關(guān)鍵詞拍賣(mài),又稱(chēng)付費(fèi)搜索拍賣(mài)、位置拍賣(mài)等,是搜索引擎運(yùn)營(yíng)商出售搜索結(jié)果頁(yè)面上的廣告位所采用的一種方式.近十幾年來(lái),基于互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展起來(lái)的關(guān)鍵詞廣告給搜索引擎帶來(lái)了無(wú)限商機(jī),是搜索引擎運(yùn)營(yíng)商的主要收益來(lái)源[4].當(dāng)用戶(hù)在搜索引擎的搜索框內(nèi)輸入某一關(guān)鍵詞時(shí),搜索引擎生成一個(gè)結(jié)果頁(yè)面,該頁(yè)面由自然搜索結(jié)果區(qū)域和與該關(guān)鍵詞有關(guān)的廣告區(qū)域組成,并且廣告區(qū)域一般出現(xiàn)在自然搜索結(jié)果區(qū)域的上方或右側(cè).用戶(hù)點(diǎn)擊關(guān)鍵詞廣告鏈接即可進(jìn)入廣告商的產(chǎn)品頁(yè)面并有可能完成交易,為廣告商帶來(lái)收益.運(yùn)營(yíng)商以拍賣(mài)的方式出售這些廣告位,并根據(jù)拍賣(mài)機(jī)制為廣告商的廣告分配位置以及確定其支付費(fèi)用.

搜索結(jié)果頁(yè)面上展示的廣告數(shù)對(duì)運(yùn)營(yíng)商的收益有著很重要的影響.目前,主要的搜索引擎如Yahoo!和Google等均在搜索結(jié)果頁(yè)面上設(shè)置了有限個(gè)廣告位,甚至針對(duì)某些關(guān)鍵詞只設(shè)置一個(gè)廣告位[5].韓國(guó)最大的搜索引擎Naver從2010年開(kāi)始根據(jù)不同的關(guān)鍵詞事前設(shè)置不同的廣告位數(shù),并且將其值在拍賣(mài)前向廣告商發(fā)布.與傳統(tǒng)關(guān)鍵詞拍賣(mài)研究中將廣告位數(shù)視為固定值不同,文獻(xiàn)[6,7,14]將廣告位數(shù)視作內(nèi)生變量,研究了運(yùn)營(yíng)商收益與廣告位數(shù)間的關(guān)系.Kamijo等[6]基于GSP機(jī)制(廣義第二價(jià)格機(jī)制)研究發(fā)現(xiàn)限制搜索結(jié)果頁(yè)面上的廣告位數(shù)可提高運(yùn)營(yíng)商的收益.Kim等[7]基于GSP機(jī)制探討了最優(yōu)廣告位數(shù)的事前設(shè)定方法.

另外,一些學(xué)者通過(guò)實(shí)證研究發(fā)現(xiàn):1)搜索用戶(hù)會(huì)被結(jié)果頁(yè)面上的某些廣告吸引而不去點(diǎn)擊其他廣告,這就是說(shuō)運(yùn)營(yíng)商設(shè)置的廣告位數(shù)會(huì)影響廣告位的點(diǎn)擊率,即點(diǎn)擊率存在外部效應(yīng)[8];2)廣告位數(shù)也會(huì)影響廣告商的價(jià)值,即價(jià)值存在負(fù)外部效應(yīng)[9?11].關(guān)鍵詞拍賣(mài)中廣告商的價(jià)值是指單次點(diǎn)擊給廣告商帶來(lái)的平均價(jià)值,受售賣(mài)商品的單位利潤(rùn)和轉(zhuǎn)化率兩種因素的影響[4].其中,轉(zhuǎn)化率主要是由網(wǎng)站的設(shè)計(jì)質(zhì)量、支付的便利程度和產(chǎn)品的吸引力決定的.由于針對(duì)同一個(gè)關(guān)鍵詞的廣告商常常提供相似的產(chǎn)品[12,13],所以,一同展示的其他廣告會(huì)影響某廣告產(chǎn)品的吸引力,這就意味著廣告商的價(jià)值受廣告位數(shù)的影響.目前,Kim等[7]已將點(diǎn)擊率的外部效應(yīng)引入到關(guān)鍵詞拍賣(mài)模型中,并指出當(dāng)新增廣告位對(duì)原有廣告位的點(diǎn)擊率有蠶食作用時(shí),最優(yōu)廣告位數(shù)應(yīng)減少.Kanota等[14]也考慮了點(diǎn)擊率的外部效應(yīng),發(fā)現(xiàn)運(yùn)營(yíng)商可通過(guò)減少?gòu)V告位數(shù)增加收益.而對(duì)價(jià)值的負(fù)外部效應(yīng)的研究主要集中于考慮該效應(yīng)對(duì)廣告商競(jìng)價(jià)策略的影響,并未涉及最優(yōu)廣告位數(shù).

關(guān)于最優(yōu)廣告位數(shù)的主要研究[6,7,14]均基于GSP機(jī)制,該機(jī)制也是目前關(guān)鍵詞拍賣(mài)中應(yīng)用最廣泛的機(jī)制.但是,“講真話”不是GSP機(jī)制的占優(yōu)策略,這給廣告商帶來(lái)了額外的報(bào)價(jià)策略管理成本,造成社會(huì)福利的損失,也給拍賣(mài)系統(tǒng)帶來(lái)了不穩(wěn)定[15,16].因此,在Myerson單物品機(jī)制設(shè)計(jì)理論[17]的基礎(chǔ)上,很多研究者致力于尋找激勵(lì)廣告商真實(shí)報(bào)價(jià)的最優(yōu)關(guān)鍵詞拍賣(mài)機(jī)制.例如,文獻(xiàn)[18–20]研究了不同的條件和環(huán)境下最優(yōu)關(guān)鍵詞拍賣(mài)機(jī)制的特征,并與GSP和VCG等機(jī)制進(jìn)行了比較.但是這些研究均將廣告位數(shù)假設(shè)為外生變量.

