一題多解，魅力無限
——從一個圖形探析求陰影部分面積運用的數學思想方法

汪春橋

（安徽省安慶市懷寧縣獨秀初級中學，安徽 安慶）

在平時的幾何教學中，我們都會與幾何圖形打交道。其中會遇到求相關圖形面積的問題，很多學生可能對這些問題感到棘手，甚至無從下手。實際上只要認真觀察分析、整合分解，利用適當的數學思想方法，很多問題便可迎刃而解。在此，我從平時的教學當中，提取一個書本習題進行探析。

【例題】如下圖，正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內畫半圓，所圍成的圖形（陰影部分）的面積為___________.

【分析一】整體和差法

圖中陰影部分面積可以看作4個半圓的面積之和與正方形面積之差（重疊部分）。

所以

在此引導學生觀察圖形，整體思考，考慮到圖中陰影部分面積是幾個規則圖形的重疊，利用面積和差法，使問題得解。其中滲透整體思想、數形結合思想與化歸思想，可訓練、考查學生分析圖形、掌控全局、解決問題的能力與思維品質。___________

圖1

圖2

【分析二】局部對稱法

觀察圖形，因為正方形與圓都具有軸對稱和中心對稱性質，可以證明出圖中陰影的四個部分也具有對稱性與全等性。如果連接正方形的中心與其四個頂點，即可得到八個全等的小弓形。觀察每個半圓弧頂的兩個小弓形，其面積之和可看作一個半圓面積減去一個四分之一正方形（一個等腰三角形）面積的差。這樣，陰影部分面積為兩個小弓形面積的四倍，從而得出答案。

在此引導學生觀察圖形，整體思考，化整為零。考慮到圖中陰影部分面積是幾個局部圖形面積的倍數，利用局部對稱法，使問題得解。其中滲透整體思想、數形結合思想、對稱思想與化歸思想，可訓練、考查學生分析圖形、統觀全局、化整為零的解題能力與思維方式。

【分析三】代數求解法

觀察圖形，因為正方形與圓都具有軸對稱和中心對稱性質，故圖中陰影部分可視為四個全等的紡錘形，另外四塊空白部分也是全等的。可設每個紡錘形面積為x，每個空白部分面積為y，由圖形可知，四個紡錘形面積與四個空白部分面積之和為整個正方形的面積，兩個紡錘形面積與一個空白部分面積之和為一個半圓的面積，從而可列方程組，求出 x、y 的值，得到陰影部分的面積。

在此引導學生觀察圖形，整體思考，利用設未知數，列方程組的方法，使問題得解，其中滲透整體思想、數形結合思想、方程思想與化歸思想。運用代數知識解決幾何問題，往往會收到意想不到的效果，能夠解決很多感到棘手的數學問題，可以訓練學生的代數思維與發散思維能力。

圖3

圖4

【分析四】減白求黑法

觀察圖形，圖中上下兩個白色部分面積可看成正方形面積減去左右兩個半圓面積的差。這樣整個陰影部分面積可看成正方形減去四個白色部分面積的差。

則

很多數學問題可另辟蹊徑，從目標的反向出發，發展學生的逆向思維，訓練學生多向思維能力。

【分析五】全等割補法

全等割補是幾何證明與計算當中常用的方法，本題亦不例外。觀察圖形，可將圖中右側半圓割補到正方形左側，順次連接割補后左側圓與正方形交匯的四個頂點，得到一個新的正方形。新正方形內陰影部分面積可看作圓的面積減去正方形面積之差。則整個陰影面積就為其兩倍，從而得解。

在此解法中，主要引導學生怎樣將不規則圖形轉化為規則圖形，運用化歸思想、遷移思想，通過全等割補，巧妙地達成解題目標。

當然，本題的解決不止這幾種方法，例如局部對稱法就有另外的思考方式。

百川歸海，殊途同歸。在平時的學習當中，對于具體的問題，經歷觀察，操作探究，在掌握基本知識、基本技能、基本方法的基礎上，運用不同的數學思想方法，引導學生整體思考，多向思維，開拓創新，培養一題多解的能力與思維方式，必會進一步體現數學的魅力及價值，激發學生的學習興趣，提升學生的數學素養，開創數學學習的一番新天地。