一種雙曲面演示裝置的設計

洪先亮　邢金龍　李瑞敏　方猛　仝文浩

[摘 要]作為科技館基礎學科展品中不可或缺的一個種類，數學類展品一直深受觀眾的喜愛。單葉雙曲面是由與回轉軸線交叉的母線繞回轉軸線旋轉而形成的，但是觀眾對其原理難以建立形象，無法直觀地理解。本文對單葉雙曲面進行研究，利用視覺暫留現象設計出一套集成光、電、控制、機械的雙曲面演示裝置。該裝置能廣泛應用于科普場館常設展覽及流動科普巡展等，可有效地展示旋轉直紋面的形成原理以及常見旋轉直紋面之間的關系，對于促進觀眾理解相關數學知識，提升數學學習興趣有很大幫助。

[關鍵詞]科技館 數學類展品 單葉雙曲面

展示單葉雙曲面與母線之間關系的類似“雙曲狹縫”的展品經常出現在各個科普場館常設展覽和流動科普巡展中，深受廣大觀眾的喜愛，有著非常重要的科普教育意義。該類展品歷經靜態展示、動態展示、動靜結合展示，直至發展到動靜結合且動態部分多角度展示以及實心體雙曲狹縫隧道展示。雖然單葉雙曲面演示裝置的展示方式一直在進步，但對于數學知識相對欠缺的人群來說，現存的展示方式仍然無法直觀、有效地展示單葉雙曲面的形成原理，而且到目前為止，國內外也沒有能夠動態、立體、直觀地展示單葉雙曲面形成原理的展品。于是，我們著手研究一種新的單葉雙曲面演示裝置，能夠全面、動態、可視化展示單葉雙曲面的形成原理，并應用于科普展覽，使抽象、復雜的數學知識變得通俗易懂。

一、單葉雙曲面的形成原理

曲面可以看作是一動線在空間運動的軌跡。該動線稱為母線，母線處于曲面上任一位置時，稱為素線。母線作不規則運動，形成不規則曲面；作規則運動，形成規則曲面[1]。

根據母線的形狀，可將曲面分為直線面和曲線面。凡可以由直母線運動而形成的曲面均為直線面，也稱直紋面[2]。直紋面分為旋轉直紋面和非旋轉直紋面，本文只研究旋轉直紋面。

旋轉直紋面是工程中和日常生活中最常見的一種曲面，在旋轉直紋面中，若母線與回轉軸線平行，則母線的旋轉軌跡形成圓柱面（圖1a）；若母線與回轉軸線交叉，則母線的旋轉軌跡形成單葉雙曲面（圖1b）。

二、設計需求與原則

（一）設計需求

（1）單葉雙曲面的立體形象可視化。

（2）演示過程中可連續調節單葉雙曲面的高斯曲率，使單葉雙曲面外形連續變化（由圓柱面變化為單葉雙曲面）。

（3）展示由素線組成單葉雙曲面的空間立體形象。

（二）設計原則

1.科學性原則。該裝置主要演示單葉雙曲面的生成原理和過程，應當由理論入手，即單葉雙曲面的數學概念：“由與回轉軸線交叉的母線繞回轉軸線旋轉而形成”。根據科學的數學理論，確定演示方式和結構。

2.創新性原則。傳統的演示裝置采用多媒體或簡單機械互動形式，雖能演示相應數學原理，但互動性和趣味性不足，且效果不夠直觀。因此，需要采取相應技術手段，采用更加直觀、立體、有趣的方式展示單葉雙曲面的形成過程。

3.安全穩定性原則。該演示裝置主要用于科普展館或流動巡展等人員較多、操作較為頻繁的場合，因此需保證演示裝置的安全性和可靠性。

三、技術手段

由以上設計需求及設計原則，總結歸納出該演示裝置需解決的關鍵問題，主要有三個：如何立體地展示單葉雙曲面的形象，如何實現單葉雙曲面高斯曲率的連續調節，如何實現素線的可視化。下面將針對這三個關鍵問題提出相應的技術手段。

（一）空間立體形象可視化

人眼在觀察景物時，光信號傳入大腦神經需經過一段短暫的時間，光的作用結束后，視覺形象并不會立即消失，而要延續0.1～0.4秒的時間，這種現象稱為視覺暫留[3]。要實現單葉雙曲面的空間立體形象可視化，需 “留住”母線繞回轉軸旋轉的軌跡，而利用“視覺暫留現象”即可實現“留住”軌跡的功能。

