善歸納 巧解最值問題

張淑波

縱觀近幾年的各地模擬卷和中考卷，考查最值問題表現形式靈活，學生們對最值問題的數學題頗感困惑，失分率也相當得高，針對這一現象，本文對初中數學的最值問題進行歸納，以便學生們對癥下藥，藥到病除，現歸納如下，與大家一起分享。

一、應用“將軍飲馬”模型

此類問題通常求兩邊和及兩邊差得絕對值的最值，轉化為兩點之間線段最短，常見考法有：與坐標系結合；與圓結合利用垂徑定理；利用菱形的對角線性質等。

例1 如圖MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為AN弧的中點，點P是直徑MN上一個動點，則PA+PB的最小值為 .

解析 作點B關于MN的對稱點C，連接AC交MN于點P，則P點就是所求作的點。

此時PA+PB最小，且等于AC的長

連接OA，OC，根據題意得：

∵∠AMN=30°，

∴弧AN的度數是60°，

∵B為AN弧的中點，

∴弧BN的度數是30°，

∵NO⊥BC，

∴=，

∴弧CN的度數是30°，

∴=+=90°

∴∠AOC=90°，

又∵OA=OC=1，

∴AC==

√

2

即PA+PB的最小值為：

√

2

點評 首先利用在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點P的位置，然后根據弧的度數發現一個等腰直角三角形計算。

二、應用轉化思想，轉化為垂線段最短模型

這類問題看似考某條線段的最值，實際上利用轉化思想變為直線外一點到直線上所有點的連線中垂線段最短，常見考法有：利用矩形對角線相等性質把其中一條對角線轉化；在圓中求某條線段利用勾股定理或其他等量關系轉化等。

例2 如圖 在Rt△ABO中，∠AOB=90°，OA=OB=4，⊙O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），則切線長PQ的最小值是 .

解析 連接OP、OQ，如圖所示，

∵PQ是⊙O的切線，

∴OQ⊥PQ，

根據勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，

∴當PO⊥AB時，線段PQ最短，

∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，

∴AB==4

√

2

，

∴OP==2

√

2

，

∴PQ===

√

7

點評 連接OP，OQ，由PQ為圓O的切線，利用切線的性質得到OQ與PQ垂直，利用勾股定理列出關系式，由OP最小時，PQ最短，根據垂線段最短得到OP垂直于AB時最短，利用面積法求出此時OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值。

三、應用構圓模型

這類問題看似無圓卻有圓，利用這個動點的運動軌跡形成一個圓從而達到求最值，常見考法有：這個動點為頂點的角是定角，這個定角所對的邊是定邊即定角對定邊。

例3 如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=4

√

2

，點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則線段CE長度的最小值為 .

解析 連結AE，如圖1，先根據等腰直角三角形的性質得到AB=AC=4，再根據圓周角定理，由AD為直徑得到∠AED=90°，接著由∠AEB=90°得到點E在以AB為直徑的⊙O上，于是當點O、E、C共線時，CE最小，如圖2，在Rt△AOC中利用勾股定理計算出OC=2

√

5

，從而得到CE的最小值為2

√

5

-2.

點評 本題考查了圓的綜合題，熟練掌握圓周角定理和等腰直角三角形的性質，會利用勾股定理計算線段的長.解決本題的關鍵是確定E點運動的規律，從而把問題轉化為圓外一點到圓上一點的最短距離問題。

四、應用函數模型

這類問題看似幾何卻是利用函數的性質求最值，常見考法：在幾何題中根據邊之間的數量關系利用方程思想列出兩個變量之間的函數關系等。

例5 如圖，已知平面直角坐標系內，A（-1，0），B（3，0），點D是線段AB上任意一點（點D不與A，B重合），過點D作AB的垂線l.點C是l上一點，且∠ACB是銳角，連結AC、BC，作AE⊥BC于點E，交CD于點H，連結BH，設△ABC面積為S1，△ABH面積為S2，則S1·S2的最大值是 .

解析 設AD=X BD=4-X，

易得△ADH～△CDB

∴

AD

CD

=

DH

DB

即CD·DH=X（4-X）

S1·S2=4CD·DH

=4X（4-X）

=-4X2+16X

當X=2時，S1·S2最大值為16

點評 根據相似找出兩個變量之間的等量關系從而構建二次函數模型，利用二次函數的性質求出最值問題。