基于脈沖算法的多智能體系統編隊牽制控制

， 　

(太原理工大學 a. 數學學院, b. 大數據學院， 山西 太原 030024)

近幾年，多智能體系統的協同控制在植絨、同步、牽制及編隊控制等各方面的潛在應用吸引了大量學者的科學研究。系統協同控制的典型研究包括一致性、牽制控制及編隊控制等。基于牽制控制和編隊控制，出現了更復雜的編隊牽制控制問題，即要求領導者的狀態實現理想的編隊控制， 同時跟隨者的狀態收斂到領導者形成的凸包。學者們研究了各種無向或有向拓撲結構下的一階、二階系統的編隊牽制問題[1-4]。編隊、牽制控制、一致性和一致追蹤問題都可以作為編隊牽制控制問題的特殊情形。

當前，脈沖控制方法已經被證明在混沌系統、混雜系統及復雜網絡的同步應用中是有效且有魯棒性的[5-7]。將脈沖控制方法應用到多智能體系統的一致性問題中有諸多優點，如結構簡單、快速瞬態以及低成本等。對于給定的多智能體系統，如何結合脈沖控制的優點設計相應的脈沖控制協議，從而使得整個系統達到一致是一個值得研究的問題。文獻[8]中基于智能體局部信息的脈沖控制協議，研究了一類非線性動態系統的同步問題。文獻[9]中基于分布式脈沖一致算法，研究了一階積分器多智能體系統，并得出采用脈沖算法控制收斂更快的結論。文獻[10]中研究了一類切換拓撲結構下二階積分器多智能體系統的脈沖一致性問題。文獻[11]中研究了有向動態網絡結構下，基于采樣信息的二階多智能體系統，采用脈沖控制算法使其速度和位移狀態都實現了一致性。

許多智能體之間的信息傳遞可能是間歇的而不是持續性的，由于脈沖控制器在采樣時刻起作用，因此智能體之間采用脈沖控制器就是實用且有效的。例如，在多智能體系統中，在瞬時向多個智能體發送一個脈沖可以減少不必要信息的同時傳送信號，并且可以改善智能體干擾的魯棒性。由此可以想到，采用脈沖一致性算法實現多智能體系統的編隊控制應該有好的效果，即通過設計脈沖算法去實現多智能體系統的編隊牽制控制。

本文中為了研究有向拓撲結構條件下的高階線性多智能體系統的編隊牽制問題，對領導者和跟隨者分別提出2種控制協議，以確保領導者在脈沖算法的作用下實現理想的時變編隊控制，同時跟隨者實現牽制控制，即領導者的狀態在脈沖算法的作用下應實現設定好的編隊控制，同時跟隨者的狀態被牽制到領導者生成的凸包，其中拓撲結構是有向的，并且領導者分別在同步脈沖、不活躍脈沖及失步脈沖作用下實現編隊控制；將編隊牽制控制問題轉化為漸近穩定性問題，并提出實現編隊牽制控制的充分條件；通過仿真實例驗證所得結果的有效性。

1　預備知識

1.1　圖論知識

設G(V,E,W)是一個圖，其中V={1,2,…,n}是所有節點的集合，E?V×V是所有邊的集合，W=(wij)是鄰接矩陣,i,j=0,1,2,…。如果存在一條邊從Vi(第i個節點)到Vj，即(Vi,Vj)∈E，那么wij>0，否則wij=0，并且W的對角線元素都為0，即wii=0。圖G的度矩陣表示為D=diag(di),i=0,1,2,…。圖G的拉普拉斯矩陣表示為L=D-A=(lij)∈且lij=-wij對任意的i≠j都成立。

引理1[12]設L∈n×n是一個有向圖G的拉普拉斯矩陣。如果G有一個生成樹，那么L有且僅有一個零特征值且IN是對應的特征向量，其他N-1個特征值均有正實部。

1.2　問題描述

本文中考慮有N個節點的多智能體系統。假設系統里有M個跟隨者和N-M個領導者。分別用F={1,2,…,M}和L={M+1,M+2,…,N}表示跟隨者和領導者的集合。如果一個節點不能從其他節點接收信息，稱這個節點是一個領導者；否則，稱這個節點是一個跟隨者。圖G(V,E,W)表示節點之間的拓撲。多智能體系統的動態描述為

(1)

式中：t為運動時間；xi(t)∈n和ui(t)∈m分別為第i個節點的狀態和輸入控制，n和m均為向量維數；A和B為常數矩陣。

(2)

成立。

(3)

成立。

定義3[13]稱系統(1)實現編隊牽制控制，如果對任意給定的有界初始狀態及任意i∈L及k∈F，存在一個向量值函數r(t)∈n和非負常數αkj滿足使得式(2)、(3)同時成立。

