近擬常曲率黎曼流形中的偽臍子流形

劉金夢,宋衛東

(安徽師范大學數學與統計學院,安徽 蕪湖 241003)

1 引言

近擬常曲率黎曼流形是Gazi[1]等人在擬常曲率流形概念的基礎上提出來的,其黎曼曲率張量R滿足:

其中a,b為流形上的光滑函數,g為Nn+p的黎曼度量,B為2-階非零對稱共變張量場.

顯然,當b=0時,近擬常曲率黎曼流形即為實空間形式.

關于近擬常曲率黎曼流形,近年來已有不少研究結果[2-4]．本文用活動標架法對偽臍子流形進行研究,證明了:

定理 1.1設Mn是近擬常曲率空間Nn+p中緊致無邊偽臍子流形,則有如下積分不等式:

其中,S為Mn的第二基本形式模長平方;H為Mn的平均曲率.

推論 1.1設Mn是近擬常曲率空間Nn+p中具有平行平均曲率偽臍子流形,則下列積分不等式成立:

其中,S為Mn的第二基本形式模長平方;H為Mn的平均曲率.

推論 1.2設Mn是近擬常曲率空間Nn+p中緊致無邊全實極小子流形,若第二基本形式模長平方S滿足則Mn為全實全測地子流形.

2 預備知識

約定各類指標的取值范圍

設Mn是n+p維完備的黎曼流形Nn+p中n維子流形．在Nn+p上選取局部規范正交標架場

使得限制于Mn,{e1,···,en+p}與Mn相切．在此標架場下,以Nn+p表示黎曼流形,若其曲率張量取為如下形式:

則稱Nn+p為近擬常曲率空間.其中,g為Nn+p的黎曼度量,a,b為Nn+p上的光滑函數,{fAB}為單位向量函數.

以{ωA}表示{eA}的對偶標架場,{ωAB}是Nn+p的聯絡形式,則Nn+p的結構方程為:

其中

將{ωA},{ωAB}限制在Mn,有

其中h,Rijkl,Rαβij分別為Mn的第二基本形式,Riemann曲率張量場和法曲率張量場R⊥關于{eA}的分量,設ζ為Mn的平均曲率向量場,即

其中trHα為矩陣的跡,稱H=|ζ|為Mn的平均曲率．記

引理 2.1[6]設Mn是n+p維黎曼流形Nn+p中的任一子流形,則

引理 2.2[7]設Mn是任意n+p維黎曼流形Nn+p中n維緊致偽臍子流形,則

定義的共變微分為:

則[5]

由 (1)式,易見,

由 (5)式,的Laplacian為

又由(1)-(3),(7)式,經計算后得到

其中

3 定理的證明

設Mn上有H>0,選取結合Mn是緊致偽臍的,有

下面估計A,先定義[8]

則ω的散度為:

再由(1),(4)式,經簡單計算有

由于

利用(4)式,得到

由 (10)式,引理2.2及Green散度定理,得

由 (9)式,得

由(13),(14)式,計算后得

根據(9)式,有

(I)當b≥0時,由則

所以

(II)當b<0時,由Schwartz不等式,得

所以

綜合(15),(16)式

另外,由(6)式知

結合(11),(12),(16),(18)式及引理2.1,有

定理得證.

由于Mn具有平行平均曲率,即

所以推論1.1可直接由定理1.1得到.

由于Mn是近擬常曲率空間Nn+p中緊致無邊全實極小子流形,即

則定理1.1中的積分不等式可以化為

由此可直接得出推論1.2.

[1]Gazi A K,De U C.On the existence of nearly quasi-Einstein manifold[J].Novi.Sad.J.Math.,2009,39(2):111-117.

[2]Zhang Pan.Remarks on Chen′s inequalities for submanifolds of a riemannian manifold of nearly quasiconstant curvature[J].Vietnarm J.Math.,2015,43:557-569.

[3]Zhang Pan,Pan Xuling,Zhang Liang.Inequalities for submanifolds of a riemannian manifold of nearly quasiconstant curvature with a semi-symmetric non-metric connection[J].Uni′on Math.argentian,2015,56(2):1-19.

[4]蘇曼,張量.近擬常曲率空間中雙重卷積子流形的不等式[J].吉林大學學報(理學版),2016,54(5):952-959.

[5]Chern S S,Do Carmo M,Kobayashi S.Minimal Submanifolds of a Sphere with Second Fundamental Form of Constant Length[M].Berlin:Spring-Verlag,1978.

[6]Li Anmin,Li Jimin.An intrinsic rigidity theorem for minimal submanifolds in sphere[J].Arch.Math.,1992,58(6):582-594.

[7]宋衛東,朱巖.擬復射影空間中的全實偽臍子流形[J].吉林大學學報(理學版),2012,50(4):673-677.

[8]宋衛東,儲昭昉.擬常曲率黎曼流形中的偽臍子流形[J].吉林大學學報(理學版),2004,42(3):361-365.