基于貝葉斯混合概率分布融合的系統可靠性分析與預測方法

楊樂昌, 郭艷玲

(1. 北京科技大學機械工程學院, 北京 100083;2. 北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院, 北京 100191)

0 引 言

層次性結構模型是一類具有普遍適用性的模型。基于“從整體到局部”的系統工程思想,大部分復雜機電設備(如衛星),都可以視作多層次系統,自上而下通常可劃分為系統層、子系統層,零部件層等,而其對應的可靠性模型通常也具有顯著的層次性特征。在對這些可靠性模型進行分析,做出可靠性預測的過程中,需要面對的問題也與傳統可靠性模型有較大差別。

一方面,復雜機電設備通常包含眾多部件組件,作為底層的零部件多為標準件(如齒輪,軸等),通常已積累了較為充分的先驗知識與實驗數據,且有歷史經驗數據可供參考,認知較為完備;另一方面,對于系統整體而言,由于工況及實驗條件所限,整體性實驗一般代價高昂,開展難度大,特別是在一些涉及航空航天、核工業的重大設備,由于客觀條件所限,幾乎不可能開展整體性實驗(如大型飛機整機,空間站,核電站反應堆等),因而系統整體極小樣本或無樣本,認知極為匱乏。但在實際工程中,關注的重點恰恰是這些設備或系統整體的可靠性。

在本文中,將這種多層次信息分布不均衡(multi-level & information imbalanced, MLII)系統定義為MLII系統[1-2],圖1直觀地描述了MLII系統的特性。對于MLII系統的可靠性問題,不能簡單理解為傳統的“小樣本”(系統整體信息匱乏)或一般的“大數據”(底層零部件信息量大)問題,而需針對其信息分布不均衡的特性,提出適用的系統可靠性分析方法。

圖1 MLII系統圖Fig.1 Graphical description of MLII system

1 問題闡述

1.1 MLII系統特性分析

針對MLII系統的特性,一種自然而直觀的想法是充分利用系統底層完備的數據集,自下而上地“補償”頂層匱乏的信息,進而對系統可靠性及其他物理性能參數做出準確的分析與評估。貝葉斯方法作為基于條件概率推斷的一種統計方法,將主觀信息融入先驗分布,以似然函數的形式利用客觀數據,綜合了所有可用信息后作出概率推理結果,同時針對“小樣本”問題同樣有效,可作為當頂層信息匱乏時分析系統可靠性的一種手段[3-5],經典貝葉斯推理方法的一般形式為

(1)

但傳統的貝葉斯方法在針對MLII系統時存在一些問題。

(1) 在基于貝葉斯理論的統計推斷中,先驗分布的選取對于后驗分布的精度及最終可靠性分析結果的準確性都起到至關重要的作用。在傳統的貝葉斯方法中,通常依據專家經驗給出適當的參數先驗分布,但對于MLII系統而言,系統及子系統層通常信息匱乏,準確的先驗分布難以獲取,如果僅采用無信息先驗分布,在小樣本的條件下,難以獲得足夠精度的可靠性分析結果[5]。對于具有MLII系統特性的復雜機電設備,需對經典的貝葉斯推理算法做出改進,充分利用底層完備數據集的信息,給出具有足夠精度的先驗分布,以提高分析結果精度。

(2) 復雜機電設備的MLII系統,信息來源廣泛,數據多樣。即使對于同一事件(例如參數取值),也可能出現相異,甚至完全不同的認知,即所謂的“信息沖突”問題[6]。例如對于相同產品,不同專家根據各自經驗給出的故障率、平均故障間隔時間等參數的估測值可能有較大差異,可理解為可能存在的主觀信息沖突;又如,對速度、位移等物理量的動力學分析結果可能與通過數理統計獲得的估測值存在一定偏差,可理解為可能存在的主客觀信息沖突,而經典貝葉斯方法并無處理此類問題的有效機制。

針對經典貝葉斯方法在處理MLII系統可靠性問題時的一些局限性[7-12],提出了基于貝葉斯與信息融合(Bayesian-based information extraction & aggregation, BIEA)的系統可靠性分析與預測方法。

