具有完全形式的邊值問題解的存在唯一性

，

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266590)

在材料力學(xué)中，具有完全形式的非線性(非線性項為連續(xù)函數(shù))四階兩點邊值問題描述了兩端簡單支撐的彈性梁在受力狀態(tài)下的平衡方程。非線性項中未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、未知函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、未知函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)分別表示梁的隅角、彎矩和剪力，因此具有完全形式的非線性四階兩點邊值問題能全面、準(zhǔn)確地反映彈性梁的受力狀態(tài)。當(dāng)非線性項中含有未知函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)時，彈性梁問題的研究較為普遍[1-8]，所用的研究方法主要為先驗估計和Leray-Schauder不動點定理。對于非線性項中含有未知函數(shù)的所有低階導(dǎo)數(shù)時，彈性梁問題的研究較少[9-15]，主要原因是未知函數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的存在導(dǎo)致很難對具有完全形式的非線性四階兩點邊值問題給出解的先驗估計，從而彈性梁問題的研究有一定的理論難度，不易解決。

本文中假設(shè)非線性項在局部滿足Lipschitz條件，利用降階方法，將具有完全形式的非線性四階兩點邊值問題轉(zhuǎn)化為算子的不動點問題，利用壓縮映射原理得到具有完全形式的非線性四階兩點邊值問題解的存在唯一性結(jié)論。

1　預(yù)備知識

具有完全形式的非線性四階兩點邊值問題為

(1)

式中：u(t)為未知函數(shù)；t為自變量；f[t,u(t),u′(t),u″(t),u?(t)]為非線性項。

為了得到本文的主要結(jié)果，給出邊值問題(1)的Green函數(shù)G(t,s)(其中s為積分變量，s∈[0,1])及其相關(guān)的性質(zhì)和引理。

對于u(4)(t)=f[t,u(t),u′(t),u″(t),u?(t)]，令φ(t)=f[t,u(t),u′(t),u″(t),u?(t)]，邊值問題(1)可化為

(2)

由文獻(xiàn)[16]可知，邊值問題(2)轉(zhuǎn)為積分方程

(3)

其中

在積分方程(3)的兩邊求導(dǎo)可得

(4)

(5)

，

(6)

其中

令u″(t)=v(t)，則邊值問題(1)可轉(zhuǎn)化為以下2個邊值問題

(7)

和

(8)

價于如下算子方程解的存在性，即

φ=Aφ

，

(9)

其中算子A∶C[0,1]→C[0,1]定義為

f[t,uφ(t),yφ(t),vφ(t),zφ(t)],

(10)

2　主要結(jié)論

引理1假設(shè)存在常數(shù)K>0;d1,d1,d2,d3≥0,使得函數(shù)f(t,u,y,v,z)在集合BK上滿足

|f(t,u,y,v,z)|≤K

，

(11)

且對任意(t,u,y,v,z),(t,ui,yi,vi,zi)∈BK(i=1,2)有

|f(t,u1,y1,v1,z1)-f(t,u2,y2,v2,z2)|≤

d0|u2-u1|+d1|y2-y1|+d2|v2-v1|+d3|z2-z1|。

(12)

如果

(13)

則算子A是定義在集合B[O,K]上的壓縮算子。

證明：任取φ∈B[O,K]，則式(10)中的uφ(t)、yφ(t)、vφ(t)、zφ(t)滿足

從而當(dāng)φ∈B[O,K]，有

這說明算子A是定義在集合B[O,K]上的映射。再由式(11)可知，A為B[O,K]到其自身的映射。

根據(jù)式(10)、(12)有

|(Aφ2)(t)-(Aφ1)(t)|=

|f[t,u2(t),y2(t),v2(t),z2(t)]-

f[t,u1(t),y1(t),v1(t),z1(t)]|≤

d0|u2(t)-u1(t)|+d1|y2(t)-y1(t)|+

d2|v2(t)-v1(t)|+d3|z2(t)-z1(t)|。

由此可知，當(dāng)式(13)成立時，算子A是定義在B[O,K]上的壓縮算子。證畢。

定理1在引理1的假設(shè)下，邊值問題(1)存在滿足以下估計的唯一解，

(14)

證明:要證明邊值問題(1)有唯一解，只須說明邊值問題(7)、(8)有唯一解即可，而邊值問題(7)、(8)有唯一解只須算子A在集合B[O,K]中有唯一不動點。由引理1可知，算子A為B[O,K]到其自身的壓縮算子，因此由壓縮映射原理可知，算子A在B[O,K]中有唯一不動點，進(jìn)而邊值問題(1)存在滿足條件的唯一解。證畢。

在實際的彈性梁問題中，只有正解的存在性才有意義，下面考慮邊值問題(1)正解的存在唯一性。

令

0≤f(t,u,y,v,z)≤K

,

(15)

0≤(Aφ)(t)≤K，t∈[0,1]。

由壓縮原理可知，邊值問題(1)的解可由迭代得到。特別取φ0(t)=f(t,0,0,0,0)，作如下迭代:

φk+1=f[t,uφk(t),yφk(t),vφk(t),zφk(t)]，k=0,1,2,…。

(16)

其中φ0為算子方程(9)在B[O,K]上的唯一解，從

特別地，當(dāng)f不依賴于u′和u?時，迭代序列相對于初始函數(shù)是單調(diào)的，即當(dāng)邊值問題(1)退化為

(17)

時，可得定理3。

證明:根據(jù)式(7)、(8)有

其中

從而

t∈[0,1]，k=1,2,…，(18)

t∈[0,1]，k=1,2,…。(19)

注：定理3中的函數(shù)g在有界閉集DK上而非[0,1]×2上滿足一定的條件, 因而初始值函數(shù)可取

3　總結(jié)

本文中利用降階方法， 將具有完全形式的四階兩點邊值問題解的存在唯一性問題轉(zhuǎn)化為算子不動點的存在唯一性問題。 非線性項在局部滿足Lipschitz條件下， 利用壓縮映像原理得到了四階兩點邊值問題解的存在唯一性。 在物理學(xué)、 力學(xué)等領(lǐng)域中， 本文中的結(jié)論具有重要的價值。在今后的研究工作中， 可以考慮應(yīng)用全局分歧理論研究解的存在性或者利用不動點理論來研究非線性項滿足Nagumo條件下正解的存在性。