綜上所述,目前關(guān)鍵詞拍賣(mài)中,機(jī)制設(shè)計(jì)理論主要應(yīng)用于設(shè)計(jì)最優(yōu)化運(yùn)營(yíng)商收益的真實(shí)機(jī)制,尚未用于最優(yōu)廣告位數(shù)的研究;而現(xiàn)有的關(guān)于最優(yōu)廣告位數(shù)的研究均基于GSP機(jī)制,廣告商不會(huì)按照其真實(shí)價(jià)值報(bào)價(jià).并且,主要考慮了點(diǎn)擊率的外部效應(yīng),尚未關(guān)注價(jià)值的負(fù)外部效應(yīng)對(duì)最優(yōu)廣告位數(shù)的影響.然而,考慮價(jià)值存在負(fù)外部效應(yīng)時(shí),廣告位數(shù)會(huì)影響廣告商的價(jià)值和報(bào)價(jià),進(jìn)而影響運(yùn)營(yíng)商的收益.因此,在最優(yōu)廣告位數(shù)的事前設(shè)置研究中引入價(jià)值的負(fù)外部效應(yīng)有很強(qiáng)的實(shí)際價(jià)值.鑒于此,本文將該效應(yīng)引入到關(guān)鍵詞拍賣(mài)模型中,在激勵(lì)廣告商真實(shí)報(bào)價(jià)前提下,以機(jī)制設(shè)計(jì)理論為基礎(chǔ)探討最優(yōu)廣告位數(shù)的事前設(shè)置策略.本文分別建立了廣告商價(jià)值獨(dú)立于廣告位數(shù)的基本模型和廣告商價(jià)值存在負(fù)外部效應(yīng)的擴(kuò)展模型;其次,以最大化運(yùn)營(yíng)商收益為目標(biāo),研究了這兩個(gè)模型中廣告位數(shù)的事前設(shè)定方法,分析了考慮價(jià)值的負(fù)外部效應(yīng)對(duì)最優(yōu)廣告位數(shù)的影響;最后通過(guò)數(shù)理證明和仿真考察了競(jìng)拍人數(shù)和點(diǎn)擊率對(duì)于最優(yōu)廣告位數(shù)和運(yùn)營(yíng)商收益的影響,以期為運(yùn)營(yíng)商如何提高收益提供借鑒.

2 基本假設(shè)和相關(guān)定義

首先給出如下基本假設(shè):

1)運(yùn)營(yíng)商在拍賣(mài)前公布廣告位的數(shù)量為K,N個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的廣告商競(jìng)爭(zhēng),其中1≤K≤N,且每個(gè)廣告商只能得到不超過(guò)一個(gè)廣告位.L={1,2,...,N}表示廣告商集合,S={1,2,...,K}表示廣告位集合;

2)關(guān)鍵詞拍賣(mài)采用按點(diǎn)擊支付(pay for per-click,PPC)模式,即運(yùn)營(yíng)商按照點(diǎn)擊次數(shù)向廣告商收取費(fèi)用,也就是說(shuō)只有當(dāng)搜索用戶(hù)點(diǎn)擊了廣告鏈接,廣告商才需要付費(fèi).這里,廣告商的價(jià)值表示用戶(hù)的每次點(diǎn)擊為廣告商i∈L帶來(lái)的收益,它與該廣告商的廣告所處的位置無(wú)關(guān);用bi表示該廣告商對(duì)每次點(diǎn)擊的報(bào)價(jià).假設(shè)廣告商價(jià)值為私人信息且獨(dú)立,并服從同一概率分布函數(shù)F,對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)為f;

3)搜索結(jié)果頁(yè)面上某一廣告的點(diǎn)擊率等于廣告被點(diǎn)擊次數(shù)與顯示次數(shù)之比.假設(shè)點(diǎn)擊率只與廣告所處位置有關(guān),與廣告商(廣告)無(wú)關(guān),且不受廣告位數(shù)的影響.用θk表示廣告位k∈S獲得的點(diǎn)擊率,并按點(diǎn)擊率的大小給廣告位編號(hào),使得θ1＞θ2＞···＞θK;

4)價(jià)值分布函數(shù)和點(diǎn)擊率為共同知識(shí).廣告商的價(jià)值和報(bào)價(jià)向量分別為v=(v1,v2,...,vN)和b=(b1,b2,...,bN).v?i=(v1,v2,...,vi?1,vi+1,...,vN)表示除了i之外其他廣告商的價(jià)值向量,f?i(v?i)表示v?i的聯(lián)合概率密度函數(shù).令T?i=[0,ˉv]×[0,ˉv]×···×[0,ˉv]?RN?1表示除了i之外其他廣告商價(jià)值集合的積.

一個(gè)關(guān)鍵詞拍賣(mài)機(jī)制(P,M)由分配規(guī)則P和支付規(guī)則M 組成.Pik(b)表示報(bào)價(jià)向量為b時(shí),廣告商i∈L得到第k∈S個(gè)廣告位的概率;Mik(b)表示報(bào)價(jià)向量為b時(shí),獲得第k個(gè)廣告位的廣告商i向運(yùn)營(yíng)商提供的單次點(diǎn)擊支付.用(v?i,bi)表示其他競(jìng)拍者真實(shí)披露自己的價(jià)值v?i,而廣告商i公布自己的報(bào)價(jià)為bi時(shí)的報(bào)價(jià)向量,此時(shí),廣告商i獲得的期望點(diǎn)擊率為

而廣告商i的期望支付為

當(dāng)所有廣告商真實(shí)報(bào)價(jià)時(shí),廣告商i的期望回報(bào)為

定義1若機(jī)制(P,M)滿足:

2)(激勵(lì)相容)在關(guān)鍵詞拍賣(mài)機(jī)制設(shè)計(jì)中,應(yīng)保證參與拍賣(mài)的廣告商i上報(bào)真實(shí)價(jià)值vi時(shí)的期望回報(bào)不小于謊報(bào)價(jià)值為bi時(shí)的期望收益,即viqi(vi)?mi(vi)≥viqi(bi)?mi(bi),i∈L;

3)(個(gè)體理性)在關(guān)鍵詞拍賣(mài)機(jī)制設(shè)計(jì)中,應(yīng)保證參與拍賣(mài)的廣告商i獲得非負(fù)的期望回報(bào),即ui(vi)≥0,i∈L,則該機(jī)制為可行機(jī)制.