1.2 BIEA方法理論框架

不失一般性,考慮不確定性傳遞模型Θ=M(θ)中的輸入參數向量θ和輸出參數向量Θ,分別具有獨立的直接先驗分布(direct prior,DP)π(θ)和π(Θ)。此時,由于參數向量θ具有獨立的先驗分布,故參數向量Θ通過關系函數Θ=M(θ)會引入額外的概率分布π*(Θ)。由于信息來源不同,一般情況下,同一參數Θ的先驗分布π(Θ)與π*(Θ)不同。

上述問題的實質在于如何綜合利用所有可用信息,融合概率分布π(Θ)與π*(Θ)。基于上述考量,定義概率分布融合運算符“⊕”,提出BIEA方法,其基本形式為

(2)

相較于傳統的貝葉斯方法,BIEA方法通過構建直接先驗分布πD(Θ)與間接先驗分布πI(Θ)的方式區分不同來源信息對參數先驗分布的影響,定量計算不同信息源對參數先驗概率分布的貢獻。通過融合先驗分布πC(Θ),綜合所有可用信息,計算參數后驗分布,進而獲取所需的可靠性指標,即可靠度、平均故障間隔時間和故障率等。其中直接先驗分布πD(Θ)一般基于主觀經驗獲得,而間接先驗分布πI(Θ)通過分析模型傳遞后間接獲得。有關該方法與傳統貝葉斯方法的異同如圖2所示。

圖2 BIEA推理方法融合先驗分布構建示意圖Fig.2 Sketch map of BIEA reasoning method fusion priori distribution construction

2 基于自更新權重系數的BM概率分布融合方法

2.1 經典BM方法

在BIEA方法中,構建了融合先驗分布以替代經典貝葉斯方法中完全由主觀經驗給出的傳統先驗分布,即

πC(Θ)=πD(Θ)⊕πI(Θ)

(3)

融合先驗分布πC(Θ)由直接先驗分布πD(Θ)和間接先驗分布πI(Θ)共同構成。其中直接先驗分布基于研究對象的直接相關信息,如專家經驗,相似產品的歷史數據等;間接先驗分布則是對研究對象的間接相關信息進行可靠性分析,并利用結構函數間的不確定性傳遞關系后計算得到。由于信息來源與計算方式均不同,因此同一事件(或參數)的直接先驗分布和間接先驗分布通常并不一致。一方面,對于研究對象本身是有直觀認知的(直接先驗分布);另一方面,系統或子系統層的參數與其父節點參數存在函數關系,而MLII系統的似然函數中也包含可靠性函數關系,這都相當于添加了額外的約束,它表明通過結構函數間的不確定性傳遞關系,上層單元引入了底層信息(額外約束)。而兩種不同的概率顯然無法直接相互疊加,故需引入一種具有數學一致性與完備性的概率融合方法。

貝葉斯混合(Bayesian melding, BM)是一種經典的概率融合方法,該方法最早由文獻[13]提出,可有效地處理2種不同類型的概率分布,在各行各業均有應用[14-15]。融合后的概率分布具有數學完備性,服從概率公理,且能夠繼承2種不同概率分布的統計特性。經典BM方法通過Pooling的方法構建,常見的線性融合方法為

πC(Θ)∝α·πD(Θ)+(1-α)·πI(Θ)

(4)

對數融合方法為

πC(Θ)∝πD(Θ)απI(Θ)(1-α)

(5)

式中,πC(Θ)、πD(Θ)和πI(Θ)分別為參數Θ的融合先驗分布、直接先驗分布和間接先驗分布；權重系數α∈[0,1]用于平衡直接先驗分布和間接先驗分布對融合先驗分布的貢獻量。

2.2 基于自更新權重系數的BM方法

在BM方法中,權重系數α的取值對最終融合先驗分布的確定是至關重要的。文獻[16]認為這種選取本質上是靈活而非固定唯一的,并討論了關于權重系數α的取值。在沒有額外信息的情況下,同一模型(例如Θ=M(θ))中輸入參數(θ)和輸出信息(Θ)的可信程度是相同的,文獻[16]中例子將α設定為0.5,即直接先驗分布和間接先驗分布的置信水平是一致的。但事實上,均值0.5的選取方法并不是普遍適用的。文獻[17]嘗試不同的權重系數α的取值(0.2, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8, 0.9),得到了不同的融合先驗分布,但發現參數后驗分布對α的取值并不敏感,究其原因在于該例子數據充足,樣本量較大,使得在推理計算過程中逐漸形成較強的似然函數,足以修正初始先驗分布中的偏差。事實上,該例子相較于先驗分布,似然函數占據更為主導的位置。而直接先驗分布選取無信息先驗分布的做法對MLII系統并不適用,如前所述,對于MLII系統中的組件或部件而言,由于實際工況限制,往往數據匱乏,樣本量較小,似然函數在計算過程中無法占據主導位置;另一方面,對于底層部件而言,可能包含較多的專家經驗等主觀信息,因此先驗分布的影響不可忽略。在這種情況下,合理選擇權重系數α就顯得尤為重要。