定義4[14]平均脈沖間隔脈沖序列ζ={t1,t2,…} 的平均脈沖間隔為T0，如果存在正整數N0和正數T0，使得

(4)

式中：T為任意時間點；?0≤t≤T，Nζ(T,t)為脈沖序列ζ在間隔(t,T)上的脈沖次數。

假設1有向圖G中，對于每個跟隨者都存在一條由至少一個領導者指向它的路徑。

G1為領導者之間的拓撲關系。假設G1有一個生成樹。基于領導者和跟隨者的性質，圖G的拉普拉斯矩陣可以分解為

式中：L1∈M×M為跟隨者的拉普拉斯矩陣；L2∈M×(N-M)為領導者和跟隨者之間的信息拓撲；L3∈(N-M)×(N-M)為領導者的拉普拉斯矩陣。

引理3[16]對任意合適維數的矩陣P、Q、C和D， Kronecker積有下列的性質:

1)(cP)?Q=P?(cQ)，其中c為常數，?為Kronecker積運算；

2)(P+Q)?C=P?C+Q?C；

3)(P?Q)(C?D)=(PC)?(QD)；

4)(P?Q)T=PT?QT。

2　帶脈沖算法的編隊牽制控制

(5)

領導者的控制輸入為

hj(t)]}，i∈L，t≠tk，

(6)

(7)

式中：Ki∈m×n(i=1, 2, 3)為常數增益矩陣；μ為脈沖信號的強度；tk為脈沖時刻，k=1,2,…，且脈沖時刻序列滿足 0=t0

，

(8)

(L3?BK3)hL(t)，t≠tk。

(9)

i∈L，t≠tk，

(10)

(11)

脈沖算法(11)可改寫為Kronecker積形式，即

。

(12)

(13)

t≠tk。

(14)

為了實現系統(1)的牽制控制，令

(15)

θ(t)=-(L1?I)xf(t)-(L2?I)xL(t)

，

(16)

如果θ(t)→0，可得

。

(17)

根據式(17)、引理2和定義2可得，系統(1)將實現牽制控制。

定理1系統(1)在控制協議(5)、(6)、 (7)作用下實現編隊牽制控制，如果下列不等式同時成立：

1)對任意i,j∈L，

(18)

2)對任意i∈L，

2ln|μ|+αT0<0

，

(19)

3)對任意i∈F，A+BK1-λiBK2是Hurwitz的。

證明：如果條件1)成立，則有

(20)

(21)

(22)

考慮下列子系統的穩定性：

(23)

由(14)式和條件(23)化簡得

(24)

如果系統(23)漸近穩定，則可得系統(24)也是漸近穩定的。考慮Lyapunov函數

(25)

當t∈(tk-1,tk]，k∈+， 沿著系統(25)的軌跡對V(t)求導可得

αV(t),i=M+2,M+3,…,N,

(26)

由此可得

(27)

其中t∈(tk-1,tk]，k∈+。當t=tk，k∈+，有

(28)

根據式(27)、(28)，有以下結論：

(29)

下面分別考慮同步脈沖(0<|μ|<1)，不活躍脈沖(|μ|=1)和失步脈沖(|μ|>0)。由于脈沖序列ζ={t1,t2,…}的平均脈沖間隔為T0，因此有

(30)

如果0<|μ|<1，由式(29)、(30)可得

(31)

當|μ|=1，有μ2k=1。由式(29)可得

(32)

類似地，當|μ|>1，由式(29)、(30)可得

(33)

結合不等式(31)、(32)、(33)，給定常數M0=max{μ-2N0,1,μ2N0}，則有

(34)

如果條件2)成立， 那么由式(24)描述的N-M-1維子系統是漸近穩定的，即

(35)

由引理5和式(35)知， 系統(9)實現了時變編隊hL(t)。

當領導者實現時變編隊h1(t)時，則有

(36)

由于L31=0，因此

。

(37)

由式(8)、(9)、(16)可得

(L2L3?BK3)[xL(t)-hL(t)]。

(38)

由式(37)和(38)可得

(39)

根據L1的結構，考慮子系統

(40)

如果條件3)成立，那么子系統(40)是漸近穩定的，進而系統(39)是漸近穩定的。

由式(37)、(48)、(49)可得

(41)