定義1的條件1)中的第一個(gè)不等式表示一個(gè)廣告商得到廣告位的概率非負(fù);第二和第三個(gè)不等式意味著每個(gè)廣告商最多能得到一個(gè)廣告位以及每個(gè)廣告位最多能分配給一個(gè)廣告商.

根據(jù)定義1,得到一個(gè)可行機(jī)制應(yīng)滿足的具體條件.

定理1若一個(gè)關(guān)鍵詞拍賣(mài)機(jī)制(P,M)滿足下列條件:

1)mi(vi)= ?ui(0)+viqi(vi)?是t的非減函數(shù),i∈L,3)ui(0)≥0,i∈L,4)可行性約束,則該機(jī)制為可行機(jī)制.

證明過(guò)程與文獻(xiàn)[17]類(lèi)似,本文不再詳述.

3 關(guān)鍵詞拍賣(mài)模型

3.1 價(jià)值獨(dú)立于廣告位數(shù)的基本模型

該模型中,假設(shè)搜索結(jié)果頁(yè)面上展示的廣告數(shù)對(duì)廣告商的價(jià)值沒(méi)有影響.若運(yùn)營(yíng)商使用可行機(jī)制(P,M),那么廣告商的報(bào)價(jià)等于其價(jià)值,即?i∈L,均有bi=vi.并且,廣告商的支付滿足定理1中的條件1).所以,廣告商i的事先期望支付為

其中表示廣告商i的虛擬價(jià)值,如果?(vi)是vi的增函數(shù),稱(chēng)機(jī)制滿足正則性假設(shè).

運(yùn)營(yíng)商的事前期望收益為所有競(jìng)拍者的期望支付之和,可得

由式(1)有mi(0)=?ui(0),根據(jù)激勵(lì)相容條件應(yīng)有ui(0)≥0,則mi(0)≤0.而關(guān)鍵詞拍賣(mài)中廣告商的期望支付不可能為負(fù),于是mi(0)=0,因此ui(0)=0.

最優(yōu)機(jī)制設(shè)計(jì)中,運(yùn)營(yíng)商的目標(biāo)是找到使其收益最大的可行機(jī)制(P,M),即

定義排序函數(shù)π:N+→ N+,對(duì)價(jià)值向量v=(v1,v2,...,vN)降序排列,則廣告商i的價(jià)值在所有的廣告商中排在第π(i)位.(v(1),v(2),...,v(N))為排序后的價(jià)值向量,有v(1)≥ v(2)≥ ···≥ v(N),其中 v(π(i))=vi.對(duì)應(yīng)的虛擬價(jià)值為 (?(v(1)),?(v(2)),...,?(v(N))),如果機(jī)制滿足正則性,則 ?(v(1))≥?(v(2))≥···≥?(v(N)).由式(2)可看出,虛擬價(jià)值越大的廣告商,分配到點(diǎn)擊率越高的位置時(shí),運(yùn)營(yíng)商的收益越高.因此,當(dāng)機(jī)制滿足正則性假設(shè)時(shí),最優(yōu)化運(yùn)營(yíng)商收益的分配規(guī)則為:將廣告商的價(jià)值按降序排列,價(jià)值排在第π(i)位的廣告商i,若π(i)≤K,獲得第π(i)個(gè)廣告位;否則,得不到廣告位.具體表示為

該分配規(guī)則與VCG機(jī)制的分配規(guī)則相同.根據(jù)收益等價(jià)原理[1],具有相同分配規(guī)則的任意兩種激勵(lì)相容機(jī)制的期望支付只相差一個(gè)常數(shù)mi(0).因本文中mi(0)=0,所以,競(jìng)拍者在(P,M)機(jī)制和VCG機(jī)制中的期望支付相同.在VCG機(jī)制下,廣告商真實(shí)報(bào)價(jià),其支付等于他對(duì)其他廣告商造成的效率損失.因此,對(duì)于價(jià)值排在第π(i)位的競(jìng)拍者i,若π(i)≤K,其期望支付為

否則,支付為0.所以,機(jī)制(P,M)的支付規(guī)則滿足

在分配規(guī)則(3)下,運(yùn)營(yíng)商的事前期望收益為

其中分別表示當(dāng)樣本容量為N時(shí),第k高價(jià)值及其對(duì)應(yīng)的虛擬價(jià)值.

為了便于表達(dá),令則

顯然,點(diǎn)擊率固定的前提下,當(dāng)參與拍賣(mài)的人數(shù)確定之后,式(5)中運(yùn)營(yíng)商的收益受到廣告位數(shù)的影響.當(dāng)運(yùn)營(yíng)商需事前設(shè)定廣告位數(shù)時(shí),其面臨的決策問(wèn)題表示為

式(6)是基于廣告商的價(jià)值獨(dú)立于廣告位數(shù)的假設(shè)得到的,稱(chēng)之為基本模型.

3.2 價(jià)值存在負(fù)外部效應(yīng)的擴(kuò)展模型

由于針對(duì)同一關(guān)鍵詞的廣告商常常代表一個(gè)行業(yè),因此搜索結(jié)果頁(yè)面上一起展示的廣告產(chǎn)品往往具有相似性和可替代性.即使一個(gè)用戶(hù)在決定購(gòu)買(mǎi)物品前會(huì)點(diǎn)擊頁(yè)面上所有的廣告,即廣告位數(shù)不影響點(diǎn)擊率,產(chǎn)品的可替代性仍可能導(dǎo)致用戶(hù)在其他廣告中完成交易.也就是說(shuō)結(jié)果頁(yè)面上的廣告數(shù)越多,某廣告位對(duì)應(yīng)產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率越低,這就意味著廣告商的單次點(diǎn)擊價(jià)值越低.所以,廣告位數(shù)會(huì)影響廣告商的價(jià)值,即價(jià)值存在負(fù)外部效應(yīng)[9,10].

引入一個(gè)定義域?yàn)閇1,N],值域?yàn)?0,1]且二階可導(dǎo)的函數(shù)g(x)來(lái)刻畫(huà)價(jià)值的負(fù)外部效應(yīng),并且該函數(shù)還具有下列性質(zhì)g(1)=1,g′(x)＜0,g′′(x)≤0.顯然,g(x)為凹函數(shù),稱(chēng)g(x)為負(fù)效應(yīng)函數(shù).