本論文針對MLII這一類存在信息不均衡特性的系統,提出了一種基于自更新權重系數的BM方法。

對于線性情況,有

πC(Θ)∝πC(Θ|flinear(α,βD,βI))=

(6)

對于對數情況,有

πC(Θ)∝πC(Θ|flog(α,βD,βI))=

(7)

步驟1從參數θ的先驗分布πD(Θ)中抽取I個樣本(θ1,θ2,…,θI)。從權重系數α的先驗分布π(α)中抽取J個樣本 (α1,α2,…,αJ)。

步驟2對于抽取的每一個樣本θi,通過傳遞模型Θi=M(θi)計算對應的樣本輸出值。

步驟3使用非參數估計方法(例如核密度估計)計算間接先驗分布πI(Θ)。

步驟4對每一組(θi,αj)的取值計算重要度抽樣概率為

步驟5以{wij:i=1,2,…,I;j=1,2,…,J}的概率從 (θi,αj)的離散分布中抽取L個樣本,即

π(θ,α)∝{wij:i=1,2,…,I;j=1,2,…,J}

步驟6由于輸入參數θ與權重系數α相互獨立,因此可以分別計算輸入參數θ的離散后驗概率分布π(θ|D) 和權重系數α的離散后驗概率分布π(α|D)，即

步驟7輸出參數Θ的離散后驗概率分布π(Θ|D)可通過傳遞模型Θ(1,2,…,L)=M(θ1,2,…,L)估計,即

本文所提出的基于自更新權重系數的BM方法不預先設定權重系數α的取值,而將其設置為未知超參數,賦予其初始分布,再利用客觀數據對其取值修正,實時更新。權重系數α受到似然函數的影響,其取值會在推理過程隨著信息的積累而自動變化調整,降低偏離實測數據的先驗分布的權重,增加貼近實測數據的先驗分布的權重,在反復迭代更新后,權重系數α達到穩定值,此時的后驗分布與實測數據吻合度最高。此方法可有效降低先驗分布偏差對參數估計結果準確性的影響,提高可靠性分析的精度。而提出的BM方法的另一個優點則是,通過式(5)或式(6)得到融合先驗分布是具有解析形式的。考慮到相同概率分布的直接疊加或乘積并不一定服從原始的概率分布形式，即式(3)和式(4)得到的融合先驗分布通常并沒有解析形式,而這對于多層次的復雜貝葉斯模型,尤其是MLII系統的貝葉斯模型來說很不方便。通過式(5)或式(6)得到的融合先驗分布不僅具有明確的解析形式,還可以避免多峰概率分布的出現,這也是在BM方法中經常碰到的問題。

現以簡單的例子說明上述問題,分別選擇Beta(6,2)和Beta(2,6)作為某參數的直接先驗分布和間接先驗分布,通過經典BM方法得到的融合先驗分布和通過BIEA方法的BM在不同的權重系數α下的融合概率分布如圖3所示。

圖3 兩類BM方法對比Fig.3 Comparisons of the two kinds of BM approaches

可以發現，當權重系數α取極限邊界值(0和1)時,2種BM方法所得結果是相同的,這也意味著基于BIEA的BM方法與經典貝葉斯方法具有相同融合邊界,即兼容性。但是,對于其他的權重系數α取值(0.2, 0.4,0.6,0.8),經BM方法所得結果呈現出多峰值特征(雙峰特性),而BIEA的BM方法僅有一個峰值。在使用BIEA的BM后,參數后驗分布為

p(Θ|β)∝L(Θ)πC(Θ|β,α)π(α)

(8)

通過馬爾可夫鏈蒙特卡羅(Markov chain Monto Carlo,MCMC)等抽樣方法進行數值計算,此時可反解權重系數α的后驗分布，即

p(α)=p(f-1(β))

