淺談高斯分布的原理和應用

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(佛山市第一中學)

一、高斯分布的起源與發展

在一個釘滿釘子的三角木板頂端投放一個小球，讓其自由下落，若其下落到規定位置，便能得到獎品。這便是高爾頓的釘板試驗。參與者們覺得試多幾次便能將獎品要到手，但事與愿違，像是被一股“神力”牽引著一般，小球就是不落到人們期待的那個位置。最終人們發現，中獎的概率實在是太低了！

倘若拋開中獎與否的問題，細心觀察，便不難發現：這個小球下落的軌跡近似一條優美的曲線。而這條曲線，早在幾百年前，便被冠以“正態分布的密度曲線”的稱號。正態分布是最重要的一種概率分布。起初，它是由德國的數學家和天文學家德莫佛于1733年提出的。

后來，因德國數學家高斯率先將其運用到天文學研究中，故正態分布又稱為高斯分布。現今德國10馬克的紙幣上不僅印有高斯的頭像，更印有正態分布的密度曲線，足見其對于正態分布應用取得的成就之偉大。高斯發現這個現象時，人們還未認識到其全部影響。后來拉普拉斯將這個發現與自己的中心極限定理相聯系，指出：“若誤差能看作許多量的疊加，誤差也應服從高斯分布。”而德莫佛-拉普拉斯中心極限定理也被許多數學家運用于其他領域，并發現對于一系列重要的統計量，當樣本N趨于無窮時，其極限分布都有正態的形式，這構成了數理統計學中大樣本理論的基礎。

二、高斯分布的原理

1.正態分布

μ和σ作為正態分布的概率密度函數的兩個重要參數，對于曲線的位置和形狀具有決定性的作用。μ是服從正態分布的隨機變量X的均值，稱為位置參數：當μ減小時，曲線向左移動；當μ增大時，曲線向右移動(如圖1)；σ是服從正態分布的隨機變量X的標準差，稱為變異參數：當σ越小時，數據越集中，曲線越“瘦”；當σ越大時，數據越離散，曲線越“胖”(如圖1)；由于對于任意一個時間，所有可能結果的概率之和均為1，故曲線下的面積是1；故正態分布的概率密度曲線的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了其幅度，又其曲線呈鐘形，所以又稱之為“鐘形曲線”。

分布函數(如圖2所示)為：

(3)3σ準則

當隨機變量X服從標準正態分布時，由標準正態分布的查表計算可得：

3.正態分布與二項分布的對比(略)

三、高斯分布的應用

1.正態分布在確定優生分數線中的應用

在每一場考試中，總有一些刻苦學習同學能取得比較好的分數。那么應該以怎樣的標準來將劃分出這些優等生呢？如果單單以一個“得分率90%”來劃分，看似簡單快捷，但由于每場考試的難易程度都不盡相同，故這樣的評價方法未免太過粗糙，無法實現一般化。那么該如何確定優等生的評定標準呢？對于這個問題，運用正態分布理論便可以輕松解決(證明略)。

2.正態分布在等級評定中的應用

在每個學期的期末，在每位學生的學生手冊上，個別科目會打出A、B、C、D四個等級來評價學生本學期在該科目的表現情況。假設某位同學得到了A等級，可雖然這位同學拿到了A等級，但他卻不知道還有多少同學也拿到了A等級，換言之，他不知道自己在年級中大概處于什么位置。這個問題看似棘手，可倘若運用正態分布原理，答案便會變得清晰起來。

3.正態分布在車門高度設計中的應用

在公共汽車的制造過程中，有一個問題是不可回避的：車門的高度應該如何確定，才能確保大部分的人都不碰頭而通過呢？如果只是簡單地以2m作為車門高度，的確能讓大部分的人不碰頭，但是這樣設計未免會讓車高過高，增加制造成本，所以這個方法不可取，應設計一個更為科學的確定方案。結合“讓大部分人不碰頭”的本質是一個概率問題，不難想到，可以運用正態分布原理，將該問題抽象成標準正態分布模型，再根據概率取值要求得出相應的身高取值，從而得出車門的合適高度。

四、結語

正態分布作為最重要的一種概率分布，在生活中的各個領域都有著舉足輕重的作用。如在醫學中，可用于估計醫學參考值，并以此來確定個體的指標是否處于正常狀態；在教育行業，可用于教學質量評估；在生產中則可用于產品質量的檢測等?？梢姡芯空龖B分布對于現實的生產具有重要意義。

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