三階單位上三角非負矩陣

駱莉芳 陳益智 陳燕梅

(1.華南師范大學數學科學學院,廣東 廣州 510006;2.惠州學院數學與大數據學院,廣東 惠州 516007)

1 引言

由于上三角非負矩陣的行列式很容易計算得出,也可以化為Normal Hermite形式,所以上三角非負矩陣從而被廣泛地研究,其相關研究成果讀者可參考文獻[1-8].在上三角非負矩陣的研究中,單位上三角非負矩陣已成為其研究的一個重要對象,能否將其分解成一些原子矩陣的乘積,并且在求得其最小的原子因式分解長度中起著非常重要的作用[1].關于非負矩陣因式分解的問題最早是文獻[2]在1963年開始研究的.文獻[3]和文獻[4-5]分別研究了矩陣半群的因式分解問題.文獻[6]把矩陣的因式分解理論應用到了整數值矩陣半群中,給出了這類矩陣的一些重要性質,并探討了這類矩陣在什么意義下是可以唯一分解的,同時他們還提出了6個公開問題,有待進一步的解決.文獻[7-8]主要研究三階及n階上三角非負矩陣半群的分解,并且部分解決了文獻[6]中的公開問題1-問題4.本文將繼續探究三階上三角非負矩陣.

類似于文獻[6-7],下面對本文所涉及到的預備知識進行介紹.

設N是一個正整數集,N0=N∪{0},用T3(N0)表示N0上的由所有行列式大于零的3階上三角非負矩陣所構成的矩陣半群.對于本文出現而未提及的概念及術語,讀者可參考文獻[6-8].

定義 1.1[1]若S是一個含單位矩陣I的矩陣半群.對于A∈S,

(1)若存在B∈S使得AB=BA=I成立,則稱A為S的一個單位.

(2)若A不是S的單位,由A=BC可推出B或C是S上的一個單位，則稱A為S的一個原子.

(3)若S上的每個非單位元素都可以分解成S上一些原子的乘積,則將S稱為原子半群.

定義 1.2[1]如果S是一個原子半群,A為S上任意的非單位元素.記

為A的原子因式分解長度集,用它來表示A在S中可以有限分解成一系列原子矩陣的乘積形式的一切可能的分解長度的集合.記l(A)=min{T(A)}表示A的最小的原子因式分解長度.

2 三階單位上三角非負矩陣

2.1 最小的原子因式分解長度

引理 2.1[1]設S為T3(N0)中所有單位上三角非負矩陣所構成的矩陣半群,則任意的A∈S是原子當且僅當A=Xij=I3+Eij(1

借助上述引理,下面將介紹本文最主要的結果,即

定理 2.1記S為T3(N0)中所有三階單位上三角非負矩陣所構成的矩陣半群,則對任意的

(1)當c≤ab時,有l(A)=a+b;(2)當c>ab時,有l(A)=a+b+c?ab.

證明由單位上三角非負矩陣的原子因式分解中原子矩陣類型是X12或X13或X23知,

從而X12和X13的乘積可以交換,X23和X13的乘積也可以交換,而X12和X13的乘積不可以交換.于是,A的任一因式分解必具有如下分解形式:

其中,c′,ai,bi∈N0,i=1,2,···,m. 這里,

注意到A的原子因式分解長度為

從而0≤c且c′∈N0,那么根據最小數原理可得,c′的最小值是存在的.因此,若要計算l(A),只需計算出c′的最小值便可.即若存在一組特解使得c′取得最小值,記該最小值為m,則可得到

由于對于任意的A∈S,其上三角元素a,b,c之間僅包含了下列三種數量關系,即c=ab或c>ab或c

(I)當c=ab時,在(2)式中可取一組特解使得c′=0.而 0≤c′≤c,則c′的最小值為m=0.從而得到A的最小原子因式分解長度為l(A)=a+b.