(9)

通過應用自更新權重系數的BM方法,可以更為精細地平衡基本先驗的分布和間接先驗分布對融合先驗分布的貢獻,而融合先驗分布也會同時繼承2種先驗分布的統計特征。該方法為權重系數α的定量量化提供了一種較為靈活的方法。該方法與經典的BM方法有以下不同之處,如表1所示。

表1 經典BM方法與自更新權重系數的BM方法的異同對比

3 MLII系統的BIEA方法

第2節給出了基于自更新權重系數的BM方法的數理算法,下面結合圖4所示的多層次結構來闡述MLII系統的BIEA模型。

圖4 多層次結構系統Fig.4 Multi-level structure system

3.1 MLII系統的BIEA模型

不失一般性,以l行第k個單元E(l,kl)為研究對象,其參數集θ(l,kl)。那么第l+1行的父節點E(l+1,kl+1)則有參數集θ(l+1,kl+1)。給定其參數直接先驗分布πD(θ(l+1,kl+1)),其可靠度函數可一般地描述為R(l+1,kl+1)(t)=f(t|θ(l+1,kl+1))。其中，f()是由具體物理背景及失效機理確定的函數。那么,研究對象的可靠度函數及對應的參數概率密度函數的一般形式為

R(l,kl)(t|θ(l,kl))=Ψ(l,kl)(R(l+1,kl+1)(t|θ(l+1,kl+1)):kl+1∈Q(l,kl))

f(l,kl)(t|θ(l,kl))=

(10)

式中,Ψ(l,kl)是由對象單元E(l,kl)及其父節點E(l+1,kl+1)確定的結構函數,Q(l,kl)是所有父節點的指標集。對象單元參數的間接先驗分布可通過式(14)的隨機變量轉換方法來計算，即

(11)

在給定參數直接先驗分布πD(θ(l,kl))的基礎上,融合先驗分布可由式(15)計算，即

πC(θ(l,kl))=πD(θ(l,kl))⊕πI(θ(l,kl))

(12)

融合先驗分布中包含了底層數據與信息,并參與當前層次的貝葉斯推理過程,重復這一過程,就可以將底層完備的信息逐漸傳遞至頂層,在系統級綜合所有可用信息,做出較為準確的可靠性分析。

依據貝葉斯理論,在給定參數先驗分布與似然函數的情況下,MLII系統的BIEA模型由(16)給出，即

π(Θ|D)∝πC(Θ)×L(D|Θ)=

(13)

式中,融合先驗分布πC(Θ)考慮了直接先驗分布πD(Θ)和間接先驗分布πI(Θ)的2部分貢獻;聯合似然函數由所有包含可用信息的父節點似然函數構成,π(Θ|D)是考慮信息融合后模型參數集的后驗分布。一般情況下,式(13)不存在解析解。通過使用各類MCMC方法,如Metropolis-Hastings方法(文獻[18])或Gibbs 抽樣方法(文獻[19])可獲得數值解。在本論文中,使用OpenBUGS(一種基于Gibbs抽樣做貝葉斯分析的開源軟件包)進行計算,詳細內容可參考[20]。

3.2 可靠性指標計算

通過式(16)可獲得所關心參數的聯合后驗分布π(Θ|D),但在可靠性工程中,可能更關系某些特定的可靠性指標，如可靠度、故障率等。

可靠度為

(14)

故障率為

(15)

平均故障時間(mean time to failure,MTTF)為

(16)

式中,D是MLII系統的可用數據集；R(tp|D)和λ(tp|D)分別是在tp時刻的可靠度與故障率。

現將BIEA方法的主要步驟羅列如下,其主要分析流程及與經典貝葉斯方法的異同如圖5所示。

圖5 BIEA系統可靠性分析方法流程圖Fig.5 Flow chart of BIEA system reliability analysis method

步驟1依據各單元結構特性,選取適當的描述模型,給出參數直接先驗分布;

步驟2基于可用數據集建立似然函數;

步驟3應用貝葉斯更新計算參數后驗分布;

步驟4基于系統結構組成,計算系統可靠度函數表達式;

步驟5利用隨機變量轉換關系,獲得參數間接先驗分布;

步驟6應用BM算法計算參數融合先驗分布;

步驟7基于融合先驗分布計算更新后的參數后驗分布;