再由式(35)、(41)，可證系統(1)在控制輸入(5)、(6)和脈沖算法(7)的作用下實現了編隊牽制控制。

定理1得證。

推論1在M=0的情況下，系統(1) 在控制協議(6)、(7)的作用下實現編隊hL(t)，如果定理1中的條件1)和2)成立。

推論2在領導者沒有鄰居且不加脈沖控制的情況下，系統(1)在控制協議(5)、(6)的作用下實現牽制控制，如果定理1中的條件3)成立。

3　數值仿真

假設在這個系統中有4個領導者和4個跟隨者。圖1所示為系統的拓撲結構。為了簡便，假設節點之間相互作用的權重為0～1。

節點1—4為跟隨者；節點5—8為領導者。圖1　有向圖G的拓撲結構

系統的編隊牽制問題描述如下。首先，4個領導者要實現一個時變的平行四邊形并圍繞提前設定好的時變編隊參考函數保持運動。編隊定義為

其次，要求4個跟隨者收斂到由4個領導者的狀態形成的凸包。

選擇K1=(-4，-5)賦值求A+BK1的特征值。這種情況下，編隊函數將進行周期性運動。可以驗證滿足定理1中的條件1)成立且(A,B)是可穩定的，因此，為了確保系統(1)實現編隊牽制控制，選取矩陣K2=(-0.9，0.4)和K3=(-1.9，0.9)。

為了描述簡單，系統狀態表示為(x1(t),x2(t))T，其中x1(t)=(xi1(t))T，x2(t)=(xi2(t))T，i=1,2,…,8表示8個節點。

給出脈沖序列ζ={ε,2ε,…,(N0-1)ε,N0T0,N0T0+ε,N0T0+2ε,…,N0T0+(N0-1)ε,2N0t0,…}， 根據定理1中的條件2)， 首先考慮同步脈沖作用下系統的編隊牽制控制， 令脈沖信號強度μ=0.8,則可選取平均脈沖間隔T0=0.12，N0=10，ε=0.05，則可得同步脈沖序列，如圖2所示。此時領導者可以實現編隊控制，同時跟隨者也收斂到領導者形成的凸包，如圖3所示，其中領導者的狀態軌跡由智能體5—8表示，跟隨者由4個不同顏色的五角星表示。此外，領導者的狀態形成的凸包用實線標記。圖3(a)—(c)所示為同步脈沖作用下領導者實現了理想的平行四邊形編隊，同時跟隨者的狀態也收斂到領導者狀態形成的凸包。圖3(b)—(d)所示為已實現的編隊保持時變運動。

圖2　同步脈沖序列

(a)0 s(b)3 s(c)5 s(d)10 sx1(t)、 x2(t)—8個節點的橫、縱坐標隨時間運動的軌跡。圖3 在同步脈沖作用下8個智能體在不同時刻的軌跡

考慮失步脈沖作用下系統的編隊牽制控制，令脈沖信號強度μ=1.2，則可選取平均脈沖間隔T0=0.12，N0=10，ε=0.05，得失步脈沖序列，如圖4所示。此時領導者可以實現編隊控制，同時跟隨者也收斂到領導者形成的凸包，如圖5所示，其中領導者的狀態軌跡由智能體5—8表示，跟隨者由4個不同

圖4　失步脈沖序列

顏色的五角星表示。此外，領導者的狀態形成的凸包用實線標記。圖5(a)—(c)所示為失步脈沖作用下領導者實現了理想的平行四邊形編隊，同時跟隨者的狀態也收斂到領導者狀態形成的凸包。圖5(b)—(d)所示為已實現的編隊繼續保持時變運動。

同時，仿真中也考慮多智能體系統無脈沖輸入控制時的情況，取同樣的K1、K2、K3，系統(1)也可以實現編隊牽制控制，如圖6所示，其中領導者的狀態軌跡由智能體5—8表示，跟隨者由4個不同顏色的五角星表示。 此外， 領導者的狀態形成的凸包用實線標記。圖6(a)—(c)所示為無脈沖作用下領導者實現了理想的平行四邊形編隊，同時跟隨者的狀態也收斂到領導者狀態形成的凸包。圖6(b)—(d)所示為已實現的編隊保持時變運動。通過與圖3、5相比較可知，對于同一多智能體系統，基于脈沖一致算法實現的編隊牽制控制速度更快。

(a)0 s(b)3 s(c)5 s(d)10 sx1(t)、x2(t)—8個節點的橫、縱坐標隨時間運動的軌跡。圖5 在失步脈沖作用下8個智能體在不同時刻的軌跡

(a)0 s(b)3 s(c)5 s(d)10 sx1(t)、x2(t)—8個節點的橫、縱坐標隨時間運動的軌跡。圖6 在無脈沖控制作用下8個智能體在不同時刻的軌跡

4　結論

本文中研究了多智能體系統基于脈沖算法的編隊牽制控制問題。分別針對領導者和跟隨者提出不同的控制協議，且領導者的狀態實現了預定的時變編隊，同時跟隨者的狀態收斂到領導者形成的凸包。將編隊牽制控制問題轉化為漸近穩定性問題，并對多智能體系統在脈沖算法的作用下實現編隊牽制控制提出了充分條件。牽制問題、編隊控制問題都可以作為編隊牽制問題的特殊情形。今后的研究方向是針對時變無向或時變有向拓撲結構的多智能體系統，在脈沖算法的作用下實現編隊牽制控制。