體悟數學本質構建認數脈絡

陳芳華 朱國榮

【編者按】教師在教學中應有全局觀念，摒棄以往以課時為單位的教學設計模式，在環節設計時給予學生應有的發展空間，幫助學生溝通知識的由來和發展，建構起自身的知識體系。本期圍繞“整體把握教材，建構知識體系”展開探討。

“11～20各數的認識”是學生認識兩位數的起始階段，也是學習十進位值制計數法的啟蒙階段，在整冊教材（人教版）中起到了承上啟下的作用。它是學生在抽象認識0～9數字符號后，真正開始接觸和認識計數法基本原理即位值制和進位制的起始課。該教學內容的重要性和起始性，決定了它在一上教學中的重要地位，因此基于認數體系，整體把握教材，構建認數脈絡顯得尤為重要。

一、“理”——以數數為切入點的難點梳理

（一）數（shǔ）是必需的，但應讓學生感受必需

數來源于對數量本質的抽象，數量的本質是多與少，因此，數字就是那些能夠由小到大排列的符號。從人類的發展歷程分析，這個抽象十進制計數系統的過程，經歷了計數和符號兩個階段層次的抽象。因此，11～20各數認識中數（shǔ）是必需的。但在以往教學中，指令性的數數代替了必需性的數數，這違背認數的初衷。能否創設一定的生活情境，讓學生感受必需？

（二）數（shǔ）是重要的，但構數的理解更為重要

教學改進常常需要從解讀學生入手，基于學生學習結果的分析，有的放矢地改進教學。因此，備課組重點梳理了以往“11～20各數認識”的教學后，總結了學生的典型錯例。

學生在學習11～20各數之初會產生一系列問題：為什么1～9都只有一個數字，10要用1和0兩個數字？12為什么不能寫成10和2合起來的樣子？12為什么一定要讀成十二，不能讀成一二？學生會產生這些錯誤和問題的根本原因是對位值制、構數法則的不理解。因此，數數是重要的，但更重要的是要讓學生理解數的構成。既然幫助學生理解數的構成很重要，那么通過哪些素材，可以有效幫助學生感悟位值制和進位制呢？

二、“改”——以目標為切入點的課題更改

（一）“改”目標，使之更符合學生學習需求

將原先以“操作性數數”為重點的目標改進為以“體驗計數單位十的便捷性”為重點，使之更加符合學生的學習需求。以下是改進前后教學目標的對比。

（二）“改”課題，使之更符合學生觀察視角

將“11～20各數的認識”改為“兩位數的認識”，更關注了學生的視角。學生發現“11～20各數”與已有的知識“0～9”各數是不一樣的，以前學的只有1個數字，而從10開始變為2個數字。這是學生重點想弄明白的地方。因此，新課題直接指向新的構數準則——位值制。

三、“悟”——以數軸為切入點的整體感悟

“悟”是指以結構化的學習材料為媒介，讓學生通過“對比性”的寫數、數數活動，體悟與感知用計數單位十數數的便捷性，理解位值制的優越性。

（一）一條“數軸”為依托，整體感知數的大小序列

【教學片段】寫數，體驗數序：比10大的兩位數有哪些？數軸下老師已經寫出了一些，還有一些空著，你能把它們補充完整嗎？（圖略）

師：用這些數，你能快速數出下面小棒的根數嗎？

（二）不同“單位”作對比，整體感悟單位十的意義

【教學片段】當課件顯示12根小棒停3秒隱去，所有學生都嚷嚷著太快了，沒看清是幾根。所有學生都急著要求教師再次呈現小棒，讓他們數一數到底是幾根。學生內心產生了強烈的數數需求。當課件出現12根分開擺放的小棒，演示將10根扎成1捆加2根。教師：“老師把10根扎成1捆，10個一就是1個十。（課件出示文字“1捆加2根”），現在你們能數出幾根了嗎？”所有學生：“12根！”教師：“對了，1個十和2個一合起來是12。”（在小棒圖下出示相應文字）連續四組試下來，學生對1根1根數數痛恨極了，愛極了由1個十和幾個一這樣的數數方式。數形結合，計數單位十深入人心。

將“數數”停留在“用小棒數數的動作層面”，還是提升到關注“學生數學思維的發展”的“數學化層面”？實踐證明，后者更容易激發學生學習的興趣。將擺小棒數數改為看圖找數，通過逆向構造的學習，重點落在讓學生感知運用計數單位十的便捷性，并用計數單位十建立數的結構。