步驟8模型輸出各類可靠性指標。

4 方法驗證與案例分析

4.1 模型描述

為了驗證所提出的BIEA方法對MLII系統可靠性分析的有效性,選擇文獻[17]中的經典雙層串聯系統,其模型結構與參數設置具有MLII系統的特性,如圖6所示。

圖6 雙層次結構模型Fig.6 Two level structure model

具體地，C1、C2和C3分別為3類具有不同可靠性模型的組件。對于C1,其可靠性模型為logistic回歸模型,可用數據包含25個測試單元在11個時間點的二項型成敗記錄;對于C2,其可靠性模型服從雙參數的威布爾分布,可用數據包含25個測試單元的失效時間數據;對于C3,選取的是性能退化模型,可用數據包含研究對象在10個時間點的性能退化數據。相關數據參如表2所示。為了保證對比的有效性,相關可靠性模型與模型參數的設置都與文獻[17]中例子一致。C1、C2和C3的可靠度函數分別由式(17)～式(19)給出。

R1(t|Θ1)=logit-1(θ1+η1t),Θ1=(θ1,η1)

(17)

(18)

(19)

基于表2中的有效數據集,可分別確定C1、C2和C3的似然函數,而未知參數的后驗分布可通過基于MCMC的抽樣方法計算得到。C1:成敗型數據(25樣本/時間點),C2:壽命數據(樣本量25),C3:退化數據(1樣本/單元/時間點)。本文使用OpenBUGS軟件分別計算C1、C2和C3的可靠度隨時間變化曲線，結果如圖7所示,Mean為均值,Val 2.5%為置信度2.5%分位值,Val 97.5%為置信度97.5%分位值。

表2 C1、C2和C3的可用數據

圖7 C1、C2和C3的可靠度隨時間變化曲線Fig.7 Time variation curves of reliability for C1、C2 and C3

根據串聯系統結構函數,可得系統的可靠度函數為

R0(t|Θ0)=R1(t|Θ1)R2(t|Θ2)R3(t|Θ3)=

(20)

為了驗證所提出的BIEA方法在信息分布不均衡情況下的有效性,分別對系統層參數的先驗分布與可用數據考慮以下3類不同的情況:①先驗分布為平坦的無信息先驗分布且具有充足數據集(樣本量50);②相同的無信息先驗分布,但僅為小樣本,稀疏數據集(樣本量10);③先驗分布為非平坦的偏態分布,以此來模擬具有較強主觀意向的專家經驗,同時樣本量保持為10的小樣本。為消除參數相關性的影響,假設系統的故障時間服從指數分布,故其可靠性模型僅包含唯一的參數λ。

對于每一種情況,都分別應用簡單貝葉斯方法(無BM),經典BM方法和BIEA方法進行參數估計與可靠性分析,并將結果做對比。需要注意的是,由于簡單貝葉斯方法不區分直接先驗分布和間接先驗分布,故在進行系統層的可靠性分析時,是不包含底層信息的,而2種BM方法則包含所有信息。為了唯一確定系統可靠性預測曲線,假設系統的可靠度函數R0(t|λ)在某特定時間(t=20)服從Beta分布((beta(1,1) 或 beta(15,70)),那么根據λ和R之間的函數關系,可以得到關于參數λ的間接先驗分布。這樣,融合先驗分布就同時包含了直接先驗分布和間接先驗分布。系統層的數據是基于λ真值0.012抽取的仿真數據。3種情況中所涉及的先驗分布與可用數據如表3所示。

表3 3種情況下系統層的可用數據

使用式(6)的形式構建融合先驗分布,由于直接先驗分布πD(λ)和間接先驗分布πI(λ)均服從beta分布,因此對于經典BM方法和基于BIEA的BM方法,融合先驗分布πC(λ)分別有

πC(λ)∝πD(λ)απI(λ)(1-α)

(21)

Beta((aD)α(aD)1-α,(bD)α(bD)1-α)

(22)

式中,a和b為beta分布參數。對于經典BM方法,分別選擇不同的權重系數(α=0.2,0.4,0.6,0.8),混合后的融合先驗分布如圖8所示。

圖8 不同權重因子(α=0.2,0.4,0.6,0.8)對應的融合先驗分布Fig.8 Combined prior of different weighing factor (α=0.2,0.4,0.6,0.8)