本文假設(shè)點(diǎn)擊率不受廣告位數(shù)的影響,以及針對(duì)同一個(gè)關(guān)鍵詞競(jìng)價(jià)的所有廣告商的負(fù)效應(yīng)函數(shù)相同且為共同知識(shí).考慮價(jià)值的負(fù)外部效應(yīng),當(dāng)運(yùn)營(yíng)商事前宣布設(shè)置的廣告位數(shù)為K時(shí),廣告商i的價(jià)值為vig(K).所以,根據(jù)負(fù)效應(yīng)函數(shù)的性質(zhì),可知廣告商的價(jià)值隨廣告位數(shù)的增加而減小且減小速度變快.假設(shè)運(yùn)營(yíng)商采用的可行機(jī)制為其中表示分配規(guī)則,表示支付規(guī)則.用來(lái)表示競(jìng)拍者i獲得的期望點(diǎn)擊率,而表示其期望支付.競(jìng)拍者i的期望回報(bào)為

通過(guò)與基本模型相似的推導(dǎo)過(guò)程,可以得到運(yùn)營(yíng)商的事前期望收益

因此,在機(jī)制正則的情況下,最優(yōu)化運(yùn)營(yíng)商收益的分配方式與基本模型相同,仍然是將價(jià)值按照降序排列,價(jià)值排在前K位的廣告商依次獲得第1到第K個(gè)廣告位.

該機(jī)制下,獲得第k個(gè)廣告位的廣告商i向運(yùn)營(yíng)商提供的單次點(diǎn)擊支付可表示如下

運(yùn)營(yíng)商事前決定供應(yīng)的廣告位數(shù),其決策模型為

決策問(wèn)題(9)表明將廣告商價(jià)值的負(fù)外部效應(yīng)引入到基本模型中,即為擴(kuò)展模型.

4 廣告位數(shù)事前優(yōu)化分析

根據(jù)建立的基本模型和擴(kuò)展模型,討論最優(yōu)廣告位數(shù)的確定方法,比較分析價(jià)值的負(fù)外部效應(yīng)對(duì)最優(yōu)廣告位數(shù)的影響,并考察點(diǎn)擊率對(duì)最優(yōu)廣告位數(shù)和運(yùn)營(yíng)商收益的影響.

4.1 基本模型中廣告位數(shù)優(yōu)化研究

根據(jù)式(6),基本模型中最優(yōu)廣告位數(shù)為定義邊際收益為廣告位數(shù)從K?1增加到K時(shí)運(yùn)營(yíng)商的收益增量,則其中K ∈L.

引理1[6]在正則性假設(shè)下是j的減函數(shù),其中j∈L.

命題1在正則性假設(shè)下,邊際收益遞減.

證明由引理1有又因θK＞θK+1,所以即邊際收益是廣告位數(shù)的單調(diào)減函數(shù).證畢.

邊際收益隨著廣告位數(shù)單調(diào)遞減時(shí),運(yùn)營(yíng)商可通過(guò)增加廣告位數(shù)至邊際收益為零時(shí)獲得最大收益.因此,可得到如下結(jié)論.

定理2基本模型中,最優(yōu)廣告位數(shù)值唯一.競(jìng)拍人數(shù)為N時(shí),若則最優(yōu)廣告位數(shù)L?=N;否則,最優(yōu)廣告位數(shù)表示的整數(shù)部分,其中ˉL滿足

證明由命題1,邊際收益單調(diào)遞減,則存在唯一的最優(yōu)廣告位值.若表示當(dāng)廣告位數(shù)從N?1增加到N時(shí),邊際收益則最優(yōu)廣告位數(shù)L?=N.如果而所以由引理1有＜0.那么,＜0.這就意味著當(dāng)廣告位數(shù)從L??1增加到L?時(shí),運(yùn)營(yíng)商收益非減;當(dāng)廣告位數(shù)從L?增加到L?+1,運(yùn)營(yíng)商收益減少.因此,當(dāng)廣告位數(shù)為L(zhǎng)?時(shí),運(yùn)營(yíng)商收益最大. 證畢.

下面進(jìn)一步分析競(jìng)拍者人數(shù)對(duì)運(yùn)營(yíng)商收益的影響.假設(shè)廣告商人數(shù)為W 和M,并且M ＞W(wǎng),對(duì)應(yīng)的最優(yōu)廣告數(shù)分別為運(yùn)營(yíng)商的收益分別為

命題2運(yùn)營(yíng)商的收益是競(jìng)拍人數(shù)的增函數(shù).

證明首先,證明

當(dāng)時(shí),根據(jù)定理2有因M ＞ W,由文獻(xiàn)[6]可知是N 的增函數(shù),所以有故由引理1有

當(dāng)時(shí),有則因此,即所以

當(dāng)時(shí),顯然有證畢.

根據(jù)式(6),是N的增函數(shù),故由定理2可知,當(dāng)所以即參加拍賣(mài)的人數(shù)越多,運(yùn)營(yíng)商的收益越大.

競(jìng)拍人數(shù)的增加使得供應(yīng)商提供的廣告位數(shù)增加,顧客點(diǎn)擊新的廣告也會(huì)為運(yùn)營(yíng)商帶來(lái)利潤(rùn).同時(shí),也會(huì)加劇廣告商間的競(jìng)爭(zhēng),激勵(lì)廣告商提高報(bào)價(jià),因此運(yùn)營(yíng)商在原有廣告位上的收益會(huì)增大.所以,樣本容量的增大會(huì)提高運(yùn)營(yíng)商的收益.命題2意味著運(yùn)營(yíng)商可通過(guò)招募更多的廣告商參加拍賣(mài)來(lái)增加收入,這與直覺(jué)上的判斷是一致的.

4.2 擴(kuò)展模型中廣告位數(shù)優(yōu)化研究

根據(jù)式(9),最優(yōu)廣告位數(shù)為

廣告位數(shù)從K?1增加到K時(shí),擴(kuò)展模型中運(yùn)營(yíng)商的收益增量即邊際收益ΔK滿足

運(yùn)營(yíng)商提供的廣告位數(shù)從K?1增加到K時(shí),原K?1個(gè)位置上的廣告商因價(jià)值受到新增廣告位的影響會(huì)降低報(bào)價(jià),從而導(dǎo)致運(yùn)營(yíng)商在這些廣告位上的收益下降.若新增的第K個(gè)廣告位上廣告商的虛擬價(jià)值大于零,則運(yùn)營(yíng)商的收益增加,否則將會(huì)降低.