（三）關鍵“操作”助理解，整體感悟“進位與位值”

【教學片段】對比擺數，初步理解“滿十進一”的進位制，感悟位值。

（1）反饋：20怎么擺？老師看到有小朋友是這樣擺20的，1個十和10個一。這樣擺你們同意嗎？

（2）反饋：21怎么擺？21和12同樣用到了數字1和2，怎么擺出來的小棒不一樣？

（3）反饋：22怎么擺？這兩個2有什么不同？

小結：剛才小朋友學會了看著數擺小棒，知道了同一個數字不同的位置表示的意義也各不相同。現在老師這里有一些小棒，你能看著這些小棒圖寫數嗎？

一年級的學生需要學具操作，以幫助他們更好地理解與掌握概念。就“認識兩位數”這節課而言，哪些內容需要學生用小棒擺一擺，加深對數的意義的理解？擺的時候該采用怎樣的方式？

首先，繞不開的肯定是“20”。這是學生進一步理解位值制和進位制的關鍵性素材。學生擺數后，會呈現兩組素材（圖1）。一對比，學生就發現：直接擺“2個十”比擺“1個十和10個一”要方便許多。因此，數完19后，再添1根，又滿10根，就又可以扎成1捆，變成2個十，是20。

其次，是個位與十位交換位置的材料。如12和21，通過對比擺數圖2，學生一下就發現它們的區別：盡管都是2和1，但所處的“位置”不同，表示的小棒數量也是不同的。從而，初步感悟“位值”的含義。

最后，是十位和個位相同數字的材料。通過22的擺放，讓學生進一步感悟“相同的數在不同的位置，其大小也不同”。 實踐表明，不斷地對比擺數，可以幫助學生有效建構計數單位“十”和“一”。

（四）“0的作用”為媒介，初步感知位數準則

【教學片段】1. 黑板上出示小棒圖，學生看圖寫數。（圖3）

師：10、20、30、40，有小朋友這樣寫1、2、3、4可以嗎？為什么必須添上0？0有什么作用？

生：0必須添，0把這些數擠到了前面一位，這樣這些數就表示幾個十了。

師：你知道前面這一位叫什么位嗎？0在的這一位呢？（板書：個位和十位）

2. 把幾個十和幾個一合起來，進一步體驗數位的含義。（圖4）

師：這兩個1表示的意思一樣嗎？這兩個3呢？兩個4呢？

聰明的人類用“進位”解決了“必須用無窮多個符號來表示所有的數字”的問題。為了讓數字符號在不同的“位”表示基數不同的量，人類還發明了一個重要的符號“0”，有了0才能使數字符號完成上述的功能。因此，“在認識兩位數”這節課中，必須對“0有什么作用”的問題進行討論。從而引出“數位”的概念，并幫助學生形象地建立“數也有位置”的概念。接著通過“把幾個十和幾個一合起來，構成一個兩位數”的看圖寫數，進一步體驗數位的含義和兩位數的結構。

（五）多種“材料”相聯結，豐富對數的意義的感知

【教學片段】

1. 看圖寫數。

2. 看數選圖，用線連一連。

3. 想一想，畫一畫。（111）

理解了計數單位“十和一”后，可以通過一定形式的練習，讓學生自覺用計數單位來數數，是學生最終掌握所學知識的關鍵所在。練習中，通過各種不同形式，不同材料的“數一數”活動，幫助學生直觀認識計數單位。學生借助計數器與小棒圖的溝通寫數，體會位值的概念。

在小學階段，有許多內容都和“11～20各數的認識”一樣，從數學本位知識講，是數學的起始性知識，占舉足輕重的作用;從學生的認知狀況看，是學生熟知，卻又感到陌生的內容，學生看似都懂，實則問題重重。如果按照教材照搬照抄授課，在學生后續學習中會產生一系列錯誤和問題。如果能整體把握知識體系，提供結構化材料，就能讓學生經歷深度學習的過程，體悟數學本質，系統建構數學知識。這樣的改進為同類內容的教學改進提供了可以借鑒的模式。

（作者單位：浙江省嘉興市秀城實驗教育集團 浙江省嘉興教育學院）