(II)當c>ab時,由于

則c?ab≤c′≤c.從而在(2)式中可取一組特解使得c′=c?ab.則c′的最小值為m=c?ab,則A的最小原子因式分解長度為

(III)當c0.從而a≥1且b≥1.由于c

情形1當c

(i)當a≥b時,有a≥c,在(2)式中可取一組特解

使得c′=0,則c′的最小值為m=0,從而A的最小原子因式分解長度為l(A)=a+b.

(ii)當a

使c′=0,則c′的最小值為m=0,從而A的最小原子因式分解長度為l(A)=a+b.

所以當c

情形 2當 max{a,b}1且a>1.則

(i)當a≥b時,在(2)式中可取一組特解

其中,i∈{2,3,···,k?1,k+1,k+2,···,b?1},且 []表示取整符號.使得c′=0.則c′的最小值為m=0,從而A的最小原子因式分解長度為

(ii)當a

其中,i∈{2,3,···,k,k+2,···,a?1},使得c′=0.則c′的最小值為m=0,從而A的最小原子因式分解長度為l(A)=a+b.

所以當max{a,b}

綜上所述,對任意單位上三角非負矩陣A,當c≤ab,有l(A)=a+b;當c>ab時,有

注2.1文獻[8]中只是得出部分單位上三角非負矩陣的最小原子因式分解長度,而本文中的定理2.1針對T3(N0)中的單位上三角矩陣半群中的任意矩陣A,都給出了計算A的最小原子因式分解長度l(A)的公式,并且證明方法也不同于文獻[8],從而完善了文獻[8]中相應的結論.

特別地,在定理2.1的證明過程中,若將各情形下的特解代入分解式(1)中,便可得到全部的單位上三角非負矩陣A的其中一個具有最小的原子因式分解長度的分解.

定理 2.2記S為T3(N0)中所有三階單位上三角非負矩陣所構成的矩陣半群,則對于任意的

(1)當c=ab時,A的其中一個具有最小的原子因式分解長度的分解為:

(2)當c>ab時,A的最小原子因式分解長度為l(A)=a+b+c?ab,且A的其中一個具有最小的原子因式分解長度的分解為:

(3)當c

(i)若a≥b,則A的其中一個具有最小的原子因式分解長度的分解為:

(ii)若a

(4)當max{a,b}

(i)若a≥b,則A的其中一個具有最小的原子因式分解長度的分解為:

其中

(ii)若a

其中

注 2.2定理2.2分情形詳細探討了三階單位上三角非負矩陣A具有最小原子因式分解長度的其中一種分解.

2.2 應用舉例

對于任意的三階單位上三角非負矩陣下面將針對定理2.1中的其中一個情形,即max{a,b}

例2.1設由于a=3,b=2,c=5,根據定理2.1,得到max{a,b}b,則根據(7)式可得A的其中一個具有最小的原子因式分解長度的分解為:

[1]Halava V,Harju T.On Markov′s undecidability theorem for integer matrices[J].Semigroup Forum,2007,75:173-180.

[2]Cohn P M.Noncommutative unique factorization domains[J].Trans.Am.Math.Soc.,1963,109:313-331.

[3]Jacobsom B.Matrix number theory.An example of nonunique factorization[J].Am.Math.Mon.,1965,72:399-402.

[4]Chuan J C,Chuan W F.Factorizations in a semigroup of integral matrices[J].Linear Multilinear Algebra,1985,18:213-223.

[5]Chuan J C,Chuan W F.Factorability of positive-integral matrices of prime determinants[J].Bull.Inst.Math.,Acad.Sin.,1986,14,1986:11-20.

[6]Baeth N,Ponmarenko V,Adams,et al.Number theory of matrix semigroups[J].Linear Algebra Appl.,2011,434:694-711.

[7]陳益智.半環上矩陣的若干研究[D].西安:西北大學圖書館,2012.

[8]Chen Y Z.On factorizations of upper triangular nonnegative matrices of order three[J].Discrete Dynamics in Nature and Society,Volume 2015:Article ID 960182,6 pages.