命題3擴(kuò)展模型中最優(yōu)廣告位數(shù)不超過(guò)基本模型中的值,即K?≤L?.

證明當(dāng)L?=N 時(shí),顯然有K?≤L?;當(dāng)L?＜N 時(shí),根據(jù)定理2,有

所以,可得

這就意味著,當(dāng)事前設(shè)置的廣告位數(shù)K＞L?時(shí),擴(kuò)展模型中運(yùn)營(yíng)商收益是K的減函數(shù).因此,最優(yōu)廣告位數(shù)K?≤L?. 證畢.

在擴(kuò)展模型中,若K＞L?,當(dāng)廣告位數(shù)從K?1增加到K時(shí),除了運(yùn)營(yíng)商在原來(lái)廣告位上的收益減少,新增廣告位上廣告商的期望虛擬價(jià)值小于零也對(duì)運(yùn)營(yíng)商的收益產(chǎn)生了負(fù)影響,故運(yùn)營(yíng)商的收益降低.因此,與基本模型相比,考慮價(jià)值的負(fù)外部效應(yīng)后運(yùn)營(yíng)商應(yīng)提供更少的廣告位.所以,在實(shí)際中,將該效應(yīng)引入拍賣(mài)模型對(duì)于運(yùn)營(yíng)商設(shè)置更合理的廣告位數(shù)是至關(guān)重要的.該結(jié)論與文獻(xiàn)[7]中的結(jié)論相似.因此,不論考慮價(jià)值或點(diǎn)擊率的負(fù)外部效應(yīng),運(yùn)營(yíng)商均應(yīng)設(shè)置更少的廣告位.本文與文獻(xiàn)[7]的結(jié)論可為運(yùn)營(yíng)商設(shè)置合理的廣告位數(shù)提供理論指導(dǎo).

在命題3的基礎(chǔ)上,考察邊際收益ΔK的單調(diào)性,易得到如下結(jié)論.

命題4負(fù)效應(yīng)函數(shù)為凹函數(shù)時(shí),邊際收益ΔK單調(diào)遞減,其中K∈{1,2,...,L?}.

證明由式(11)有

根據(jù)g′(x)＜ 0以及g′′(x)≤ 0,其中x ∈ [1,N],而K ≤ L?≤ N,因此

并且由定理2可知,當(dāng)K ∈{1,2,...,L?}時(shí),有所以式(12)中等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)和第二項(xiàng)均小于等于零.因 g(K+1)＜ g(K),有因此,有ΔK+1?ΔK＜0. 證畢.

根據(jù)命題4,擴(kuò)展模型中邊際收益單調(diào)遞減.因此當(dāng)邊際收益為零時(shí),運(yùn)營(yíng)商收益最大,據(jù)此可確定最優(yōu)廣告位數(shù).

定理3擴(kuò)展模型中,最優(yōu)廣告位數(shù)值唯一.對(duì)于?K ∈{1,2,...,L?},若ΔK≥0,ΔK+1＜0,則最優(yōu)廣告位數(shù)K?=K.

證明由命題4可知,擴(kuò)展模型中,邊際收益單調(diào)遞減,所以存在唯一的最優(yōu)廣告位數(shù)值.ΔK≥0,ΔK+1＜0,表示將廣告位數(shù)從K?1增加到K時(shí)運(yùn)營(yíng)商收益增加,但是從K增加到K+1時(shí),運(yùn)營(yíng)商收益降低,因此最優(yōu)廣告位數(shù)為K?=K. 證畢.

推論1如果g(2)≤1,最優(yōu)廣告位數(shù)K?=1.

證明由引理1和式(11)有

即Δ2＜0.這意味著廣告位數(shù)由1增加到2時(shí)運(yùn)營(yíng)商收益減少,所以K?=1. 證畢.

從推論1可以看出,當(dāng)?shù)?個(gè)廣告位與第,或廣告商價(jià)值受廣告位數(shù)的影響較嚴(yán)重時(shí),新增加的第2個(gè)廣告位給運(yùn)營(yíng)商帶來(lái)的收益將不足以補(bǔ)償?shù)?個(gè)廣告位上的廣告商因價(jià)值的負(fù)外部效應(yīng)而降低報(bào)價(jià)所導(dǎo)致的收益損失.此種情況下,運(yùn)營(yíng)商應(yīng)只設(shè)置1個(gè)廣告位.

實(shí)際中,搜索引擎如Yahoo!,Google,Bing等結(jié)果頁(yè)面上的廣告數(shù)一般為個(gè)位數(shù),并且針對(duì)某一些關(guān)鍵詞僅設(shè)置一個(gè)廣告位.這里,除太多廣告會(huì)影響客戶(hù)的體驗(yàn)之外,本文也從另一個(gè)角度解釋了該現(xiàn)象.

4.3 點(diǎn)擊率與最優(yōu)廣告位數(shù)和運(yùn)營(yíng)商收益的關(guān)系分析

基本模型中,運(yùn)營(yíng)商的收益是點(diǎn)擊率的增函數(shù),且由定理2易知,最優(yōu)廣告位數(shù)不受點(diǎn)擊率的影響.但是,在擴(kuò)展模型中,由定理3和式(11)可知,點(diǎn)擊率影響最優(yōu)廣告位數(shù)的值.實(shí)際中,搜索引擎會(huì)重點(diǎn)突出某些廣告位,文獻(xiàn)[6]針對(duì)該策略提出了一個(gè)簡(jiǎn)化形式,稱(chēng)之為廣告位k–加強(qiáng)(k–accentuation)策略.該策略中,點(diǎn)擊率改變的方式為:保持其他廣告位的點(diǎn)擊率不變,?k=1,2,...,K?,增大第k個(gè)廣告位的點(diǎn)擊率至θk+η＜θk?1.假設(shè)點(diǎn)擊率改變前擴(kuò)展模型的最優(yōu)廣告位數(shù)和運(yùn)營(yíng)商的最大期望收益分別表示為K?和R.而基于k–加強(qiáng)策略改變點(diǎn)擊率時(shí),假設(shè)邊際收益用表示,其中K=1,2,...,K?,對(duì)應(yīng)的最優(yōu)廣告位數(shù)和最大期望收益分別為和Rk.下面分析該策略對(duì)最優(yōu)廣告位數(shù)和運(yùn)營(yíng)商收益的影響.