4.2 分析與討論

表4～表6分別給出了3種不同情況下,分別應用簡單貝葉斯方法、經典BM,基于自更新權重系數的BIEA方法3種方法的參數估計結果;圖9給出了3種情況下,應用3種不同方法所得的可靠性預測曲線對比結果,CB為簡單貝葉斯,TM為經典BM,AM為自更新BM。參數估計結果是利用OpenBUGS軟件中的統計工具箱計算完成后,在Matlab中繪圖得到的。

圖9 3種情況下不同方法的系統可靠性預測結果Fig.9 Prediction results of system reliability of different methodsunder three conditions

參數λ均值標準差誤差置信度2.5%分位值置信度50%分位值(中值)置信度97.5%分位值起始樣本點樣本量簡單貝葉斯方法0.011 300.001 3751.417E-50.008 8160.011 240.014 181 00010 001經典BM(α=0.2)0.011 870.001 5911.564E-50.008 9630.011 800.015 211 00010 001經典BM(α=0.4)0.011 790.001 6031.613E-50.008 8800.011 730.015 121 00010 001經典BM (α=0.6)0.011 760.001 6081.668E-50.008 8700.011 700.015 061 00010 001經典BM(α=0.8)0.011 720.001 5951.646E-50.008 8190.011 660.014 991 00010 001BIEAλ0.011 730.001 5461.673E-50.008 8890.011 640.014 961 00010 001α0.322 400.258 7000.004 0720.011 3000.248 900.919 501 00010 001

表5 第2種情況下的參數統計結果

表6 第3種情況下的參數統計結果

由圖9可見,在理想情況下(無偏先驗分布&充足樣本)3種方法都可以得到令人滿意的結果(見圖9(a))。參數估計的結果對不同權重系數α的取值并不敏感(見表4)。此時,3種方法得到的可靠性預測曲線幾乎是一致的,這一現象也與文獻[17]的描述相符。

當樣本量逐漸減小后(從50減至10),應用BM方法(經典貝葉斯或BIEA)的分析與預測結果,其準確性超過簡單貝葉斯方法的結果(見圖9(b))。這說明對于存在小樣本問題的非理想情況,應用BM可以改善分析精度,提高預測的準確性。在第2種情況中,使用經典BM方法時,當權重系數從0.2變化至0.8的過程中,參數估計的結果發生了變化(見表5),這是由于樣本量從50減至10后,似然函數的主導性顯著降低所致。

當存在較強的專家經驗而可用數據又匱乏時，即信息非均衡的MLII系統,使用經典的BM方法也難以保證分析的準確性(見圖9(c)的藍色曲線)。而對于基于BIEA的BM方法,即使先驗分布中存在主觀偏差(beta(15,70)),其分析與預測結果仍然具有較高的精度(90%置信區間)。

事實上,在非理想情況下(偏差先驗分布,小樣本有限數據),有限的數據集不足以構建占據主導地位的似然函數,故而先驗分布對最終結果的影響較大。此時,參數估計的結果對權重系數α的取值較為敏感,權重系數α須有較高精度。方法通過將權重系數α設為不確定性參數,可以利用數據在推理過程中不斷更新α的取值,進而自動地平衡直接先驗分布和間接先驗分布對融合先驗分布的影響。

經典的BM方法將權重系數α設定為確定值,這對一般系統而言是可以接受的。但這對似然函數無法占據主導位置的MLII系統是不適用的。基于BIEA的BM方法通過將權重系數設為超參數的方法,在推理過程中使其與其他參數一起更新,通過這種方式,底層信息也參與到系統頂層對象的可靠性分析過程中。基于BIEA的BM方法在系統層面上重新求解了信息不均衡問題,即使先驗分布存在偏差,樣本量較小,參數估計結果的精度仍是可接受的。

5 結 論

本文就傳統可靠性分析與預測方法在處理含有MLII系統時的一些局限性,提出了基于BIEA的系統可靠性分析與預測方法。該方法主要針對在實際工程中存在的MLII系統的2類特點——多層次與信息分布不均衡，對經典貝葉斯推理方法作出改進,使之可充分利用底層單元的完備數據,自下而上地補償頂層匱乏的信息,獲得較為準確的系統可靠性分析與預測結果。該方法可廣泛應用于具有MLII系統特性的復雜機電設備的可靠性工程,降低分析結果的不確定性,提高預測精度。

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