幾種高中數學軌跡方程的常用解法分析

張成兵

（江蘇省宿遷市文昌高級中學，江蘇 宿遷）

在高中數學的教學大綱以及高考的考查范圍內，對于平面上動點的軌跡方程求解內容都是十分重要的。軌跡也就是點的集合，方程則是實數對所構成的集合[1]。基于某種條件來對某個動點的軌跡方程進行求解，本質上是找到不同變量之間的潛在關系，而這種關系的明確和求得則需要以已知點的特點為基礎，即需要充分利用已知的條件。在解決實際問題的過程中，因為動點所呈現出的規律不同，因此也需要采用不同的方法[2]。

一、采用直接法求解軌跡方程

在實際求解過程中，如果題目當中的動點自身是幾何量等量關系，這些條件表達起來十分簡單明了，這樣的情況下可以直接將條件進行轉化，將其變為由X、Y等字母所形成的等式，這樣就可以得到動點的軌跡方程。

如：已知點 A（-2，0），B（2，0），點 P滿足條件為PA·PB=12，求p點軌跡方程。

在看到這個題目時應當遵循求軌跡方程的基本步驟，具體求解步驟如下所示：

（1）結合題目實際要求構建平面直角坐標系；

（2）將運動軌跡上任何一點的坐標設置為n（X，Y）；

（3）找到關系式，需要滿足已知點和動點都滿足的關系式；

（4）將已知點和動點的坐標代入方程當中；

（5）對方程進行化簡處理；

（6）需要對曲線方程是否為軌跡方程進行驗證，但是在具體求解時第（3）步和第（5）步通常會被忽略。

根據這個求解思路，對以上問題進行解決，解法如下：

設 P（x，y），則PA=（-2-x，-y），PB=（2-x，-y），

所以PA·PB=（-2-x）（2-x）+（-y）（-y）=（x2-4+4y2）=12

對以上公式整理可以得到：x2+y2=16

二、采用定義法求解軌跡方程

該方法的應用需要滿足動點軌跡符合基本軌跡的相關定義，這樣才可以根據已有的定義來直接得到某個動點的軌跡方程。通常情況下可以滿足的定義為拋物線、橢圓、雙曲線以及圓等，這些可以直接采用定義法來求得相應的軌跡方程[3]。

例 2：三角形△ABC 周長為 18，且 B（-4，0），C（4，0），求 A 的軌跡方程。

解：根據題中已有條件可知，BC=8，所以 AC +BC =10＞（ BC）

從點A的運動軌跡來看，是橢圓，且運動焦點為B點和C點。具體軌跡如圖所示：

A點運動軌跡圖

根據公式b2=a2-c2可得b點值

三、采用相關點法求解軌跡方程

在一些求解運動軌跡方程的問題當中，動點所滿足的條件不一定都可以使用等式的形式列出，但是動點必然會隨著另一個點的移動而發生相應的變化，我們將其稱之為相關點，如果相關點所滿足的條件可以被分析或者十分明顯，那么在這種情況下就能夠得到與運動點相關的動點的坐標，進而求得動點的軌跡方程。采用這種方式得到軌跡方程的方法就被稱之為相關點2法。

例3：已知P在以F1，F2為焦點的雙曲線上運動，求△F1F2P的重心G的軌跡方程。

解：根據題中已有條件可得：a=4.b=3.

再結合相關公式a2+b2=c2可以得到c值。c=5.

由此可知F1，F2=5

在當中，G點為重心，根據重心坐標公式，可以得到x與 x0，y 與 y0的關系。即

因為p點在雙曲線上運動，所以即

根據整理可以得到最終軌跡方程為

四、采用參數法求解軌跡方程

在一些動點軌跡方程求解的過程中，容易遇見一些動點所滿足的幾何條件不容易被得出的情況，甚至也無法找到一些相關點。但是卻能夠發現，這些點的運動會受到其他相關變量的影響，比如時間、斜率、角度和比值等相關因素的制約。隨著動點坐標的變化，另外的某個變量也會隨著動點的變化而發生變化，我們就可以將這個變量當做是參數，再結合參數的實際情況構建參數方程，這就是在軌跡方程當中比較常見的一種解決方法，為參數法。其應用范圍比較廣泛，如果可以選擇比較合適的參數，這種方法就會變成一種比較簡便的方法。

參數法具體應用在軌跡方程求解的過程中，應當按照以下步驟開展，具體為：

（1）建立專門的坐標系，然后再將設動點p，其坐標為（x，y）；

（2）結合與軌跡運動相關的已知條件，選擇更為合適的參數；

（3）以動點p為基礎，構建參數關系式，也就是我們說的參數方程；

（4）需要對參數進行消減，繼而得到普通的方程；

（5）在整個參數方法應用的過程中，最為重要的環節就是應用參數方程。在實際運用時，如果某個動點是繞著直線某個點旋轉，此時的參數可以選擇斜率k。

例 4：平面坐標系中，坐標原點為 O，A 點坐標為（3，1），B點坐標為如果點 C 滿足以下條件其中α，β∈R，且 α+β=1，求點 C 軌跡方程。

解：設 C 點坐標為（x，y），那么1，3）

由題可知，（x，y）=α（3，1）+β（-1，3）

所以 x=3α-β，y=α+3β

且α+β=1，消參數α，β之后可以得到C點的軌跡方程

即：x+2y-5=0.

總之，軌跡方程的求解在高中數學大綱以及高考考點當中都占據著十分重要的位置，也是學生學習的重難點，必須得到足夠的重視。在本文當中，筆者主要對當前高中軌跡方程求解過程中幾種最為常見的方法進行分析探討，并以實例作為例證，使方法理解起來更通俗易懂。但是在實際應用的過程中要根據題目的具體情況選擇合適的求解方法，避免出現照抄照搬現象。

［1］代紅英.高中數學軌跡方程解法［J］.中國校外教育，2016（27）：116，155.

［2］趙林.例談點的軌跡方程的求法［J］.中學數學教學參考，2016（27）：41-42.

［3］楊建茹.高中數學探求軌跡方程的常用技法［J］.科技創新導報，2014，11（15）：256.