命題5擴(kuò)展模型中,對(duì)于?k=1,2,...,K?,基于k–加強(qiáng)策略改變點(diǎn)擊率時(shí),

1)當(dāng)k∈{1,2,...,K??1}時(shí),第k個(gè)廣告位上點(diǎn)擊率的增加使得最優(yōu)廣告位數(shù)非增,有K?;第K?個(gè)廣告位上點(diǎn)擊率的增加不影響最優(yōu)廣告位數(shù),即

2)k值越小,k–加強(qiáng)策略對(duì)應(yīng)的最優(yōu)廣告位數(shù)越少,有

3)運(yùn)營(yíng)商的收益增加,且有R1＞R2＞···＞RK?＞R,即運(yùn)營(yíng)商在廣告位1–加強(qiáng)策略下的收益最大.

證明當(dāng)點(diǎn)擊率的變化遵循k–加強(qiáng)策略時(shí),易證明邊際收益ΔkK遞減,因此仍可用定理3來(lái)判斷最優(yōu)廣告位數(shù).

1)根據(jù)式(11),對(duì)于?k=1,2,...,K??1,有以及由定理3有所以

＜ 0表示ΔK?是點(diǎn)擊率 θk的減函數(shù).因此有可能存在η,當(dāng) θk增至 θk+η＜ θk?1時(shí),使得這就說(shuō)明在k?加強(qiáng)策略下,最優(yōu)廣告位數(shù)可能減少,即根據(jù)式(11)邊際收益為

式(13)中第一個(gè)不等號(hào)成立的原因?yàn)?當(dāng)k＜K?時(shí)因此第二個(gè)不等號(hào)成立的原因?yàn)?根據(jù)命題4,當(dāng)k＜K?時(shí),廣告位k上的邊際收益Δk＞ΔK?≥0.而意味著k–加強(qiáng)策略下最優(yōu)廣告位數(shù)所以,對(duì)于?k=1,2,...,K??1,有

此外,ΔK?隨著點(diǎn)擊率θK?的增大而增加,而ΔK?+1卻是θK?的減函數(shù),因此當(dāng)?shù)贙?個(gè)廣告位的點(diǎn)擊率增加時(shí),仍然有ΔK?≥0,ΔK?+1＜0.所以,最優(yōu)廣告位數(shù)不變,即

2)點(diǎn)擊率變化采用k–加強(qiáng)策略時(shí),對(duì)應(yīng)的最優(yōu)廣告位數(shù)為此時(shí)有以及對(duì)于?k=2,3,...,K?,當(dāng)點(diǎn)擊率變化遵循(k?1)–加強(qiáng)策略時(shí),根據(jù)式(11)有

這就意味著所以

式(15)和式(16)表明,在廣告位(k?1)–加強(qiáng)策略下,當(dāng)廣告位數(shù)從增加到時(shí),運(yùn)營(yíng)商的收益可能會(huì)降低;當(dāng)廣告位數(shù)從增加到時(shí),運(yùn)營(yíng)商的收益肯定減少.因此(k?1)–加強(qiáng)策略對(duì)應(yīng)的最優(yōu)廣告位數(shù)這就說(shuō)明對(duì)原點(diǎn)擊率越高的廣告位采取廣告位加強(qiáng)策略時(shí),最優(yōu)廣告位數(shù)受到的影響越大,即最優(yōu)廣告位數(shù)減少的越多.

3)在廣告位k–加強(qiáng)策略下,其中k∈{1,2,...,K??1},運(yùn)營(yíng)商在設(shè)定廣告位數(shù)為最優(yōu)值時(shí),可獲得最大收益Rk,因此有

在廣告位K?–加強(qiáng)策略下,運(yùn)營(yíng)商的最大收益為RK?,有

根據(jù)式(17)和式(18),有R1＞R2＞···＞RK?＞R. 證畢.

擴(kuò)展模型中,k–加強(qiáng)策略主要從三個(gè)方面影響運(yùn)營(yíng)商的收益:首先,廣告位數(shù)的減少會(huì)導(dǎo)致運(yùn)營(yíng)商的收益損失;其次,廣告位數(shù)的減少使價(jià)值存在負(fù)外部效應(yīng)的廣告商提高報(bào)價(jià),運(yùn)營(yíng)商收益增加;此外,運(yùn)營(yíng)商的收益也因第k個(gè)廣告位點(diǎn)擊率的增加而提高,并且提高程度與k有關(guān).因k值越小,對(duì)應(yīng)廣告位上的點(diǎn)擊率和廣告商的報(bào)價(jià)越高.所以,在點(diǎn)擊率增量相同的情況下,對(duì)原點(diǎn)擊率較高的廣告位實(shí)施加強(qiáng)策略帶來(lái)的收益增量足以平衡因失去更多廣告位而導(dǎo)致的收益損失.因此,按照k–加強(qiáng)策略改變點(diǎn)擊率時(shí),k值越小,運(yùn)營(yíng)商應(yīng)提供越少的廣告位,卻可獲得更大的收益.該結(jié)論可為實(shí)際中運(yùn)營(yíng)商重點(diǎn)突出某些廣告位的策略提供決策支持.另外,廣告位1–加強(qiáng)策略下運(yùn)營(yíng)商有可能僅提供一個(gè)廣告位,這與推論1的結(jié)論一致.