根據視覺暫留現象，人眼若要觀測到連續的空間曲面，需保證母線在0.1～0.4秒內圍繞回轉軸旋轉一周，即旋轉軌跡形成一個完整的單葉雙曲面。為了保證最佳效果，設定母線每0.1秒繞回轉軸旋轉一周，則母線最佳回轉轉速為600r/min。理論上不發光的母線在最佳轉速下也可呈現視覺暫留現象，但是由于發光體對于人眼的刺激更加明顯，所以采用發光母線會有更好的演示效果。

（二）高斯曲率連續調節

高斯曲率實際反映的是面的彎曲程度[4]，調整單葉雙曲面的高斯曲率，實質就是調節單葉雙曲面剖線的彎曲程度。母線與回轉軸的交角控制著單葉雙曲面的彎曲程度，交角越大，形成的單葉雙曲面越彎曲，反之就越平滑。在交角為0狀態時，高斯曲率為0，此時母線的旋轉軌跡形成圓柱面。

在回轉軸上裝配可控制的連續轉動部件，并使轉動部件與母線相連，在母線旋轉過程中，控制轉動部件轉動，帶動與之聯接的母線，從而改變母線與回轉軸的交角，實現單葉雙曲面外形連續變化（圓柱面到不同曲率的單葉雙曲面）。

（三）素線可視化

母線在曲面上的任一位置稱為素線。素線的可視化，是指在演示過程中可見若干條亮線組成完整（不連續）的空間單葉雙曲面。實現素線可視化也需要依據視覺暫留現象，故實現此功能的條件之一是母線達到最佳轉速600r/min。

素線可視化的本質是將立體連續的空間曲面中按一定規律摘取若干母線軌跡，并凸顯表現出來。實現此功能需要母線具備兩種狀態：顯態和非顯態。在母線旋轉過程中，控制母線按照一定頻率在顯態和非顯態之間快速切換，根據視覺暫留現象，若干顯態的母線軌跡會留存到人的大腦里，形成素線構成的空間曲面。

四、結構與演示流程

綜合以上研究內容，對單葉雙曲面演示裝置進行結構設計，如圖2所示。

該演示裝置的工作流程為：主電機通過主軸帶動發光母線旋轉，常亮的發光母線的旋轉軌跡形成連續空間曲面，轉動旋轉編碼器控制蝸輪蝸桿減速電機旋轉，連續地改變發光母線與主軸間的交角，使空間曲面形狀發生變化。光電開關實時采集主電機轉速，并控制發光母線按照實時轉速頻率在顯態和非顯態之間迅速切換，形成素線演示效果，該方法比程序控制方法更加準確，素線演示效果也更加穩定。該演示裝置效果圖如圖3所示。

五、結論

本文依據科學的理論指導，利用現有的技術手段確定了單葉雙曲面演示裝置的設計需求與原則、技術手段、演示結構等，解決了空間曲面立體可視化、空間曲面曲率連續可調節變化、空間曲面的素線可視化等關鍵技術問題，做到了精確控制發光母線閃爍頻率與旋轉速率相匹配，使其符合人眼的視覺暫留特性，從而在空中呈現出準確、穩定的圓柱面和單葉雙曲面等造型，不但能夠展示圓柱面與單葉雙曲面之間的關系，并且可以通過控制發光母線在顯態和非顯態切換時展示回轉面是由母線圍繞軸線旋轉所形成的這一基本原理。

經過對單葉雙曲面演示裝置的設計，本文還總結了幾點關于單葉雙曲面裝置在形體特征方面的規律：其一，在其他因素不變的前提下，發光母線與回轉軸之間的空間距離越小，旋轉形成的曲面越“瘦”，反之越“胖”；其二，在其他因素不變的前提下，發光母線的長度越長，旋轉形成的曲面相對越“高”，反之則越“矮”；其三，在其他因素不變的前提下，發光母線越細，回轉面越清晰。這些規律對于將來研發以發光母線圍繞回轉軸旋轉形成的回轉面或其他形式的曲面都有參考意義。

該演示裝置能廣泛應用于科普場館常設展覽及流動科普巡展等，可以有效地展示旋轉直紋面的形成原理以及常見旋轉直紋面之間的關系，對于促進中小學生理解相關數學知識，提升其對數學學習的興趣有很大幫助，具有非常可觀的經濟效益和社會效益。

參考文獻

[1]和丕壯，王魯寧.交通土建工程制圖[M].北京：人民交通出版社，2001.

[2]李小甌.一種空間直線面的演示裝置：201210517697.0[P].2013-04-03.

[3]馬碩.視覺暫留現象演示系統：203085022 U[P].2013-

07-24.

[4]丁一.獲得三維曲面相對大小高斯曲率的方法與實現[J].價值工程，2014（35）：204-205.