5 計(jì)算與仿真研究

擴(kuò)展模型中,競(jìng)拍人數(shù)也會(huì)影響最優(yōu)廣告位數(shù)以及運(yùn)營(yíng)商的收益.具體地,假設(shè)廣告商人數(shù)為W和M,并且M＞W(wǎng)時(shí),對(duì)應(yīng)最優(yōu)廣告數(shù)分別為K?W和K?M,運(yùn)營(yíng)商的收益分別為RW和RM.首先假設(shè)有

根據(jù)定理3,當(dāng)所以式(19)中第二項(xiàng)非負(fù);故式(19)中第一項(xiàng)正負(fù)未知.因此,無(wú)法判斷RW和RM的大小.同理,也可證明當(dāng)時(shí),仍無(wú)法確定RW和RM的大小關(guān)系.所以,擴(kuò)展模型中,競(jìng)拍人數(shù)對(duì)于運(yùn)營(yíng)商收益的影響規(guī)律難以嚴(yán)格確定,下面擬借助仿真方法進(jìn)行探討.另外,擴(kuò)展模型中最優(yōu)廣告位數(shù)不但與競(jìng)拍者人數(shù)有關(guān),還與負(fù)效應(yīng)函數(shù)有關(guān).因此,本文將在負(fù)效應(yīng)函數(shù)中引入一指標(biāo)來(lái)表征廣告位數(shù)對(duì)廣告商價(jià)值的影響程度,在仿真中通過(guò)改變?cè)撓禂?shù)來(lái)分析價(jià)值的負(fù)外部效應(yīng)與最優(yōu)廣告位數(shù)和運(yùn)營(yíng)商收益的關(guān)系.

具體仿真參數(shù)設(shè)置如下:

1)設(shè)負(fù)效應(yīng)函數(shù)g(x,δ)=1?((x?1)/N)1/δ,其中x ∈ [1,N].易知,對(duì)?δ∈ (0,1],有g(shù)(1,δ)=1,滿足3.2節(jié)中對(duì)負(fù)效應(yīng)函數(shù)的要求.另外,即當(dāng) δ→ 0時(shí),廣告商的價(jià)值不受廣告位數(shù)的影響;并且,當(dāng)δ∈(0,1]時(shí),有這意味著廣告位數(shù)固定時(shí),δ越大,廣告商的價(jià)值受到廣告位數(shù)的影響越大.所以參數(shù)δ可來(lái)用表示廣告位數(shù)對(duì)廣告商價(jià)值的影響程度,稱(chēng)之為負(fù)效應(yīng)系數(shù).在仿真中,通過(guò)在區(qū)間(0,1]改變系數(shù)δ,考察其對(duì)最優(yōu)廣告位數(shù)和運(yùn)營(yíng)商收益的影響規(guī)律;

2)根據(jù)文獻(xiàn)[21],2002年～2003年Overture的數(shù)據(jù)表明,參與某一個(gè)流行關(guān)鍵詞的競(jìng)價(jià)人數(shù)一般都大于等于10.隨著近年來(lái)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的發(fā)展,目前對(duì)高附加值關(guān)鍵詞競(jìng)價(jià)的廣告商人數(shù)肯定會(huì)大大增加.為了使仿真更具說(shuō)服力,本文將參與某一關(guān)鍵詞競(jìng)價(jià)的廣告商人數(shù)上限設(shè)置為153,并假設(shè)至少有3人參與競(jìng)價(jià);

3)最優(yōu)廣告位數(shù)和運(yùn)營(yíng)商的收益均與價(jià)值分布函數(shù)有關(guān),故在仿真中選取電子商務(wù)中常用的三種價(jià)值分布函數(shù).在這些分布函數(shù)下,分別考察競(jìng)拍者人數(shù)和負(fù)效應(yīng)系數(shù)對(duì)運(yùn)營(yíng)商收益和最優(yōu)廣告位數(shù)的影響規(guī)律.根據(jù)文獻(xiàn)[7],假設(shè)廣告商價(jià)值服從:[0,10]上的均勻分布;[0,∞)上參數(shù)為1的指數(shù)分布;[1,∞)上的Pareto分布,概率分布函數(shù)為F(v)=1?v?2.顯然,這三種分布下,虛擬價(jià)值均為價(jià)值的增函數(shù),即滿足本文要求的正則條件;

4)Feng等[18]通過(guò)對(duì)2003年Overture前五位廣告位的實(shí)際點(diǎn)擊數(shù)據(jù)分析得出,實(shí)際廣告位的點(diǎn)擊率可用等比數(shù)列Θ={0.70,0.71,0.72,...,0.7k?1,...,0.7K?1}來(lái)模擬.

點(diǎn)擊率保持固定的前提下,擴(kuò)展模型中最優(yōu)廣告位數(shù)和運(yùn)營(yíng)商的收益主要受負(fù)效應(yīng)系數(shù)和廣告商人數(shù)等兩個(gè)因素的影響.這里,仿真考慮兩種情況:負(fù)效應(yīng)系數(shù)固定,競(jìng)拍人數(shù)變化;競(jìng)拍人數(shù)固定,負(fù)效應(yīng)系數(shù)變化.下面,在三種價(jià)值分布下,分別探討這兩種情況中最優(yōu)廣告位數(shù)和運(yùn)營(yíng)商收益的變化規(guī)律.

1)固定負(fù)效應(yīng)系數(shù)δ=0.5.廣告商人數(shù)以增量2從3增加到153時(shí),三種價(jià)值分布下最優(yōu)廣告位數(shù)和運(yùn)營(yíng)商收益隨競(jìng)拍人數(shù)變化的關(guān)系曲線如圖1和圖2所示.可以看出,三種價(jià)值分布下,最優(yōu)廣告位數(shù)和運(yùn)營(yíng)商的收益都是競(jìng)拍人數(shù)的增函數(shù).

增加競(jìng)拍者人數(shù),意味著廣告商對(duì)于廣告位的競(jìng)爭(zhēng)加劇而提高報(bào)價(jià),運(yùn)營(yíng)商的收益增加;因廣告商價(jià)值存在負(fù)外部效應(yīng),增加廣告位又會(huì)導(dǎo)致其報(bào)價(jià)降低,故運(yùn)營(yíng)商收益減少.但是,當(dāng)競(jìng)拍者人數(shù)逐漸增加到某一值時(shí),人數(shù)的增加對(duì)收益的正影響可以抵消廣告位的增加對(duì)收益的負(fù)效應(yīng),此時(shí)運(yùn)營(yíng)商可通過(guò)增加廣告位獲得更高的收益.所以,競(jìng)拍人數(shù)在一定范圍內(nèi)增加時(shí),最優(yōu)廣告位數(shù)保持不變;但是當(dāng)廣告商人數(shù)超過(guò)某一個(gè)值后,最優(yōu)廣告位數(shù)將增加.因此競(jìng)拍者人數(shù)變化時(shí),最優(yōu)廣告位數(shù)的變化曲線為多階梯形,如圖1所示.

圖1 競(jìng)拍者人數(shù)與最優(yōu)廣告位數(shù)的關(guān)系Fig.1 The relationship between the number of bidders and the optimal number of advertising slots

圖2 競(jìng)拍者人數(shù)與運(yùn)營(yíng)商收益的關(guān)系Fig.2 The relationship between the number of bidders and the operator revenue

增加廣告商人數(shù)至最優(yōu)廣告位數(shù)改變之前,廣告位數(shù)對(duì)廣告商價(jià)值的影響不變,但是增加競(jìng)拍人數(shù)使得廣告商的報(bào)價(jià)提高,因此運(yùn)營(yíng)商的收益逐漸增加.當(dāng)競(jìng)拍者人數(shù)超過(guò)某一個(gè)值時(shí),最優(yōu)廣告位數(shù)增加,新增的廣告位給運(yùn)營(yíng)商帶來(lái)了利潤(rùn),此時(shí)競(jìng)拍人數(shù)和廣告位的增加對(duì)收益的正效應(yīng)大于增加廣告位對(duì)收益的負(fù)影響,運(yùn)營(yíng)商的收益也會(huì)增加.所以,運(yùn)營(yíng)商收益是競(jìng)拍人數(shù)的增函數(shù),如圖2所示.這意味著運(yùn)營(yíng)商可通過(guò)吸引更多的廣告商參與拍賣(mài)來(lái)獲得更高的利潤(rùn).

2)固定競(jìng)拍人數(shù)N=50.負(fù)效應(yīng)系數(shù)在區(qū)間(0,1]以增量0.05變化時(shí),三種價(jià)值分布下最優(yōu)廣告位數(shù)和運(yùn)營(yíng)商收益與負(fù)效應(yīng)系數(shù)的關(guān)系如圖3和圖4所示.由圖可知,最優(yōu)廣告位數(shù)和運(yùn)營(yíng)商的利潤(rùn)均是負(fù)效應(yīng)系數(shù)的減函數(shù).

圖3 負(fù)效應(yīng)系數(shù)與最優(yōu)廣告位數(shù)的關(guān)系Fig.3 The relationship between the negative effect coefficients and the optimal number of advertising slots

圖4 負(fù)效應(yīng)系數(shù)與運(yùn)營(yíng)商收益的關(guān)系Fig.4 The relationship between the negative effect coefficients and the operator revenue

當(dāng)負(fù)效應(yīng)系數(shù)增加時(shí),廣告商價(jià)值受到的影響變大,報(bào)價(jià)降低,導(dǎo)致運(yùn)營(yíng)商收益降低,但是此時(shí)保持原來(lái)的廣告位數(shù)仍然可以使運(yùn)營(yíng)商收益最優(yōu).當(dāng)負(fù)效應(yīng)系數(shù)超過(guò)到某一個(gè)值時(shí),運(yùn)營(yíng)商可通過(guò)減少?gòu)V告位數(shù)來(lái)弱化價(jià)值的負(fù)外部效應(yīng)對(duì)其收益的影響.因此,在一定范圍內(nèi)增加負(fù)效應(yīng)系數(shù)時(shí),廣告位數(shù)會(huì)保持不變;但是當(dāng)該系數(shù)超過(guò)某一值時(shí),廣告位數(shù)會(huì)減少,如圖3所示.

增加負(fù)效應(yīng)系數(shù)時(shí),在最優(yōu)廣告位數(shù)變化前,因廣告商報(bào)價(jià)降低導(dǎo)致運(yùn)營(yíng)商收益減少;減少最優(yōu)廣告位數(shù)雖可減弱負(fù)效應(yīng)系數(shù)的增加對(duì)價(jià)值的影響,但是廣告位數(shù)的減少卻意味著運(yùn)營(yíng)商獲得收益的來(lái)源減少,運(yùn)營(yíng)商的收益仍然降低,如圖4所示.

6 結(jié)束語(yǔ)

與傳統(tǒng)文獻(xiàn)中將廣告位數(shù)視作外生變量不同,在考慮運(yùn)營(yíng)商拍賣(mài)前宣布廣告位數(shù)的情形下,以最大化運(yùn)營(yíng)商的收益為目標(biāo),研究了廣告位數(shù)的設(shè)定策略.基于機(jī)制設(shè)計(jì)理論,根據(jù)不考慮和考慮廣告位數(shù)對(duì)廣告商價(jià)值的影響,分別建立了基本模型和擴(kuò)展模型.經(jīng)分析,發(fā)現(xiàn)兩個(gè)模型中邊際收益均為廣告位數(shù)的減函數(shù),這就說(shuō)明運(yùn)營(yíng)商可通過(guò)設(shè)置適當(dāng)?shù)膹V告位數(shù)得到最大收益.進(jìn)一步,對(duì)比分析了兩個(gè)模型中點(diǎn)擊率對(duì)最優(yōu)廣告位數(shù)的影響規(guī)律.可知基本模型中最優(yōu)廣告位數(shù)與點(diǎn)擊率無(wú)關(guān),但是擴(kuò)展模型中當(dāng)某一廣告位的點(diǎn)擊率增加時(shí),運(yùn)營(yíng)商應(yīng)減少?gòu)V告位.另外,分析還指出兩個(gè)模型中運(yùn)營(yíng)商均可通過(guò)招募更多的競(jìng)拍者來(lái)提高收益.由于考慮了廣告位數(shù)會(huì)影響廣告商價(jià)值的實(shí)際情況,使得本文的結(jié)論貼近現(xiàn)實(shí)中運(yùn)營(yíng)商的決策行為.因此,研究可為運(yùn)營(yíng)商的決策提供參考.

需要指出的是,文中假設(shè)廣告位數(shù)對(duì)所有廣告商價(jià)值的影響是相同的,實(shí)際中該假設(shè)較為嚴(yán)苛.對(duì)廣告商價(jià)值的負(fù)外部效應(yīng)進(jìn)行深化細(xì)化,將是下一步的研究方向．

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